課時(shí)分層訓(xùn)練(三)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)1設(shè)(5x)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若MN240，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172324】解依題意得，M4n(2n)2，N2n，于是有(2n)22n240，(2n15)(2n16)0，2n1624，解得n4.要使二項(xiàng)式系數(shù)C最大，只有r2，故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T3C(5x)2·()2150x3.2設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a7b，求m的值解(xy)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C，aC，同理，bC.13a7b，13·C7·C.13·7·.m63已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172325】解令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()÷2，得a1a3a5a71 094.(3)()÷2，得a0a2a4a61 093.(4)法一：(12x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.法二：|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.4已知二項(xiàng)式n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256.(1)求n；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)解(1)由題意得CCCC256，2n256，解得n8.(2)該二項(xiàng)展開式中的第r1項(xiàng)為Tr1C()8r·rC·x，令0，得r2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為T3C28.5若n展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：(1)展開式中所有x的有理項(xiàng)；(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解易求得展開式前三項(xiàng)的系數(shù)為1，C，C.據(jù)題意得2×C1Cn8.(1)設(shè)展開式中的有理項(xiàng)為Tr1，由Tr1C()8rrrCx，r為4的倍數(shù)，又0r8，r0,4,8.故有理項(xiàng)為T10Cxx4，T54Cxx，T98Cx.(2)設(shè)展開式中Tr1項(xiàng)的系數(shù)最大，則：rCr1C且rCr1Cr2或r3.故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T32Cx7x，T43Cx7x.6(1)已知2n2·3n5na能被25整除，求正整數(shù)a的最小值；(2)求1.028的近似值(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)解(1)原式4·6n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，顯然正整數(shù)a的最小值為4.(2)1.028(10.02)8CC·0.02C·0.022C·0.0231.172.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1(2017·蘇州期中)設(shè)f(x，n)(1x)n，nN.(1)求f(x,6)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)nN，化簡(jiǎn)C4n1C4n2C4n3C40C41；(3)求證：C2C3CnCn×2n1.解(1)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)為Cx320x3.(2)C4n1C4n2C4n3C40C41C4nC4n1C4n2C4C(41)n.(3)證明：因?yàn)閗CnC，所以C2C3CnCn(CCCC)n×2n1.2已知f(x)(1x)m(12x)n(m，nN)的展開式中x的系數(shù)為11.(1)求x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值；(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，求f(x)展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和解(1)由已知得C2C11，m2n11，x2的系數(shù)為C22C2n(n1)(11m)2.mN，m5時(shí)，x2的系數(shù)取得最小值22，此時(shí)n3.(2)由(1)知，當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，m5，n3，f(x)(1x)5(12x)3.設(shè)這時(shí)f(x)的展開式為f(x)a0a1xa2x2a5x5，令x1，a0a1a2a3a4a5253359，令x1，a0a1a2a3a4a51，兩式相減得2(a1a3a5)60，故展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為30.3(2017·南京模擬)設(shè)集合S1,2,3，n(nN，n2)，A，B是S的兩個(gè)非空子集，且滿足集合A中的最大數(shù)小于集合B中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為Pn.(1)求P2，P3的值；(2)求Pn的表達(dá)式解(1)當(dāng)n2時(shí)，即S1,2，此時(shí)A1，B2，所以P21.當(dāng)n3時(shí)，即S1,2,3若A1，則B2，或B3，或B2,3；若A2或A1,2，則B3所以P35.(2)當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時(shí)，集合A的其余元素可在1,2，k1中任取若干個(gè)(包含不取)，所以集合A共有CCCC2k1種情況此時(shí)，集合B的元素只能在k1，k2，n中任取若干個(gè)(至少取1個(gè))，所以集合B共有CCCC2nk1種情況，所以，當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時(shí)，集合對(duì)(A，B)共有2k1(2nk1)2n12k1對(duì)當(dāng)k依次取1,2,3，n1時(shí)，可分別得到集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)，求和可得Pn(n1)·2n1(2021222n2)(n2)·2n11.4(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)在楊輝三角形中，從第3行開始，除1以外，其它每一個(gè)數(shù)值是它上面的二個(gè)數(shù)值之和，其它每一個(gè)數(shù)值是它上面的二個(gè)數(shù)值之和，這三角形數(shù)陣開頭幾行如圖59­2所示圖59­2(1)在楊輝三角形中是否存在某一行，且該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為345？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)已知n、r為正整數(shù)，且nr3.求證：任何四個(gè)相鄰的組合數(shù)C，C，C，C不能構(gòu)成等差數(shù)列解(1)楊輝三角形的第n行由二項(xiàng)式系數(shù)C，k0,1,2，n組成如果第n行中有，那么3n7k3,4n9k5，解這個(gè)聯(lián)立方程組，得k27，n62. 即第62行有三個(gè)相鄰的數(shù)C，C，C的比為345.(2)假設(shè)有n，r(nr3)，使得C，C，C，C成等差數(shù)列，則2CCC，2CCC，即，.所以有，經(jīng)整理得到n2(4r5)n4r(r2)20，n2(4r9)n4(r1)(r3)20. 兩式相減可得n2r3， 于是C，C，C，C成等差數(shù)列，而由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知CCCC，這與等差數(shù)列性質(zhì)矛盾，從而要證明的結(jié)論成立