課時(shí)跟蹤檢測(cè)（八） 三角恒等變換與解三角形1(2017·陜西模擬)設(shè)角的終邊過點(diǎn)(2,3)，則tan()A.BC5 D5解析：選A由于角的終邊過點(diǎn)(2,3)，因此tan ，故tan.2(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知x(0，)，且cossin2x，則tan()A. BC3 D3解析：選A由cossin2x得sin 2xsin2x，x(0，)，tan x2，tan.3(2017·寶雞模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若sin(AB)，a3，c4，則sin A()A. B.C. D.解析：選B，即，又sin Csin(AB)sin(AB)，sin A.4(2017·惠州模擬)函數(shù)ycos 2x2sin x的最大值為()A. B1C. D2解析：選Cycos 2x2sin x2sin2x2sin x1.設(shè)tsin x(1t1)，則原函數(shù)可以化為y2t22t122，當(dāng)t時(shí)，函數(shù)取得最大值.5(2017·成都模擬)已知為第二象限角，且sin 2，則cos sin 的值為()A. BC. D解析：選B因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以cos sin 0，cos sin .6(2017·長沙模擬)ABC中，C，AB3，則ABC的周長為()A6sin3 B6sin3C2sin3 D2sin3解析：選C設(shè)ABC的外接圓半徑為R，則2R2，于是BC2Rsin A2sin A，AC2Rsin B2sin，于是ABC的周長為232sin3.7(2017·福州模擬)已知m，若sin 2()3sin 2，則m()A. B.C. D2解析：選D設(shè)A，B，則2()AB,2AB，因?yàn)閟in 2()3sin 2，所以sin(AB)3sin(AB)，即sin Acos Bcos Asin B3(sin Acos Bcos Asin B)，即2cos Asin Bsin Acos B，所以tan A2tan B，所以m2.8(2017·云南模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若B，a，sin2B2sin Asin C，則ABC的面積S()A. B3C. D6解析：選B由sin2B2sin Asin C及正弦定理，得b22ac.又B，所以a2c2b2.聯(lián)立解得ac，所以S××3.9(2018屆高三·合肥摸底)已知函數(shù)f(x)sin4xcos4x，x.若f(x1)f(x2)，則一定有()Ax1x2 Bx1x2Cxx Dxx解析：選Df(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2xcos 4x.因?yàn)?x，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，由f(x1)f(x2)，可得f(|x1|)f(|x2|)，所以|x1|x2|，即xx.10(2018屆高三·昆明三中、玉溪一中聯(lián)考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ABC的面積為S，且2S(ab)2c2，則tan C等于()A. B.C D解析：選C因?yàn)?S(ab)2c2a2b2c22ab，由面積公式與余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)11(2017·貴陽監(jiān)測(cè))已知sinsin ，則sin的值是()A B.C. D解析：選Dsinsin ，sin cos cos sin sin ，sin cos ，即sin cos sin，故sinsin.12在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(BC)<sin2Bsin2C，則角A的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選D由題意得sin2A<sin2Bsin2C，再由正弦定理得a2<b2c2，即b2c2a2>0.則cos A>0，0<A<，0<A<.又a為最大邊，A>.因此得角A的取值范圍是.13(2017·南京模擬)若sin，則cos_.解析：因?yàn)椋詂oscossin.答案：14(2017·長沙模擬)化簡：_.解析：4sin .答案：4sin 15(2018屆高三·湖北七校聯(lián)考)已知ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，C120°，a2b，則tan A_.解析：c2a2b22abcos C4b2b22×2b×b×7b2，cb，cos A，sin A，tan A .答案：16.(2018屆高三·廣西五校聯(lián)考)如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角，在山坡的A處測(cè)得DAC15°，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測(cè)得DBC45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos _.解析：由DAC15°，DBC45°可得BDA30°.在ABD中，由正弦定理可得，即DB100sin 15°100×sin(45°30°)25(1)在BCD中，DCB90°，所以，即，解得cos 1.答案：11(2017·廣州模擬)已知tan 2，且，則cos 2()A. B.C D解析：選C法一：由tan 2，且，可得sin 2cos ，代入sin2cos21，可得cos2，所以cos 22cos212×1.法二：因?yàn)閠an 2，且，所以cos 2.2在ABC中，若，則ABC的形狀是()A直角三角形 B等腰或直角三角形C等腰三角形 D不能確定解析：選B由已知并結(jié)合正弦定理得，·，即，sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，2A2B或2A2B.3已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2A2a，則角A的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C在ABC中，由正弦定理化簡已知的等式得sin Asin Asin Bsin Bcos2A2sin A，即sin B(sin2Acos2A)2sin A，所以sin B2sin A，由正弦定理得b2a，所以cos A(當(dāng)且僅當(dāng)c23a2，即ca時(shí)取等號(hào))，因?yàn)锳為ABC的內(nèi)角，且ycos x在(0，)上是減函數(shù)，所以0A，故角A的取值范圍是.4(2017·云南統(tǒng)一檢測(cè))已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若abcos Ccsin B，且ABC的面積為1，則b的最小值為()A2 B3C. D.解析：選A由abcos Ccsin B及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B，即sin(BC)sin Bcos Csin Csin B，得sin Ccos Bsin Csin B，又sin C0，所以tan B1.因?yàn)锽(0，)，所以B.由SABCacsin B1，得ac24.又b2a2c22accos B2acac(2)(42)4，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立，所以b2，b的最小值為2，故選A.5(2018屆高三·皖南八校聯(lián)考)若，cos2cos 2，則sin 2_.解析：由已知得(cos sin )2(cos sin )·(cos sin )，所以cos sin 0或cos sin ，由cos sin 0得tan 1，因?yàn)椋詂os sin 0不滿足條件；由cos sin ，兩邊平方得1sin 2，所以sin 2.答案：6已知ABC中，ABAC6，BC4，D為BC的中點(diǎn)，則當(dāng)AD最小時(shí)，ABC的面積為_解析：AC2AD2CD22AD·CD·cosADC，且AB2AD2BD22AD·BD·cosADB，即AC2AD2224AD·cosADC，且(6AC)2AD2224AD·cosADB，ADBADC，AC2(6AC)22AD28，AD2，當(dāng)AC2時(shí)，AD取最小值，此時(shí)cosACB，sinACB，ABC的面積SAC·BC·sinACB.答案：1在外接圓半徑為的ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，則bc的最大值是()A1 B.C3 D.解析：選A根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，又a2b2c22bccos A，所以cos A，A120°.因?yàn)锳BC外接圓半徑為，所以由正弦定理得bcsin B·2Rsin C·2Rsin Bsin(60°B)sin Bcos Bsin(B60°)，故當(dāng)B30°時(shí)，bc取得最大值1.2(2018屆高三·武漢調(diào)研)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是()A4 B3C8 D6解析：選C由a2bsin C得sin A2sin Bsin C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，即tan Btan C2tan Btan C.又三角形中的三角恒等式tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，tan Btan C，tan Atan Btan Ctan A·，令tan A2t，得tan Atan Btan Ct48，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t2，tan A4時(shí)，取等號(hào)3(2017·成都模擬)已知ABC中，AC，BC，ABC的面積為.若線段BA的延長線上存在點(diǎn)D，使BDC，則CD_.解析：因?yàn)镾ABCAC·BC·sinBCA，即×××sinBCA，所以sinBCA.因?yàn)锽ACBDC，所以BCA，所以cosBCA.在ABC中，AB2AC2BC22AC·BC·cosBCA262×××2，所以AB，所以ABC，在BCD中，即，解得CD.答案：