章末復習課第2章推理與證明學習目標1.了解合情推理的含義，能利用歸納、類比進行簡單的推理.2.了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法，并會利用分析法和綜合法證明簡單的問題.3.了解反證法的思想，并能靈活應用.題型探究知識梳理內容索引當堂訓練知識梳理知識梳理1.合情推理(1)歸納推理定義：從個別事實中推演出 的結論的推理稱為歸納推理.歸納推理的思維過程大致是： .特點：由 到整體、由 到一般的推理.(2)類比推理定義：根據兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理.類比推理的思維過程為： .特點：類比推理是由 到 的推理.一般性實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論部分個別觀察、比較聯想、類推猜測新的結論特殊特殊(3)合情推理合情推理是根據 、 、 ，以及個人的 和直覺等推測某些結果的推理過程. 和 都是數學活動中常用的合情推理.2.演繹推理(1)演繹推理由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法叫演繹推理.簡言之，演繹推理是由 到 的推理.已有的事實正確的結論實驗和實踐的結果經驗歸納推理類比推理一般特殊(2)“三段論”是演繹推理的一般模式大前提已知的 ；小前提所研究的 ；結論根據一般原理，對 作出的判斷.3.直接證明(1)綜合法定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止，這種證明方法常稱為綜合法.思維過程：由因導果.一般原理特殊情況特殊情況(2)分析法定義：從問題的結論出發(fā)，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件吻合為止，這種證明方法常稱為分析法.思維過程：執(zhí)果索因.4.間接證明用反證法來證明時，要從否定結論開始，經過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題).題型探究題型探究例例1(1)有一個奇數列1,3,5,7,9，現在進行如下分組：第一組含一個數1；第二組含兩個數3,5；第三組含三個數7,9,11；第四組含四個數13,15,17,19；，試觀察每組內各數之和f(n)(nN*)與組的編號數n的關系式為_.類型一合情推理的應用解析解析由于113 ,35823，79112733,131517196443，猜想第n組內各數之和f(n)與組的編號數n的關系式為f(n)n3.f(n)n3答案解析解答(2)在平面幾何中，對于RtABC，ACBC，設ABc，ACb，BCa，則a2b2c2；cos2Acos2B1；把上面的結論類比到空間寫出相類似的結論；試對其中一個猜想進行證明.解解選取3個側面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象.設3個兩兩垂直的側面的面積分別為S1，S2，S3，底面面積為S，設3個兩兩垂直的側面與底面所成的角分別為，則cos2cos2cos21.設3個兩兩垂直的側面形成的側棱長分別為a，b，c，則這個四面體下面對的猜想進行證明.如圖在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，面ABC，面ABD，面ACD為三個兩兩垂直的側面.設ABa，ACb，ADc，即所證猜想為真命題.(1)歸納推理中有很大一部分題目是數列內容，通過觀察給定的規(guī)律，得到一些簡單數列的通項公式是數列中的常見方法.(2)類比推理重在考查觀察和比較的能力，題目一般情況下較為新穎，也有一定的探索性.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1(1)觀察下列圖形中小正方形的個數，則第n個圖形中有_個小正方形.答案解析解析解析第1個圖有3個正方形記作a1，第2個圖有33個正方形記作a2，第3個圖有64個正方形記作a3，第4個圖有105個正方形記作a4，正方形的個數構成數列an，則a2a13，(1)a3a24, (2)a4a35, (3) anan1n1，(n1)(1)(2)(n1)，得ana1345(n1)，(2)若數列an為等差數列，Sn為其前n項和，則有性質“若SmSn(m，nN*且mn)，則Smn0.”類比上述性質，相應地，當數列bn為等比數列時，寫出一個正確的性質：_.答案 數列bn為等比數列，Tm表示其前m項的積，若TmTn(m，nN*，mn)，則Tmn1類型二綜合法與分析法證明證明證明方法一(綜合法)因為a0，b0，ab1，方法二(分析法)因為a0，b0，ab1，所以原不等式成立.反思與感悟分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法：分析法是倒溯，綜合法是順推，二者各有優(yōu)缺點.分析法容易探路，且探路與表述合一，缺點是表述易錯；綜合法條件清晰，易于表述，因此對于難題常把二者交互運用，互補優(yōu)缺，形成分析綜合法，其邏輯基礎是充分條件與必要條件.跟蹤訓練跟蹤訓練2已知x0，y0，求證：(x2y2) (x3y3) . 證明1312證明證明要證明(x2y2) (x3y3) ，只需證(x2y2)3(x3y3)2.只需證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，只需證3x4y23x2y42x3y3.又x0，y0，x2y20，只需證3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立，故(x2y2) (x3y3) .12121313類型三反證法證明因為x0且y0，所以1x2y且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2.這與已知xy2矛盾.反思與感悟反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時，也常用反證法.跟蹤訓練跟蹤訓練3已知：ac2(bd).求證：方程x2axb0與方程x2cxd0中至少有一個方程有實數根.證明證明證明假設兩方程都沒有實數根，則1a24b0與2c24d0，有a2c22ac，即acbc，ab0，bc0，ac0，且acabbc.故k的最大正整數為4.3.已知在ABC中，ADBC于D，三邊是a，b，c，則有accos Bbcos C.類比上述推理結論，寫出下列條件下的結論：在四面體PABC中，ABC，PAB，PBC，PCA的面積分別是S，S1，S2，S3，二面角PABC，PBCA，PACB的度數分別是，則S_.23451答案S1cos S2cos S3cos 4.如圖，這是一個正六邊形的序列：23451則第n個圖形的邊數為_.答案5n1解析解析解析圖(1)共6條邊，圖(2)共11條邊，圖(3)共16條邊，其邊數構成以6為首項，5為公差的等差數列，則圖(n)的邊數為an6(n1)55n1.23451證明證明證明因為ab，所以ab0，平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|2)，只需證|a|2|b|22|a|b|0成立.即只需證(|a|b|)20，它顯然成立.故原不等式得證.規(guī)律與方法直接證明和間接證明是數學證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結論的證明方法；分析法是由結論追溯到條件的證明方法，在解決數學問題時，常把它們結合起來使用.間接證明的一種方法是反證法，反證法是從結論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.本課結束