第56課 幾何概型最新考綱內(nèi)容要求ABC幾何概型1幾何概型的概念設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度(長(zhǎng)度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關(guān)我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型2幾何概型的概率計(jì)算公式一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A).3要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性4隨機(jī)模擬方法(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法(2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法這個(gè)方法的基本步驟是用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；計(jì)算頻率fn(A)作為所求概率的近似值1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率()(2)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是.()(3)概率為0的事件一定是不可能事件()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()答案(1)(2)×(3)×(4)2(教材改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是_(填序號(hào))圖56­1P()，P()，P()，P()，P()>P()P()>P()3(2016·全國(guó)卷改編)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為_如圖，若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈AB長(zhǎng)度為401525，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為.4如圖56­2所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_圖56­2018由題意知，0.18.S正1，S陰0.18.5設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是_1如圖所示，區(qū)域D為正方形OABC及其內(nèi)部，且區(qū)域D的面積S4.又陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積S陰4，所求事件的概率P1.與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型(1)(2016·全國(guó)卷改編)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是_圖56­3(2)如圖56­3所示，四邊形ABCD為矩形，AB，BC1，在DAB內(nèi)作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為_ (1)(2)(1)如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P.(2)以A為圓心，以AD1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C，P，B.依題意，點(diǎn)P在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點(diǎn)，則事件“點(diǎn)P在上發(fā)生”又在RtABC中，易求BACBAC.故所求事件的概率P.規(guī)律方法1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍，當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用“線段長(zhǎng)度”為測(cè)度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置2(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測(cè)度”計(jì)算幾何概型的概率，導(dǎo)致錯(cuò)求P.(2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，曲線弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比變式訓(xùn)練1(1)設(shè)A為圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連結(jié)，則弦長(zhǎng)超過半徑倍的概率是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172308】(2)(2016·山東高考)在1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_(1)(2)(1)作等腰直角AOC和AMC，B為圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|R，P.(2)由直線ykx與圓(x5)2y29相交，得<3，即16k2<9，解得<k<.由幾何概型的概率計(jì)算公式可知P.與面積有關(guān)的幾何概型角度1與隨機(jī)模擬相關(guān)的幾何概型(2016·全國(guó)卷改編)從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為_因?yàn)閤1，x2，xn，y1，y2，yn都在區(qū)間0,1內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)用隨機(jī)模擬的方法可得，即，所以.角度2與線性規(guī)劃交匯問題由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域記為2，在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為_如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C，SBCD××(21)，SOAB×2×22，故P.規(guī)律方法1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對(duì)所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合2解題時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.與體積有關(guān)的幾何概型在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD­A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172309】1設(shè)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A.則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以點(diǎn)O為球心，以1為半徑的半球的外部V正方體238，V半球·13×.P(A)1.規(guī)律方法對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件求解變式訓(xùn)練2如圖56­4，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M­ABCD的體積小于的概率為_圖56­4設(shè)四棱錐M­ABCD的高為h，由于V正方體1.則·SABCD·h，又SABCD1，h，即點(diǎn)M在正方體的下半部分，所求概率P.思想與方法1古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：前者基本事件的個(gè)數(shù)有限，后者基本事件的個(gè)數(shù)無限2判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法(1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系(2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長(zhǎng)度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域易錯(cuò)與防范1易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點(diǎn)是試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的，不同之處是幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是無限的，古典概型中試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的2準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度”是解題關(guān)鍵3幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果課時(shí)分層訓(xùn)練(五十六)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)1在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X1的概率為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172310】在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X1，即2X1的概率為P.2如圖56­5所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機(jī)扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影部分的面積是_圖56­53設(shè)陰影部分的面積為S，且圓的面積S·329.由幾何概型的概率得，則S3.3若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖56­6所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是_圖56­6設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A).4已知平面區(qū)域D(x，y)|1x1，1y1，在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)位于直線ykx(kR)下方的概率為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172311】由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點(diǎn)O為中心的正方形，直線ykx將其面積平分，如圖，所求概率為.5一個(gè)長(zhǎng)方體空屋子，長(zhǎng)，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個(gè)角上各裝有一個(gè)捕蠅器(大小忽略不計(jì))，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率為_屋子的體積為5×4×360米3，捕蠅器能捕捉到的空間體積為××13×3米3，故蒼蠅被捕捉的概率是.6(2015·山東高考改編)在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為_不等式1log 1可化為log2loglog，即x2，解得0x，故由幾何概型的概率公式得P.7已知正三棱錐S­ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP­ABCVS­ABC的概率為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172312】當(dāng)點(diǎn)P到底面ABC的距離小于時(shí)，VP­ABCVS­ABC.由幾何概型知，所求概率為P13.8在區(qū)間0，上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得sin x的概率為_由0sin x，且x0，解得x.故所求事件的概率P.9小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小波周末不在家看書的概率為_去看電影的概率P1，去打籃球的概率P2，不在家看書的概率為P.10.如圖56­7，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于_圖56­7因?yàn)閒(x)B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，E(0,1)所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)故矩形ABCD的面積為2×36，S陰影×1×3.根據(jù)幾何概型得P.11已知ABC中，ABC60°，AB2，BC6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使ABD為鈍角三角形的概率為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172313】如圖，當(dāng)BE1時(shí)，AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí)，ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF4時(shí)，BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含C、F點(diǎn))上時(shí)，ABD為鈍角三角形所以ABD為鈍角三角形的概率為.12隨機(jī)向邊長(zhǎng)為5,5,6的三角形中投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是_由題意作圖，如圖，則點(diǎn)P應(yīng)落在深色陰影部分，S三角形×6×12，三個(gè)小扇形可合并成一個(gè)半圓，故其面積為，故點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率為.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1在區(qū)間2,4上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.3由|x|m，得mxm.當(dāng)m2時(shí)，由題意得，解得m2.5，矛盾，舍去當(dāng)2m4時(shí)，由題意得，解得m3.2在區(qū)間0,5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根的概率為_方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根，解得<p1或p2.故所求概率P.3設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為_|z|1，即(x1)2y21，表示的是圓及其內(nèi)部，如圖所示當(dāng)|z|1時(shí)，yx表示的是圖中陰影部分S圓×12，S陰影×12.故所求事件的概率P.4隨機(jī)地向半圓0y(a為正數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為_由0y(a0)，得(xa)2y2a2，因此半圓區(qū)域如圖所示設(shè)A表示事件“原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A).5(2015·湖北高考改編)在區(qū)間0,1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“xy”的概率，p2為事件“xy”的概率，則下列正確的是_p1<p2<；p2<<p1；<p2<p1；p1<<p2.如圖，滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“xy”對(duì)應(yīng)的圖形為陰影ODE(如圖)，其面積為××，故p1<，事件“xy”對(duì)應(yīng)的圖形為斜線表示部分(如圖)，其面積顯然大于，故p2>，則p1<<p2.6甲、乙兩輛車去同一貨場(chǎng)裝貨物，貨物每次只能給一輛車裝貨物，所以若兩輛車同時(shí)到達(dá)，則需要有一車等待已知甲、乙兩車裝貨物需要的時(shí)間都為20分鐘，倘若甲、乙兩車都在某1小時(shí)內(nèi)到達(dá)該貨場(chǎng)(在此期間貨場(chǎng)沒有其他車輛)，則至少有一輛車需要等待裝貨物的概率為_設(shè)甲、乙貨車到達(dá)的時(shí)間分別為x，y分鐘，據(jù)題意基本事件空間可表示為，而事件“有一輛車等待裝貨”可表示為A，如圖，據(jù)幾何概型可知其概率等于P(A).