第3講　圓與圓的方程 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1． (2014·長(zhǎng)春模擬)已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是 (　　)． A．x2＋y2＝2　 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1　 D．x2＋y2＝4 解析　AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)， |AB|＝＝2， ∴圓的方程為x2＋y2＝2. 答案　A 2．若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過 (　　)． A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限　 D．第四象限 解析　圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為， 則a＜0，b＞0.直線y＝－x－，k＝－＞0，－＞0，直線不經(jīng)過第四象限． 答案　D 3．(2014·鎮(zhèn)安中學(xué)模擬)圓心在y軸上且過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是 (　　)． A．x2＋y2＋10y＝0　 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0　 D．x2＋y2－10x＝0 解析　設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r＝|b|， ∴圓的方程為x2＋(y－b)2＝b2，∵點(diǎn)(3,1)在圓上， ∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5， ∴圓的方程為x2＋y2－10y＝0. 答案　B 4．兩條直線y＝x＋2a，y＝2x＋a的交點(diǎn)P在圓(x－1)2＋(y－1)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)． A.　 B.∪(1，＋∞) C.　 D.∪[1，＋∞) 解析　聯(lián)立解得P(a,3a)， ∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－＜a＜1，故應(yīng)選A. 答案　A 5．(2014·西交大附中模擬)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 (　　)． A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1　 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4　 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析　設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0，y0)，PQ的中點(diǎn)為M(x，y)，則解得因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4， 化簡(jiǎn)得(x－2)2＋ (y＋1)2＝1. 答案　A 二、填空題 6．已知點(diǎn)M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是________． 解析　過點(diǎn)M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案　x＋y－1＝0 7．(2014·南京調(diào)研)已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1) 2＝2，則圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為______． 解析　由題意得C上各點(diǎn)到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑，即－＝. 答案　 8．若圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點(diǎn)(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析　據(jù)題意圓x2＋(y－1)2＝1上所有的點(diǎn)都在直線x＋y＋m＝0的右上方，所以有 解得m≥－1＋.故m的取值范圍是[－1＋，＋∞)． 答案　[－1＋，＋∞) 三、解答題 9．求適合下列條件的圓的方程： (1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)； (2)過三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 解　(1)法一　設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則有 解得a＝1，b＝－4，r＝2. ∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二　過切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)． ∴半徑r＝＝2， ∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)法一　設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 則 解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95. ∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0. 法二　由A(1,12)，B(7,10)， 得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－， 則AB的垂直平分線方程為3x－y－1＝0. 同理得AC的垂直平分線方程為x＋y－3＝0. 聯(lián)立得 即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝＝10. ∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100. 10．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡． 解　 如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分， 故＝，＝. 從而 N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上時(shí)的情況)． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．(2014·鷹潭模擬)已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為 (　　)． A．8　 B．－4　　 C．6　 D．無法確定 解析　圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6. 答案　C 2．(2014·西安中學(xué)模擬)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M(1，m)(m＞0)到其焦點(diǎn)F的距離為5，則以M為圓心且與y軸相切的圓的方程為 (　　)． A．(x－1)2＋(y－4)2＝1 B．(x－1)2＋(y＋4)2＝1 C．(x－1)2＋(y－4)2＝16 D．(x－1)2＋(y＋4)2＝16 解析　拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為x＝－，所以|MF|＝1－＝5，解得p＝8，即拋物線方程為y2＝16x，又m2＝16，m＞0，所以m＝4，即M(1,4)，所以半徑為1，所以圓的方程為(x－1)2＋(y－4)2＝1. 答案　A 二、填空題 3．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________． 解析　由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，又△OPQ為直角三角形，故其圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1)，半徑為＝，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案　(x－2)2＋(y－1)2＝5 三、解答題 4．已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑． 解　法一　將x＝3－2y， 代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0， 得5y2－20y＋12＋m＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則y1，y2滿足條件： y1＋y2＝4，y1y2＝. ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0. 而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2. ∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝. 故＋＝0，解得m＝3， 此時(shí)Δ＝202－4×5×(12＋m)＝20(8－m)＞0，圓心坐標(biāo)為，半徑r＝. 法二　如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，且圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0的圓心為O1， 設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2， ∴x0＝＝－1，y0＝＝2. 即M的坐標(biāo)為(－1,2)． 則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x＋1)2＋(y－2)2＝r. ∵OP⊥OQ，∴點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r，即r＝5，|MQ|2＝r. 在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2. ∴＝2＋(3－2)2＋5. ∴m＝3，∴圓心坐標(biāo)為，半徑r＝.