第12練數(shù)列的綜合問題中檔大題規(guī)范練明晰考情1.命題角度：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明；以an， Sn的關(guān)系為切入點(diǎn)，考查數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等；數(shù)列和函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用；一般位于解答題的17題位置.2.題目難度：中等偏下難度.考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(1)定義法：若an1and，d為常數(shù)，則an為等差(比)數(shù)列.(2)中項(xiàng)公式法.(3)通項(xiàng)公式法.1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù).(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由.(1)證明由題設(shè)知，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)解由題設(shè)知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得數(shù)列a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；數(shù)列a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列.2.已知數(shù)列an滿足a12，且an12an2n1，nN*.(1)設(shè)bn，證明：bn為等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)在(1)的條件下，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解(1)把a(bǔ)n2nbn代入到an12an2n1，得2n1bn12n1bn2n1，兩邊同除以2n1，得bn1bn1，即bn1bn1，bn為等差數(shù)列，首項(xiàng)b11，公差為1，bnn(nN*).(2)由bnn，得ann×2n，Sn1×212×223×23n×2n，2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1，兩式相減，得Sn2122232nn×2n1(1n)×2n12，Sn(n1)×2n12(nN*).3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*).(1)求數(shù)列an的前三項(xiàng)a1，a2，a3；(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式.解(1)在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1，2，3，得解得(2)由Sn2an(1)n(nN*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，兩式相減，得an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，an(1)n2(n2).故數(shù)列是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.an(1)n×2n1，an×2n1×(1)n(1)n.考點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)與求和方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的數(shù)列，可用累加法；形如f(n)的數(shù)列，可用累乘法.構(gòu)造數(shù)列法形如an1，可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造等差數(shù)列；形如an1panq(p×q0，且p1)，可轉(zhuǎn)化為an1p構(gòu)造等比數(shù)列.(2)數(shù)列求和的常用方法倒序相加法；分組求和法；錯(cuò)位相減法；裂項(xiàng)相消法.4.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由已知得1(n1)×22n1，所以Sn2n2n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a114×13滿足上式，所以an4n3，nN*.(2)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn(15)(913)(4n7)(4n3)4×2n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n1為偶數(shù)，TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1.綜上，Tn5.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a223a72，且，S3成等比數(shù)列，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)于任意的nN*，都有8Tn<225成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由得即解得或當(dāng)a1，d時(shí)，沒有意義，a12，d2，此時(shí)an22(n1)2n.(2)bn，Tnb1b2b3bn，8Tn32<3.為滿足題意，必須使2253，或3.6.(2018·張掖高三診斷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，其中nN*，若數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解(1)由a13S143a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，兩式相減并化簡(jiǎn)得an1an，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，ann1，bnlog2an1log2n2n.(2)由題意知，cn.令Hn，則Hn，得，Hn1.Hn2.又Mn11，TnHnMn2.考點(diǎn)三數(shù)列的綜合問題方法技巧(1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出數(shù)列的通項(xiàng)或遞推關(guān)系.(2)數(shù)列是特殊的函數(shù)，解題時(shí)要充分利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列問題，如數(shù)列中的最值問題.(3)解決數(shù)列與不等式綜合問題的常用方法有比較法(作差法、作商法)、放縮法等.7.已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1x23，x3x22.(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1，1)，P2(x2，2)，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.解(1)設(shè)數(shù)列xn的公比為q.由題意得所以3q25q20，由已知得q0，所以q2，x11.因此數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn2n1.