第三單元第三單元函數(shù)函數(shù)第9 9講平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)的概念考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一考點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)1.有序?qū)崝?shù)對(duì)有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì),叫做有序?qū)崝?shù)對(duì),記作(a,b).在建立平面直角坐標(biāo)系后,平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng).點(diǎn)P(a,b)到x軸的距離為|b|,到y(tǒng)軸的距離為|a|,到原點(diǎn)的距離為2.平面直角坐標(biāo)系為了用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),可以在平面內(nèi)畫兩條互相垂直的數(shù)軸,其中一條叫橫軸(x軸),另一條叫縱軸(y軸),它們的交點(diǎn)O是這兩條數(shù)軸的原點(diǎn),這樣建立的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三3.平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征 考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)二考點(diǎn)二函數(shù)及自變量的取值范圍函數(shù)及自變量的取值范圍1.函數(shù)的相關(guān)概念(1)變量:取值會(huì)發(fā)生變化的量稱為變量.(2)常量:取值固定不變的量稱為常量.(3)函數(shù):一般地,設(shè)在一個(gè)變化過程中存在兩個(gè)變量x,y,如果對(duì)于x在它允許取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值,y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么就說x是自變量,y是x的函數(shù).(4)函數(shù)值:如果當(dāng)x=a時(shí),y=b,那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三2.自變量的取值范圍 考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)三考點(diǎn)三函數(shù)的表示方法及其圖象函數(shù)的表示方法及其圖象1.三種表示法列表法、表達(dá)式法、圖象法,在解決一些與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),有時(shí)可以同時(shí)用兩種或兩種以上的方法來表示函數(shù).2.圖象的畫法概括為列表、描點(diǎn)、連線三步,通常稱為描點(diǎn)法.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三3.圖象性質(zhì)一般地,函數(shù)圖象上升線表示因變量隨自變量取值的增加而增加,下降線表示因變量隨自變量取值的增加而減少,水平線表示因變量不隨自變量取值的增加而發(fā)生變化.上升線傾斜程度越小表示隨自變量的增加因變量的取值增加的越慢;上升線傾斜程度越大表示隨自變量的增加因變量的取值增加的越快;下降線傾斜程度越小表示隨自變量的增加因變量的取值減少的越慢;下降線傾斜程度越大表示隨自變量的增加因變量的取值減少的越快.命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2命題點(diǎn)1函數(shù)圖象的判別1.(2016安徽,9,4分)一段筆直的公路AC長(zhǎng)20千米,途中有一處休息點(diǎn)B,AB長(zhǎng)15千米,甲、乙兩名長(zhǎng)跑愛好者同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),甲以15千米/時(shí)的速度勻速跑至點(diǎn)B,原地休息半小時(shí)后,再以10千米/時(shí)的速度勻速跑至終點(diǎn)C;乙以12千米/時(shí)的速度勻速跑至終點(diǎn)C,下列選項(xiàng)中,能正確反映甲、乙兩人出發(fā)后2小時(shí)內(nèi)運(yùn)動(dòng)路程y(千米)與時(shí)間x(時(shí))函數(shù)關(guān)系的圖象是( A )命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2解析 由題意,甲走了1小時(shí)到了B地,在B地休息了半個(gè)小時(shí),用2小時(shí)正好走到C地,乙走了 小時(shí)到了C地,在C地休息了 小時(shí).由此可知正確的圖象是A.故選A.命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2命題點(diǎn)2點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形變換2.(2013安徽,18,8分)我們把正六邊形的頂點(diǎn)及其對(duì)稱中心稱作如圖1所示基本圖的特征點(diǎn),顯然這樣的基本圖共有7個(gè)特征點(diǎn),將此基本圖不斷復(fù)制并平移,使得相鄰兩個(gè)基本圖的一邊重合,這樣得到圖2,圖3,命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2(1)觀察以上圖形并完成下表:猜想:在圖n中,特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5n+2(用n表示).(2)如圖,將圖n放在直角坐標(biāo)系中,設(shè)其中第一個(gè)基本圖的對(duì)稱中心O1的坐標(biāo)為(x1,2),則x1= ;圖2 013的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為 .命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2解析 (1)由題意,可知圖1中特征點(diǎn)有7個(gè);圖2中特征點(diǎn)有12個(gè),12=7+51;圖3中特征點(diǎn)有17個(gè),17=7+52;所以圖4中特征點(diǎn)有7+53=22(個(gè)).由以上猜想在圖n中,特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7+5(n-1)=5n+2.命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2(2)如圖,過點(diǎn)O1作O1My軸于點(diǎn)M. 