專題19 平面向量的基本定理及其坐標表示1.了解平面向量基本定理及其意義2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件熱點題型一 平面向量基本定理及其應用例1、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點。設a，b，試用a，b為基底表示向量，。解析：babba，bba。bab。【提分秘籍】用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)合理地選取基底是解題必須具備的意識和能力。用基底將條件和結論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決。(2)要注意運用平面幾何的一些性質、定理來解題。熱點題型二 平面向量的坐標運算例2、【2017課標3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若= +，則+的最大值為A3B2CD2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系設 【變式探究】已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，設a，b，c，且3c，2b。(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量的坐標。解析：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)。(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)。(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得解析：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)。(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)。(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得【提分秘籍】 向量坐標運算的方法技巧向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的。若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及運算法則的正確使用。 【舉一反三】 已知平面向量a(1，1)，b(1，1)，則向量ab()A(2，1)B(2，1)C(1，0) D(1，2)解析：a，b，故ab(1，2)。答案：D熱點題型三 平面向量共線的坐標表示 例3【2017課標II，理12】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，以為軸， 的垂直平分線為軸， 為坐標原點建立平面直角坐標系，則， ， ，設，所以， ， ，所以， ，當時，所求的最小值為，故選B平面內給定三個向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)?；卮鹣铝袉栴}：(1)若(akc)(2ba)，求實數(shù)k；(2)設d(x，y)滿足(dc)(ab)且|dc|1，求d。解析：(1)akc(3，2)k(4，1)(34k，2k)，2ba(2，4)(3，2)(5，2)，。68k105k.k?！咎岱置丶?根據(jù)向量共線的坐標運算求參數(shù)的值利用向量共線轉化為含參數(shù)的方程，解方程可求參數(shù)。2利用向量共線的坐標運算求三角函數(shù)值利用向量共線的坐標運算轉化為三角方程，再利用三角恒等變換求解?！九e一反三】 已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點D的坐標為_。 1.【2017課標3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若= +，則+的最大值為A3B2CD2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系設 根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是 ，若滿足即 ， ，所以，設 ，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A?！究键c】 平面向量的坐標運算；平面向量基本定理2.【2017課標II，理12】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小是（ ）A. B. C. D.【答案】B【考點】 平面向量的坐標運算；函數(shù)的最值3.【2017課標1，理13】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下圖形，可以判斷出的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度，所以.【考點】平面向量的運算.1.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內，定點A，B，C，D滿足 =,=-2，動點P，M滿足 =1，=，則的最大值是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】甴已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則設由已知，得，又，它表示圓上的點與點的距離的平方的，故選B.【2015高考福建，理9】已知 ，若 點是 所在平面內一點，且 ，則 的最大值等于（ ）A13 B15 C19 D21【答案】A【解析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，即，所以，因此，因為，所以 的最大值等于，當，即時取等號【2015高考湖北，理11】已知向量，則 .【答案】9【解析】因為，所以. 1（2014·重慶卷） 已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，則實數(shù)k()A B0C3 D.【答案】C【解析】2a3b2(k，3)3(1，4)(2k3，6)，又(2a3b)c，(2k3)×2(6)0，解得k3.2（2014·福建卷） 在下列向量組中，可以把向量a(3，2)表示出來的是()Ae1(0，0)，e2(1，2) Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10) De1(2，3)，e2(2，3)【答案】B【解析】由向量共線定理，選項A，C，D中的向量組是共線向量，不能作為基底；而選項B中的向量組不共線，可以作為基底，故選B.3（2014·山東卷） 已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函數(shù)f(x)a·b，且yf(x)的圖像過點和點.(1)求m，n的值；(2)將yf(x)的圖像向左平移(0)個單位后得到函數(shù)yg(x)的圖像，若yg(x)圖像上各最高點到點(0，3)的距離的最小值為1，求yg(x)的單調遞增區(qū)間 (2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin.由題意知，g(x)f(x)2sin.設yg(x)的圖像上符合題意的最高點為(x0，2)由題意知，x11，所以x00，即到點(0，3)的距離為1的最高點為(0，2)將其代入yg(x)得，sin1.因為0<<，所以.因此，g(x)2sin2cos 2x.