正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像 一 教材分析： 《正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)》是人教A版高中《數(shù)學(xué)》必修4第一章第四單元第三節(jié)內(nèi)容，本節(jié)課既是對(duì)前面正余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)知識(shí)的延展，是對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的進(jìn)一步完善，也為學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)直線的斜率作了鋪墊。 一般說(shuō)來(lái)，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象，通過(guò)觀察圖象獲得對(duì)函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí)，然后從代數(shù)角度對(duì)性質(zhì)作出嚴(yán)格表述.但對(duì)正切函數(shù)，教材先根據(jù)已有的知識(shí)（正切函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式、正切線等）研究性質(zhì)，然后再根據(jù)性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象. 主要是為了給學(xué)生提供研究函數(shù)問(wèn)題更多的視角，加強(qiáng)了理性思考的成分，并使數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)得更加全面. 在此也向?qū)W生進(jìn)一步說(shuō)明華羅庚先生的“數(shù)缺形少直觀，形少數(shù)難入微”的精妙，借助一切機(jī)會(huì)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化觀念，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的美無(wú)處不在，數(shù)學(xué)無(wú)處不美。 為了讓學(xué)生能更加直觀、形象地理解正切函數(shù)的值域和周期性變化，正切曲線的作圖過(guò)程，采用《幾何畫板》自制課件進(jìn)行演示，以提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使之能達(dá)到良好的教學(xué)效果。 二 教學(xué)目標(biāo) （一）知識(shí)與技能目標(biāo)： 1.在對(duì)正切函數(shù)已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，理解正切函數(shù)的性質(zhì)。 2.通過(guò)已知的性質(zhì)，利用正切線，得到正切曲線。 3.根據(jù)正切曲線，完善正切函數(shù)的性質(zhì)。 （二）過(guò)程與方法目標(biāo)：     在探究正切函數(shù)基本性質(zhì)和圖像的過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣． （三）情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)   在教學(xué)中使學(xué)生了解問(wèn)題的來(lái)龍去脈；強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語(yǔ)言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成． 三 教學(xué)重點(diǎn) 利用正切函數(shù)已有的知識(shí)（如定義、誘導(dǎo)公式、正切線等）研究性質(zhì). 四 教學(xué)難點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性和值域 五 學(xué)法與教法 學(xué)生已基本掌握正切函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式等知識(shí)；基本掌握了從代數(shù)角度研究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的方法.但是由于該課涉及到的知識(shí)內(nèi)容較多，特別是涉及到正切線時(shí)，學(xué)生會(huì)感到困難.我班學(xué)生有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性也較高，已基本形成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和能力.有合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和氛圍.因此學(xué)生學(xué)法為合作交流，教法為探究與發(fā)現(xiàn)式。 六 教學(xué)過(guò)程及學(xué)生活動(dòng) （一）創(chuàng)設(shè)情境 做好鋪墊 一般來(lái)說(shuō)，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究可以先作圖象，通過(guò)觀察圖象獲得對(duì)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí)，然后再?gòu)拇鷶?shù)的角度對(duì)性質(zhì)作出嚴(yán)格證明。如前面我們學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)，余弦函數(shù).但對(duì)于正切函數(shù)性質(zhì)咱們換一新視角來(lái)研究，先研究性質(zhì)，再根據(jù)性質(zhì)研究圖象。下面借助研究正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)誘導(dǎo)公式和正切線對(duì)正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究。 設(shè)計(jì)說(shuō)明：主要是為了給學(xué)生提供研究函數(shù)問(wèn)題更多的視角，加強(qiáng)了理性思考的成分，并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面. （二） 利用舊知 研究性質(zhì) 活動(dòng)一：我們對(duì)正切函數(shù)也已經(jīng)有了初步的了解，譬如：正切線，與正切有關(guān)的誘導(dǎo)公式等，就已有的知識(shí)，請(qǐng)嘗試用代數(shù)方法研究正切函數(shù)的性質(zhì). 