第40課 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)最新考綱內(nèi)容要求ABC直線與平面平行的判定及性質(zhì)兩平面平行的判定及性質(zhì)1直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件aa，b，abaa，a，b結(jié)論abaab2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a，b，abP，a，b，a，b，a，結(jié)論aba3.與垂直相關(guān)的平行的判定(1)a，bab.(2)a，a.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行()(2)若直線a平面，P，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無(wú)數(shù)條()(3)若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行()(4)若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)下列命題中，正確的是_若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面；若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行；若直線a，b和平面滿足a，b，那么ab；若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則b.根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，正確3(2015·北京高考改編)設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m，“m ”是“ ”的_條件必要不充分當(dāng)m時(shí)，過(guò)m的平面與可能平行也可能相交，因而mD/；當(dāng)時(shí)，內(nèi)任一直線與平行，因?yàn)閙，所以m.綜上知，“m ”是“ ”的必要而不充分條件4在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系是_平行如圖所示，連結(jié)BD交AC于F，連結(jié)EF，則EF是BDD1的中位線，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.5設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，m，則m；若，則.其中是真命題的是_(填序號(hào))，mn或m，n異面，故錯(cuò)誤；易知正確；，m或m，故錯(cuò)誤；，或與相交，故錯(cuò)誤與線、面平行相關(guān)命題真假的判斷已知m，n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是_(填序號(hào))若，垂直于同一平面，則與平行；若m，n平行于同一平面，則m與n平行；若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線；若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面可以結(jié)合圖形逐項(xiàng)判斷中，可能相交，故錯(cuò)誤；中，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；中，若m，n，mn，則m，故錯(cuò)誤；中，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有mn，所以原命題正確，故正確規(guī)律方法1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理2(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形，通過(guò)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確變式訓(xùn)練1若m，n表示不同的直線，表示不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是_若m，mn，則n；若m，n，m，n，則；若，m，n，則mn；若，m，nm，n，則n.在中，若m，mn，則n或n，故錯(cuò)誤在中，若m，n，m，n，則與相交或平行，故錯(cuò)誤在中，若，m，n，則m與n相交、平行或異面，故錯(cuò)誤在中，若，m，nm，n，則由線面平行的判定定理得n，故正確直線與平面平行的判定與性質(zhì) (2017·南通模擬)如圖40­1所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的中點(diǎn)圖40­1(1)證明：AD1平面BDC1.(2)證明：BD平面AB1D1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172219】證明：(1)D1，D分別為A1C1與AC的中點(diǎn)，四邊形ACC1A1為平行四邊形，C1D1綊DA，四邊形ADC1D1為平行四邊形，AD1C1D，又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)連結(jié)D1D，BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，BB1D1D，又D1，D分別為A1C1與AC的中點(diǎn)，BB1DD1，故四邊形BDD1B1為平行四邊形，BDB1D1，又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1.規(guī)律方法1.判斷或證明線面平行的常用方法有：(1)利用反證法(線面平行的定義)；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，aa)2利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線變式訓(xùn)練2在多面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，三角形CDE是等邊三角形，棱EFBC且EFBC.求證：FO平面CDE.圖40­2證明取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM，EM，在矩形ABCD中，OMBC且OMBC，又EFBC且EFBC，則EFOM且EFOM.所以四邊形EFOM為平行四邊形，所以FOEM.又因?yàn)镕O平面CDE，且EM平面CDE，所以FO平面CDE.平面與平面平行的判定與性質(zhì)(典例遷移)如圖40­3所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：圖40­3(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)在ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.遷移探究在本例條件下，若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD平面A1B1BA.證明如圖所示，連結(jié)HD，A1B，D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，HDA1B.又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.規(guī)律方法1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行)2面面平行的性質(zhì)定理的作用：(1)判定線面平行；(2)判斷線線平行，線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的問(wèn)題的指導(dǎo)思想解題時(shí)要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向易錯(cuò)警示：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時(shí)，需要說(shuō)明是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行變式訓(xùn)練3如圖40­4，四棱錐P­ABCD中，ABCD，AB2CD，E為PB的中點(diǎn)圖40­4(1)求證：CE平面PAD.(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD平面CEF？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172220】解 (1)如圖所示，取PA的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，DH，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EHAB，EHAB，又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD，因此四邊形DCEH是平行四邊形，所以CEDH，又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD.(2)如圖所示，取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)CF，EF，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，因此CFAD.又CF平面PAD，所以CF平面PAD，由(1)可知CE平面PAD，又CECFC，故平面CEF平面PAD，故存在AB的中點(diǎn)F滿足要求思想與方法1線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化線線平行面面判定定理性質(zhì)定理平行其中線面平行是核心，線線平行是基礎(chǔ)，要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化2直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì)3平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)推論；(4)a，a.