考法1考法2考法3考法考法1平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征例1(2017貴州貴港)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(m-3,4-2m)不可能在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:A解析:分點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是正數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況討論求解.m-30,即m3時(shí),-2m-6,4-2m-2,所以點(diǎn)P(m-3,4-2m)在第四象限,不可能在第一象限;m-30,即m-6,4-2m-2,點(diǎn)P(m-3,4-2m)可能在第二或三象限.綜上所述,點(diǎn)P不可能在第一象限.考法1考法2考法3對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.(2017江蘇南京一模)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(-2,x2+1)所在的象限是(B)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析: x20,x2+11,點(diǎn)P(-2,x2+1)在第二象限.考法1考法2考法32.(2017湖南邵陽)如圖所示,三架飛機(jī)P,Q,R保持編隊(duì)飛行,某時(shí)刻在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(-1,1),(-3,1),(-1,-1),30秒后,飛機(jī)P飛到P(4,3)位置,則飛機(jī)Q,R的位置Q,R分別為 (A)A.Q(2,3),R(4,1)B.Q(2,3),R(2,1)C.Q(2,2),R(4,1)D.Q(3,3),R(3,1)考法1考法2考法3解析: 由點(diǎn)P(-1,1)到P(4,3)知,編隊(duì)需向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度、向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)Q(-3,1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2,3),點(diǎn)R(-1,-1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)R(4,1).考法1考法2考法3考法考法2自變量的取值范圍自變量的取值范圍例2(2017四川內(nèi)江)在函數(shù)y= 中,自變量x的取值范圍是.答案:x2且x3解析:根據(jù)“分式有意義”可得x-30,即x3,根據(jù)“二次根式的意義”,可得x-20,即x2,所以自變量x的取值范圍是x2且x3.考法1考法2考法3對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3.(2017貴州六盤水)使函數(shù)y= 有意義的自變量的取值范圍是(C)A.x3 B.x0C.x3D.x3解析: 函數(shù)y= 有意義,3-x0.x3.解析: 由分母不為0分式有意義,得x-70,解得x7. 考法1考法2考法3考法考法3函數(shù)圖形的應(yīng)用函數(shù)圖形的應(yīng)用例3(2017山東濟(jì)寧)如圖,A,B是半徑為1的O上兩點(diǎn),且OAOB.點(diǎn)P從A出發(fā),在O上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)結(jié)束.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x,弦BP的長(zhǎng)度為y,那么下面圖象中可能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是()考法1考法2考法3A.B.C.或D.或答案:D解析:根據(jù)“直徑是圓中最長(zhǎng)的弦”,點(diǎn)P從A出發(fā),在O上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)結(jié)束,分兩種情況:點(diǎn)P順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí),BP長(zhǎng)先變大再變小直至0再變大選;點(diǎn)P逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí),BP長(zhǎng)先變小直至0再變大再變小選.方法總結(jié)此類考題一般根據(jù)題目描述,確定函數(shù)的函數(shù)值在每段函數(shù)圖象上增減情況或變化的快慢.(1)當(dāng)函數(shù)值隨自變量增大而增大時(shí)圖象是呈現(xiàn)上升趨勢(shì),反之下降;(2)當(dāng)自變量變大而函數(shù)值不變時(shí),對(duì)應(yīng)圖象與橫軸平行,當(dāng)自變量不變而函數(shù)值變化時(shí),對(duì)應(yīng)圖象用鉛垂線段表示.考法1考法2考法3對(duì)應(yīng)訓(xùn)練5.(2017浙江麗水)在同一條道路上,甲車從A地到B地,乙車從B地到A地,乙先出發(fā),圖中的折線段表示甲、乙兩車之間的距離y(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系圖象.下列說法錯(cuò)誤的是(D)A.乙先出發(fā)的時(shí)間為0.5小時(shí)B.甲的速度是80千米/小時(shí)C.甲出發(fā)0.5小時(shí)后兩車相遇D.甲到B地比乙到A地早 小時(shí)解析: 由圖象可知乙先出發(fā)0.5小時(shí)后兩車相距70千米,即乙的速度是60千米/小時(shí),所以乙從B地出發(fā)到達(dá)A地所用時(shí)間為10060=1 (小時(shí)),由函數(shù)圖象知此時(shí)兩車相距不到100千米,即乙到達(dá)A地時(shí)甲還沒有到達(dá)B地(甲到B地比乙到A地遲),故選項(xiàng)D中說法錯(cuò)誤.考法1考法2考法36.(2017浙江紹興)均勻地向一個(gè)容器注水,最后把容器注滿,在注水過程中,水面高度h隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖所示(圖中OABC為折線),這個(gè)容器的形狀可以是(D)解析: 根據(jù)V=Sh,注水量V一定,h與S成反比,底面積S越大,h越小,結(jié)合函數(shù)圖象的走勢(shì)是稍陡,平,陡,可知高度上升相應(yīng)的中、慢、快,故所給容器的底面積為中、大、小,故選D.考法1考法2考法37.(2017四川涼山)小明和哥哥從家里出發(fā)去買書,從家出發(fā)走了20分鐘到一個(gè)離家1 000米的書店.小明買了書后隨即按原路返回;哥哥看了20分鐘書后,用15分鐘返家.下面的圖象中表示哥哥離家時(shí)間與距離之間的關(guān)系的是(D)考法1考法2考法3解析: 根據(jù)題意,從20分鐘到40分鐘哥哥在書店里看書,離家距離沒有變化,圖象是一條平行于x軸的線段.故選D.