設(shè)計(jì)說(shuō)明：利用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，探究未知的問(wèn)題 提問(wèn)1：類比我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，我們可以從哪些方面研究正切函數(shù)的性質(zhì)？ 設(shè)計(jì)說(shuō)明：類比，是研究問(wèn)題最重要的方法之一 1．定義域： 2．奇偶性：奇函數(shù)   【提醒先檢驗(yàn)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱】   3.正切函數(shù)是不是周期函數(shù)？ 【 引導(dǎo)學(xué)生用正切線來(lái)檢驗(yàn)，教師用幾何畫板演示】 設(shè)計(jì)說(shuō)明：為后面研究單調(diào)性，值域提供了方法。 4．單調(diào)性：小組討論，讓學(xué)生大膽猜想，小心求證。老師點(diǎn)評(píng)引導(dǎo) 5．值域： 活動(dòng)二：當(dāng)學(xué)生用代數(shù)方法遇到困惑時(shí)提醒學(xué)生嘗試用正切線研究正切函數(shù)的單調(diào)性和值域. 4．單調(diào)性 小組討論，老師引導(dǎo)如何選擇一個(gè)范圍研究單調(diào)性 問(wèn)題：觀察正切線的變化為什么教材是從第四象限到第一象限？而不是習(xí)慣從第一象限到第四象限？ 5. 值域 由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律,從正切線知,當(dāng)x大于且無(wú)限接近時(shí),正切線AT向Oy軸的負(fù)方向無(wú)限延伸;當(dāng)x小于且無(wú)限接近時(shí),正切線AT向Oy軸的正方向無(wú)限延伸.因此,tanx在(,)內(nèi)可以取任意實(shí)數(shù),但沒(méi)有最大值、最小值. 因此,正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R. 教師用幾何畫板演示 （三）利用性質(zhì) 動(dòng)手作圖 我們要想更全面認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)，我們還需作出函數(shù)圖象 活動(dòng)三：我們已知了正切函數(shù)的部分性質(zhì)，如何利用已有的性質(zhì)畫出正切函數(shù)的圖像？ 設(shè)計(jì)說(shuō)明 ：利用已知的性質(zhì)，如何畫函數(shù)的圖像 由于正切函數(shù)的是最小正周期是的周期函數(shù)，所以我們只需要畫出他在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，然后通過(guò)平移就可以得到在整個(gè)定義域內(nèi)的圖像。 追問(wèn)1：為什么先畫 的圖象？ 追問(wèn)2： 直線與圖象的位置關(guān)系怎樣？ 可以選擇區(qū)間；而正切函數(shù)又是奇函數(shù)，所以只需畫出在的圖像。     ，且的圖象，稱“正切曲線”。 追問(wèn)3：只需確定哪些點(diǎn)或線就能畫出函數(shù)y=tanx,x∈(,)的簡(jiǎn)圖？ 學(xué)生可看出有三個(gè)點(diǎn)很關(guān)鍵:(,-1),(0,0),(,1),還有兩條豎線.因此,畫正切函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法就是:先描三點(diǎn)(,-1),(0,0),(, 1),再畫兩條平行線x=,x=,然后連線. 追問(wèn)4：怎樣得到整個(gè)定義域內(nèi)的圖象？ （四） 觀察圖像 豐富性質(zhì) 活動(dòng):你能觀察正切函數(shù)圖象進(jìn)一步確認(rèn)性質(zhì)嗎？ 設(shè)計(jì)說(shuō)明 形與數(shù)的結(jié)合，更能加深對(duì)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)比正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像，分析各個(gè)性質(zhì)在圖像上的反映，得出：函數(shù)的性質(zhì)有利于畫函數(shù)的圖像，函數(shù)的圖像是其性質(zhì)的直觀反應(yīng) 從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=+kπ,k∈Z所隔開的無(wú)窮多支曲線組成的.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,這點(diǎn)反應(yīng)了它的哪一性質(zhì)——定義域；并且函數(shù)圖象在每個(gè)區(qū)間都無(wú)限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線——漸近線；從y軸方向看,上下無(wú)限延伸,得到它的哪一性質(zhì)——值域?yàn)镽；每隔π個(gè)單位,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等,得到它的哪一性質(zhì)——周期π;在每個(gè)區(qū)間圖象都是上升趨勢(shì),得到它的哪一性質(zhì)——單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間是(+kπ,+kπ),k∈Z,沒(méi)有減區(qū)間. 追問(wèn)：在整個(gè)定義域上是增函數(shù)嗎． 注意：只能說(shuō)在某個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增，不能說(shuō)在整個(gè)定義域單調(diào)遞增。 它的圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,得到是哪一性質(zhì)——奇函數(shù). 追問(wèn)：認(rèn)真觀察圖象還有其它的對(duì)稱中心嗎？ 通過(guò)圖象我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對(duì)稱,對(duì)稱中心是(,0),k∈Z 強(qiáng)調(diào)：正切函數(shù)的對(duì)稱中心是圖象和漸近線與x軸的交點(diǎn) （五）及時(shí)訓(xùn)練 鞏固新知 1.你能求函數(shù) 的定義域 設(shè)計(jì)說(shuō)明： 利用圖象解三角函數(shù)不等式 讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用 2.