易錯(cuò)與防范1在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤2(1)在面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交直線”這一條件(2)如要一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，易誤認(rèn)為這兩個(gè)平面平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交3在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，要遵從由“高維”到“低維”，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”，另外要注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用課時(shí)分層訓(xùn)練(四十)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是_b，若b或b與相交當(dāng)b與相交或b或b時(shí)，均有滿足a平面，ab的情形2已知l，m是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面下列命題：若l，m，l，m，則；若l，l，m，則lm；若，l，則l；若l，ml，則m.其中真命題是_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))對(duì)于中，只要當(dāng)l與m相交時(shí)，才可證明；對(duì)于中，l可能在平面內(nèi)，正確3設(shè)，為三個(gè)不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab.其中能推出的條件是_(填上所有正確的序號(hào)) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172221】在條件或條件中，或與相交由，條件滿足在中，a，abb，從而，滿足4已知平面外不共線的三點(diǎn)A，B，C到的距離都相等，則正確的結(jié)論是_(填序號(hào))平面ABC必平行于；平面ABC必與相交；平面ABC必不垂直于；存在ABC的一條中位線平行于或在內(nèi)若A，B，C三點(diǎn)在同側(cè)，則平面ABC.若A，B，C三點(diǎn)在異側(cè)，不妨設(shè)B，C在的同側(cè)，則BC，由平行線的性質(zhì)可知存在一條中位線DEBC，且DE.5如圖40­5所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是_圖40­5平行在三棱柱ABC­A1B1C1中，ABA1B1.AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC.過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE，DEA1B1，DEAB.6.在四面體ABCD中，M，N分別是ACD，BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是_平面ABD與平面ABC如圖，取CD的中點(diǎn)E.則EMMA12，ENBN12，所以MNAB，所以MN平面ABD，MN平面ABC.7平面平面，點(diǎn)A，C，B，D，則直線AC直線BD的充要條件是_ABCD；ADCB；AB與CD相交； A，B，C，D四點(diǎn)共面由面面平行的性質(zhì)可知，ACBD的充要條件是A，B，C，D四點(diǎn)共面8.如圖40­6所示，ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP，過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172222】圖40­6面ABCD面A1B1C1D1，則PQMN，連結(jié)AC(圖略)，由MNAC可知PQAC.又AP，PDa，PDDA23.PQAC.又ACa，故PQa.9下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB平面MNP的圖形的序號(hào)是_圖40­7對(duì)于圖形，平面MNP與AB所在的對(duì)角面平行，即可得到AB平面MNP；對(duì)于圖形，ABPN，即可得到AB平面MNP；圖形無(wú)論用定義還是判定定理都無(wú)法證明線面平行10如圖40­8，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足條件_時(shí)，有MN平面B1BDD1.圖40­8MFHHNBD，F(xiàn)HDD1，平面FHN平面BB1D1D.M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，故MFH.二、解答題11一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖40­9所示(1)請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172223】圖40­9解(1)點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示(2)平面BEG平面ACH，證明如下：因?yàn)锳BCD­EFGH為正方體，所以BCFG，BCFG.又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.12.如圖40­10，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1CBC1E.圖40­10求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DEAC.又因?yàn)镈E平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因?yàn)锳C平面ABC，所以ACCC1.因?yàn)锳CBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1平面BCC1B1，所以BC1AC.因?yàn)锽CCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因?yàn)锳C，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因?yàn)锳B1平面B1AC，所以BC1AB1.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1.如圖40­11所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上若EF平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于_圖40­11在正方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，AC2.又E為AD中點(diǎn)，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，EFAC.2如圖40­12所示，棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)且A1B平面B1CD，則A1DDC1的值為_(kāi)圖40­121設(shè)BC1B1CO，連結(jié)OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD.四邊形BCC1B1是菱形，O為BC1的中點(diǎn)，D為A1C1的中點(diǎn)，則A1DDC11.3如圖40­13，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)，求證：圖40­13(1)直線EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.證明(1)如圖，連結(jié)SB，因?yàn)镋，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，所以EGSB.又因?yàn)镾B平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直線EG平面BDD1B1.(2)連結(jié)SD，因?yàn)镕，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，所以FGSD.又因?yàn)镾D平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EGFGG，所以平面EFG平面BDD1B1.4如圖40­14所示，在三棱錐P­ABC中，平面PAC平面ABC，PAAC，ABBC，設(shè)D，E分別為PA，AC的中點(diǎn)圖40­14(1)求證：DE平面PBC.(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得過(guò)三點(diǎn)D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點(diǎn)F的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)證明：點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)D是PA的中點(diǎn)，DEPC.又DE平面PBC，PC平面PBC，DE平面PBC.(2)當(dāng)點(diǎn)F是線段AB中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行證明如下：取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF.由(1)可知DE平面PBC.點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，EFBC.又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC.又DEEFE，平面DEF平面PBC，平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行故當(dāng)點(diǎn)F是線段AB中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行