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以函數(shù)yg(x)的單調遞增區(qū)間為，kZ.4（2014·陜西卷） 設0<<，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _【答案】【解析】因為向量ab，所以sin 2cos ·cos 0，又cos 0，所以2sin cos ，故tan .5（2014·陜西卷） 在直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點P(x，y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上(1)若0，求|；(2)設mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值【解析】(1)方法一：0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，解得即(2，2)，故|2.方法二：0，則()()()0，()(2，2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n，2mn)，兩式相減得，mnyx，令yxt，由圖知，當直線yxt過點B(2，3)時，t取得最大值1，故mn的最大值為1.1.已知向量a=(2，4)，b=(-1，1)，則2a-b=()A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)【解析】選A.2a-b=2(2，4)-(-1，1)=(5，7).2.在ABC中，已知A(2，1)，B(0，2)，=(1，-2)，則向量=()A.(0，0)B.(2，2)C.(-1，-1)D.(-3，-3)【解析】選C.因為A(2，1)，B(0，2)，所以=(-2，1).又因為=(1，-2)，所以=+=(-2，1)+(1，-2)=(-1，-1).3.若向量a=(2，1)，b=(-2，3)，則以下向量中與向量2a+b共線的是()A.(-5，2)B.(4，10)C.(10，4)D.(1，2)【解析】選B.因為向量a=(2，1)，b=(-2，3)，所以2a+b=(2，5).又(4，10)=2(2，5)=2(2a+b)，所以B項與2a+b共線.4.已知a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，則c可用a與b表示為()A.a+bB.2a+3bC.3a-2bD.2a-3b【解析】選C.因為a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，所以a+b=(0，3)c，2a+3b=2(1，1)+3(-1，2)=(-1，8)c，3a-2b=3(1，1)-2(-1，2)=(5，-1)=c，2a-3b=2(1，1)-3(-1，2)=(5，-4)c.故選C.5.在ABC中，點P在BC上，且=2，點Q是AC的中點，若=(4，3)，=(1，5)，則=()A.(-2，7)B.(-6，21)C.(2，-7)D.(6，-21)【解析】選B.由條件知，=2-=2(1，5)-(4，3)=(-2，7)，因為=2=(-4，14)，所以=+=(-6，21).6.在ABC中，已知a，b，c分別為A，B，C所對的邊，S為ABC的面積，若向量p=(4，a2+b2-c2)，q=(1，S)滿足pq，則C=()A.B.C.D.7.在ABC中，點D在線段BC的延長線上，且=3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若=x+(1-x)，則x的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選D.如圖.依題意，設=，其中1<<，則有=+=+=+(-)=(1-)+.又=x+(1-x)，且不共線，于是有x=1-，即x的取值范圍是.8.設e1，e2是平面內一組基向量，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，若e1+e2=xa+yb，則x+2y=()A.B.-C.1D.0【解析】選D.因為e1+e2=xa+yb.a=e1+2e2，b=-e1+e2，所以e1+e2=x(e1+2e2)+y(-e1+e2)=(x-y)e1+(2x+y)e2.由平面向量基本定理，得所以故x+2y=+2×=0.9.已知A(7，1)、B(1，4)，直線y=ax與線段AB交于C，且=2，則實數(shù)a等于.【解析】設C(x，y)，則=(x-7，y-1)，=(1-x，4-y).因為=2，所以解得所以C(3，3).又C點在直線y=ax上，故3=a，得a=2.【答案】210.如圖所示，A，B，C是O上的三點，線段CO的延長線與線段BA的延長線交于O外的一點D，若=m+n，則m+n的取值范圍是.【解析】因為線段CO的延長線與線段BA的延長線的交點為D，則=t，因為D在圓外，所以t<-1，又D，A，B共線，故存在，使得=+，且+=1，又=m+n，所以tm+tn=+.所以m+n=，所以m+n(-1，0).【答案】(-1，0)11.已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+nb與a-2b共線，則=.12.設O是坐標原點，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值為.【解析】由題意得=-=(k-4，7)，=-=(6，k-5)， 所以(k-4)(k-5)=6×7，k-4=7或k-4=-6，即k=11或k=-2.【答案】11或-213.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，且滿足=+，則=.【解析】由已知得，3=2+即-=2(-)，即=2.如圖所示:故C為BA的靠A點的三等分點，因而=.【答案】14.已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為(1，0)，(0，1)，(2，1)，則其第四個頂點的坐標為.【解析】設A(1，0)，B(0，1)，C(2，1)，第四個頂點D(x，y)，由題意，該平行四邊形四個頂點的順序不確定，討論如下:若平行四邊形為ABCD，則=.因為=(-1，1)，=(2-x，1-y)，所以解得即D(3，0);若平行四邊形為ABDC，則=.因為=(-1，1)，=(x-2，y-1)，所以解得即D(1，2);若平行四邊形為ACBD，則=.因為=(1，1)，=(-x，1-y)，所以解得即D(-1，0).【答案】(3，0)或(1，2)或(-1，0)15.已知a=(1，0)，b=(2，1)，(1)當k為何值時，ka-b與a+2b共線.(2)若=2a+3b，=a+mb，且A，B，C三點共線，求m的值.16.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量a=(2，1)，A(1，0)，B(cos，t)，(1)若t=-，(0，)，a，求的值.(2)若a，求y=cos2-cos+t2的最小值.【解析】(1)因為=(cos-1，t)，又a，所以2t-cos+1=0.所以cos-1=2t.因為t=-，所以cos=.又因為(0，)，所以=.17.已知三點A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a>0，b>0.(1)若O是坐標原點，且四邊形OACB是平行四邊形，試求a，b的值.(2)若A，B，C三點共線，試求a+b的最小值.【解析】(1)因為四邊形OACB是平行四邊形，所以=，即(a，0)=(2，2-b)，解得故a=2，b=2.(2)因為=(-a，b)，=(2，2-b)，由A，B，C三點共線，得，所以-a(2-b)-2b=0，即2(a+b)=ab，因為a>0，b>0，所以2(a+b)=ab，即(a+b)2-8(a+b)0，解得a+b8或a+b0.因為a>0，b>0，所以a+b8，即a+b的最小值是8.當且僅當a=b=4時，“=”成立.18.已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t(tR)，問:(1)t為何值時，點P在x軸上?點P在二、四象限角平分線上?(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能，求出相應的t值;若不能，請說明理由.【解析】(1)因為O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，所以=(1，2)，=(3，3)，=+t=(1+3t，2+3t).若P在x軸上，只需2+3t=0，t=-;若P在第二、四象限角平分線上，則1+3t=-(2+3t)，t=-. (2)=(1，2)，=(3-3t，3-3t)，若四邊形OABP是平行四邊形，則=，即此方程組無解.所以四邊形OABP不可能為平行四邊形.19