求函數(shù) 的定義域、周期、單調(diào)性， 設(shè)計(jì)說(shuō)明 對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的復(fù)習(xí) 3函數(shù)y(x)＝tan xln x2的部分圖象大致是圖中的(　　) A B D C 設(shè)計(jì)說(shuō)明：體現(xiàn)本節(jié)課的設(shè)計(jì)意圖利用函數(shù)性質(zhì)研究圖象 （六）歸納小結(jié) 提問(wèn) 這節(jié)課你學(xué)到什么？ 1.正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象. 2. 性質(zhì)有助于更有效的作圖，研究圖象；圖象有助于更直觀的研究性質(zhì) 3.數(shù)形結(jié)合的思想方法. 設(shè)計(jì)說(shuō)明：讓學(xué)生分別從知識(shí)，方法，思想三個(gè)方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)。 （七） 課后作業(yè) 必做題：教材P46 習(xí)題1.4 第 6、7、9題. 選做題1.思考題：研究函數(shù) 的基本性質(zhì)． 并作出其函數(shù)圖象. 教學(xué)反思  數(shù)學(xué)知識(shí)是靜態(tài)的，而數(shù)學(xué)思維則是動(dòng)態(tài)的.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)知識(shí)猶如人體的血肉關(guān)系：血液之榮枯外現(xiàn)于形體之盛衰.所以數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，其中揭示數(shù)學(xué)思維過(guò)程是數(shù)學(xué)教學(xué)最基本（最高）的指導(dǎo)原則. （一）追問(wèn)與質(zhì)疑 在本節(jié)課中，我時(shí)刻通過(guò)設(shè)置“矛盾沖突”撞擊學(xué)生的思維，比如：在得到正切函數(shù)的概念之后，提出如何研究這一具體函數(shù)的性質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生可以“類比”研究正余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)的方法；又如，在得到正切函數(shù)的部分性質(zhì)之后，提出如何能“豐滿”正切函數(shù)的性質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生可以借助圖像進(jìn)行研究，讓學(xué)生感受“數(shù)缺形少直觀，形缺少數(shù)難入微”的精妙. 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就是通過(guò)一系列有一定梯度、有一定內(nèi)在聯(lián)系的問(wèn)題鏈，由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生思考，撞擊學(xué)生的思維，直至揭示問(wèn)題的本質(zhì)的過(guò)程. （二）教材與學(xué)生 一般來(lái)說(shuō),對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象,通過(guò)觀察圖象獲得對(duì)函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí),然后再?gòu)拇鷶?shù)的角度對(duì)性質(zhì)作出嚴(yán)格表述.但對(duì)正切函數(shù),教科書換了一個(gè)新的角度,采取了先根據(jù)已有的知識(shí)(如正切函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、正切線等)研究性質(zhì),然后再根據(jù)性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象.這樣處理,主要是為了給學(xué)生提供研究數(shù)學(xué)問(wèn)題更多的視角,在性質(zhì)的指導(dǎo)下可以更加有效地作圖、研究圖象,加強(qiáng)了理性思考的成分,并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面.教師要在學(xué)生探究活動(dòng)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這種解決問(wèn)題的方法. 通過(guò)多媒體教學(xué),讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖象的動(dòng)態(tài)觀察,對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加直觀、形象.以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高課題教學(xué)質(zhì)量.從學(xué)生的實(shí)際情況為教學(xué)出發(fā)點(diǎn),通過(guò)各種數(shù)學(xué)思想的滲透,合理運(yùn)用各種教學(xué)課件,逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)圖象的觀察來(lái)整理相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)的能力,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力.這樣既加強(qiáng)了類比這一重要數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),也有利于學(xué)生綜合運(yùn)用能力的提高,有利于學(xué)生把新舊知識(shí)前后聯(lián)系,融會(huì)貫通,提高教學(xué)效果. 由于學(xué)生已經(jīng)有了研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),這種經(jīng)驗(yàn)完全可以遷移到對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的研究中,因此,我們可以通過(guò)“活動(dòng)”,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)研究正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟這種遷移與類比的學(xué)習(xí)方法，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。 總之，教師時(shí)刻以培養(yǎng)學(xué)生的思維為出發(fā)點(diǎn)的教學(xué)，才是真正的數(shù)學(xué)教學(xué)，才能承載 中學(xué)數(shù)學(xué)課堂的使命——培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 5