第二節(jié)不等式的證明 考綱傳真通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法1基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立2不等式證明的方法(1)比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種.名稱作差比較法作商比較法理論依據(jù)abab0abab0abab0b0，1ab b0，1ab(2)綜合法與分析法綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法即“由因?qū)Ч钡姆椒ǚ治龇ǎ簭那笞C的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫作分析法即“執(zhí)果索因”的方法1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論()(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論()(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)()(4)使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用()答案(1)×(2)(3)×(4)×2(教材改編)若ab1，xa，yb，則x與y的大小關(guān)系是()AxyB.xyCxy D.xyAxyaab.由ab1得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.3(教材改編)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，則M，N的大小關(guān)系為_(kāi)MN2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b0，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.4已知a0，b0且ln(ab)0，則的最小值是_4由題意得，ab1，a0，b0，(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立5已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明因?yàn)閤0，y0，所以1xy230,1x2y30，8分故(1xy2)(1x2y)3·39xy.10分比較法證明不等式已知a0，b0，求證：.證明法一：()0，.10分法二：由于111.8分又a0，b0，0，.10分規(guī)律方法1.在法一中，采用局部通分，優(yōu)化了解題過(guò)程；在法二中，利用不等式的性質(zhì)，把證明ab轉(zhuǎn)化為證明1(b0)2作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對(duì)差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號(hào)提醒：在使用作商比較法時(shí)，要注意說(shuō)明分母的符號(hào)變式訓(xùn)練1(2017·莆田模擬)設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a2b2(ab). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772447】證明因?yàn)閍2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).6分因?yàn)閍0，b0，所以不論ab0，還是0ab，都有ab與同號(hào)，所以(ab)0，所以a2b2(ab).10分綜合法證明不等式設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772448】(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca，由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.5分(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，則abc，所以1.10分規(guī)律方法1.綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч?，其證明的邏輯關(guān)系是：AB1B2BnB(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見(jiàn)書面表達(dá)式是“，”或“”2綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵變式訓(xùn)練2(2017·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足abcm，求證：3.解(1)當(dāng)x1時(shí)，f(x)2(x1)(x2)3x3；2分當(dāng)1x2時(shí)，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；當(dāng)x2時(shí)，f(x)2(x1)(x2)3x6.綜上，f(x)的最小值m3.5分(2)證明：a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足abc3，因?yàn)?abc)22(abc).8分(當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)取“”)所以abc，即3.10分分析法證明不等式(2015·全國(guó)卷)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件證明(1)a，b，c，d為正數(shù)，且abcd，欲證，只需證明()2()2，也就是證明ab2cd2，只需證明，即證abcd.由于abcd，因此.5分(2)若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.由(1)，得>.8分若>，則()2>()2，即ab2>cd2.因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|<|cd|的充要條件.10分規(guī)律方法1.本題將不等式證明與充要條件的判定滲透命題，考查推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，由于兩個(gè)不等式兩邊都是正數(shù)，可通過(guò)兩邊平方來(lái)證明2當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆3分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，其框圖表示為：變式訓(xùn)練3已知abc，且abc0，求證：a.證明要證a，只需證b2ac3a2.abc0，只需證b2a(ab)3a2，只需證2a2abb20，4分只需證(ab)(2ab)0，只需證(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0顯然成立，故原不等式成立.10分思想與方法1比較法：作差比較法主要判斷差值與0的大小，作商比較法關(guān)鍵在于判定商值與1的大小(一般要求分母大于0)2分析法：BB1B2BnA(結(jié)論)(步步尋求不等式成立的充分條件)(已知)3綜合法：AB1B2BnB(已知)(逐步推演不等式成立的必要條件)(結(jié)論)易錯(cuò)與防范1使用平均值不等式時(shí)易忽視等號(hào)成立的條件2用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立