第二章 隨機(jī)變量及其分布 一 隨機(jī)變量 二 離散型隨機(jī)變量及其分布 三 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 四 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 五 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 第一節(jié) 為了更方便地從數(shù)量方面研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī) 第二章 實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來 將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化 隨機(jī)變量 律 引入隨機(jī)變量的概念 即將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與 定義1 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間 在樣本 上的實(shí)值單值函數(shù) 稱 是定義 為隨機(jī)變量 例1 對(duì)一均勻硬幣拋一次 觀察正反面情況 設(shè) 為隨機(jī)變量 其中 表示事件A 結(jié)果 樣本空間 出現(xiàn)正面 即 同理 其中 表示事件 一 隨機(jī)變量的定義 結(jié)果出現(xiàn)反面 即 例2 測(cè)量某工廠一天生產(chǎn)燈泡的壽命 樣本空間 設(shè) 其中 則X為隨機(jī)變量 壽命 表示一事件A 例如 例3 某戰(zhàn)士射擊命中率為 設(shè)首次擊中目標(biāo)所需射擊 次數(shù)為 則隨機(jī)變量 隨機(jī)變量定義在樣本空間S上 定義域可以是數(shù)也可 以不是數(shù) 而普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)域上的 2 隨機(jī)變量函數(shù)的取值在試驗(yàn)之前無法確定 有一定 的概率 而普通函數(shù)卻沒有 三 隨機(jī)變量的分類 隨機(jī)變量 非離散型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 其它 二 隨機(jī)變量函數(shù)和普通函數(shù)的區(qū)別 1 定義域不同 離散型隨機(jī)變量及其分布 第二章 一 離散型隨機(jī)變量的定義 二 常用的離散型隨機(jī)變量 第二節(jié) 定義1 若某個(gè)隨機(jī)變量 的全部可能取值是有限個(gè)或 無限可列多個(gè) 則稱這個(gè)隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量 定義2 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的所有可能取值為 其中 取各個(gè)可能值的概率 即事件 的概率 一 離散型隨機(jī)變量的定義 滿足 稱 為離散型隨機(jī)變量 的概率分布或分布律 分布律也可用如下表格的形式表示 分布律的判斷條件 例1 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過三盞信號(hào) 燈 每盞信號(hào)燈以概率 允許或禁止汽車通過 表示汽車首次停下通過的信號(hào)燈盞數(shù) 設(shè)各信號(hào)燈的工 作是相互獨(dú)立的 求 的分布律 解 由題意可知 的分布律為 則 顯然 的分布律滿足 將 帶入可得 的分布律為 解 S HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT 則 例2 設(shè)一均勻的硬幣拋三次為一次試驗(yàn) 為正面 出現(xiàn)的次數(shù) 求隨機(jī)變量 的分布律 0 1 分布 定義1 如果隨機(jī)變量 的分布律為 則稱 服從參數(shù)為 的 0 1 分布 即 或 二 常用的離散型隨機(jī)變量及其分布 0 1 分布的分布律也可寫成 注服從 0 1 分布的隨機(jī)變量很多 如果涉及的試 驗(yàn)只有兩個(gè)互斥的結(jié)果 都可在樣本空間上定義 一個(gè)服從 0 1 分布的隨機(jī)變量 下面我們將介紹一個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量的 分布 二項(xiàng)分布 1 伯努利概型 概率論中最早研究的模型之一 也是 研究最多的模型之一 在理論上一些重要的結(jié)果也由 它推導(dǎo) n重獨(dú)立試驗(yàn) 在相同的條件下對(duì)試驗(yàn)E重復(fù)做n次 若n次試驗(yàn)中各 結(jié)果是相互獨(dú)立的 則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 伯努利概型 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有 兩種可能結(jié)果 且 將試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次 則稱這n次試驗(yàn) 為n重伯努利試驗(yàn) 或稱n重伯努利概型 二項(xiàng)分布 引例 某人打靶單發(fā)命中率為 現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)射 擊3次 求恰好命中2發(fā)的概率 解 表示 第i次命中 表示 恰好命中兩次 定理 伯努利定理 P24 n重伯努利試驗(yàn)中 事件 恰好發(fā)生k次 即 的概率為 例1 從學(xué)校乘汽車去火車站一路上有4個(gè)交通崗 到各個(gè)崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的 且概率均為0 3 求 某人從學(xué)校到火車站途中2次遇到紅燈的概率 解途中遇到4次經(jīng)交通崗為4重貝努利試驗(yàn) 其中 例3 袋中裝有30只紅球 70只藍(lán)球 現(xiàn)從袋中有放 回地抽取5次 每次取1只球 試求 1 取出的5只球中恰有2只紅球的概率 2 取出的5只球中至少有2只紅球的概率 解 取到紅球的概率為0 3 5次取球相互獨(dú)立 故為5重伯努里概型 設(shè)X為取到紅球的次數(shù) 1 2 