(2)過P1，P2，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，由題意得bn×2n1(2n1)×2n2，所以Tnb1b2bn3×215×207×21(2n1)×2n3(2n1)×2n2.又2Tn3×205×217×22(2n1)×2n2(2n1)×2n1，得Tn3×21(2222n1)(2n1)×2n1(2n1)×2n1.所以Tn.8.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Snn2an(nN*).(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn(2n1)an2n1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足不等式>2 010的n的最小值.解(1)當(dāng)n1時(shí)，2a1S11a11，a11.2anSnn，nN*，2an1Sn1n1，n2，兩式相減，得an2an11，n2，即an12(an11)，n2，數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an12n，an2n1，nN*.(2)bn(2n1)an2n1(2n1)·2n，Tn3×25×22(2n1)·2n，2Tn3×225×23(2n1)·2n1，兩式相減可得Tn3×22×222×232·2n(2n1)·2n1，Tn(2n1)·2n12，>2 010可化為2n1>2 010.2101 024，2112 048，滿足不等式>2 010的n的最小值為10.9.已知數(shù)列an中，a12，anan12n0(n2，nN*).(1)寫出a2，a3的值(只寫出結(jié)果)，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式t22t>bn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解(1)a26，a312，當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)22×22×32n2(123n)n(n1).因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a12也滿足上式，所以ann(n1).(2)bn.因?yàn)閎n1bn<0，所以bn1<bn，則數(shù)列bn是遞減數(shù)列，所以(bn)maxb1，因?yàn)閠22t>bn恒成立，所以t22t>，解得t<0或t>2，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為(，0)(2，).典例(12分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，Snb1b2bn，求使Snn×2n130成立的正整數(shù)n的最小值.審題路線圖規(guī)范解答·評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q.由題意知2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38，所以a2a420，所以解得或3分又?jǐn)?shù)列an單調(diào)遞增，所以q2，a12，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.5分(2)因?yàn)閎nn×2n，6分所以Sn(1×22×22n×2n)，2Sn1×222×23(n1)×2nn×2n1，兩式相減，得Sn222232nn×2n12n12n×2n1.8分又Snn×2n130，可得2n1230，即2n13225，10分所以n15，即n4.所以使Snn×2n130成立的正整數(shù)n的最小值為5.12分構(gòu)建答題模板第一步求通項(xiàng)：根據(jù)題目條件，列方程(組)求解，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.第二步巧求和：根據(jù)數(shù)列的類型，選擇適當(dāng)方法求和或經(jīng)適當(dāng)放縮后求和.第三步得結(jié)論：利用不等式或函數(shù)性質(zhì)求證不等式或解決一些最值問題.1.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a17，S315.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值.解(1)設(shè)an的公差為d，由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d2n9.(2)由(1)得Sn·nn28n(n4)216.所以當(dāng)n4時(shí)，Sn取得最小值16.2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項(xiàng)和.解(1)由題意得得又當(dāng)n2時(shí)，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，又a23a1，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1，nN*.(2)設(shè)bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，當(dāng)n3時(shí)，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則T12，T23，當(dāng)n3時(shí)，Tn3，經(jīng)驗(yàn)證T2符合上求.Tn3.(2018·黔東南州模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn(an1)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnlog2an，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn<.(1)解當(dāng)n1時(shí)，有a1S1(a11)，解得a14.當(dāng)n2時(shí)，有Sn1(an11)，則anSnSn1(an1)(an11)，整理得4，數(shù)列an是以q4為公比，以a14為首項(xiàng)的等比數(shù)列.an4×4n14n(nN*)即數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n(nN*).(2)證明由(1)得bnlog2anlog24n2n，則Tn<.4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且anSn4.(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)是否存在正整數(shù)k，使>2成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.(1)證明由題意，知anSn4，an1Sn14，兩式相減，得(Sn1an1)(Snan)0，即2an1an0，an1an.又a1S14，所以2a14，即a12.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為a12，公比為的等比數(shù)列.(2)解由(1)得an2·n1，則Sn422n.假設(shè)存在正整數(shù)k，使>2成立，由Sk20知k1，即k>1，kN*.由>2，整理得<21k<1，即1<2k1<，因?yàn)閗N*，所以2k1N*，這與2k1相矛盾，故不存在這樣的正整數(shù)k，使已知不等式成立.