在規(guī)劃一條河流的洪水控制系統(tǒng)時(shí)需要研究出現(xiàn) 特大洪水的可能性 假定該處每年出現(xiàn)特大洪水的概率 都是0 1 且特大洪水的出現(xiàn)是相互獨(dú)立的 求在今后 10年內(nèi)至少出現(xiàn)兩次特大洪水的概率 解設(shè)A 出現(xiàn)洪水 不出現(xiàn)洪水 例4 定義2 如果隨機(jī)變量 的分布律為 則稱 服從參數(shù)為 的二項(xiàng)分 其中 布 記為 容易驗(yàn)證 由二項(xiàng)式定理 特別 當(dāng) 時(shí) 二項(xiàng)分布為 這就是 0 1 分布 常記為 2 二項(xiàng)分布 3 二項(xiàng)分布的分布形態(tài) 若 則 由此可知 二項(xiàng)分布的分布律 右圖 先是隨著 到其最大值后再隨著 的增大而減小 這個(gè)使得 達(dá)到其最大值的 稱為該二項(xiàng)分布的最可能次數(shù) 的增大而增大 達(dá) 例4已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品 現(xiàn)從中有放回地 取3次 每次任取1個(gè) 求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品 的概率 表示所取的3個(gè)中的次品數(shù) 于是所求概率為 則 解 設(shè) 注 若將本例中的 有放回 改為 無放回 那么各 次試驗(yàn)條件就不同了 不是伯努利概型 此時(shí)只能用 古典概型求解 例5一大批產(chǎn)品中一級(jí)品率為0 2 現(xiàn)隨機(jī)抽查20 只 問20只元件中恰好有 為一級(jí) 品的概率為多少 解 設(shè) 表示20只元件中為一級(jí)品的只數(shù) 這個(gè)試驗(yàn)可以看作伯努利試驗(yàn) 例6某人射擊命中率為0 02 獨(dú)立射擊400次 試 求至少擊中2次的概率 解設(shè) 表示擊中的次數(shù) 則 所以分布律 則所求概率 例4 設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備 各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的 發(fā)生故障的概率都是0 01 且一臺(tái)設(shè)備的故障由一個(gè)人處理 考慮兩種方法 其一是由4人維護(hù) 每人負(fù)責(zé)20臺(tái) 其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái) 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率的大小 定理1 泊松Poisson定理 設(shè) 是一常數(shù) n是 正整數(shù) 若 則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù) 證明由 得 對(duì)于任意固定的 故有 注 二項(xiàng)分布是最重要的離散型概率分布之一 當(dāng) 時(shí) 即為 0 1 分布 當(dāng) 時(shí) 二項(xiàng)分布近似于下面介紹的泊松分布 定義1 設(shè)隨機(jī)變量 所有可能取的值為0 1 2 而 且概率分布為 泊松分布 其中 則稱 服從參數(shù)為 的泊松分布 記 泊松定理的意義 泊松分布的圖形特點(diǎn) 當(dāng)n很大 p很小時(shí) 泊松定理表明 泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布 參數(shù) np的泊松分布 二項(xiàng)分布就可近似看成是 例1一交通路口一段時(shí)間內(nèi)汽車發(fā)生交通事故的次數(shù) 服從參數(shù)為 的泊松分布 求至少發(fā)生兩次 事故的概率 解 隨機(jī)變量 則 解由已知得 所以分布律為 解設(shè)選出n個(gè)人 n人中色盲患者為 則 兩邊取對(duì)數(shù) 所以得 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 第二章 一 分布函數(shù)的概念 二 分布函數(shù)的性質(zhì) 第三節(jié) 為X的分布函數(shù) 記作 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量 定義1 是任意實(shí)數(shù) 稱函數(shù) 的值就表示X落在區(qū)間 上的概率 分布函數(shù) 一 分布函數(shù)的概念 由定義 對(duì)任意實(shí)數(shù) 上的概率 用F x 刻畫隨機(jī)點(diǎn)落在 功能式 區(qū)間 由于 得 解 1 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 則 例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 求 1 X的分布函數(shù) 2 當(dāng) 時(shí) 則 當(dāng) 時(shí) 則 所以 2 一般地 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為 由概率的可列可加性得 的分布函數(shù)為 請(qǐng)看41頁 二 分布函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)不減性 右連續(xù)性 對(duì)任意實(shí)數(shù)x 歸一性 則 具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù) 必是某個(gè)隨機(jī)變量的分 布函數(shù) 故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì) 對(duì)任意的 解 所以 例3已知離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 求X的分布律 解X的可能取值為3 4 5 所以X的分布律為 例1 一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤 設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比 并設(shè)射擊都能擊中靶 以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離 試求X的分布函數(shù)