2017屆高三婁底市五校10月份聯(lián)考數(shù)學（理科）試題 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共4頁。時量120分鐘。滿分150分。第 卷一、選擇題：本大題共12題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的。1、已知全集U=R，M=x|x1，P=x|x2，則U（MP）=（）。Ax|1x2 Bx|x1 Cx|x2 Dx|x1或x22、若Z=i，則|Z|=（）。A B C D23、已知是平面向量,如果,那么與的數(shù)量積等于（ ）。 A B C D4、在我國古代著名的數(shù)學專著九章算術里有段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，曰增十三里：駑馬初日行九十七里，曰減半里，良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢，問：幾日相逢？（ ）A 日 B日 C 日 D日5、已知，且，則（ ）。A. B. C. D.6、數(shù)列an中，a1=2，an+1=an+（nN*），則a10=（）。A B C D47、函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可以是（ ）。A B C D8、若，則（ ）。A B C D9、已知等比數(shù)列的第項是二項式展開式的常數(shù)項，則（ ）。 A B CD 10、已知函數(shù)f（x）=3cos（x）（0），函數(shù)f（x）相鄰兩個零點之間的絕對值為，則下列為函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間的是（）。A0， B， C， D，11、若函數(shù)f(x)2x2ln x在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不是單調函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A1，) B. C1，2) D.12、已知函數(shù)f(x)=2mx33nx2+10(m>0)有且僅有兩個不同的零點，則ln2m+ln2n的最小值為（ ）。 A、 B、 C、 D、第 卷 本卷包括必考題和選做題兩部分，第1321題為必考題，每個試題考生都必須作答。第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡中對應題號上。13、曲線在點處的切線方程為 。14、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為 。15、如圖，在邊長為1的正方形中任取一點，則該點落在陰影部分中的概率為 16、我們把形如（）的函數(shù)因其圖象類似于漢字“囧”字，故生動地稱為 “囧函數(shù)”，并把其與軸的交點關于原點的對稱點稱為“囧點”，以“囧點”為圓心凡是與“囧函數(shù)”有公共點的圓皆稱為“囧圓”，則當，時，所有的“囧圓”中，面積的最小值為 .三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（本小題滿分12分）設.（）求的單調區(qū)間；（）在銳角中，角的對邊分別為,若,求面積。18、（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，且、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.19、（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且BAD=，對角線AC與BD相交于O，OF平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2（） 求證：EFBC；（）求面AOF與平面BCEF所成銳二面角的正弦值20、（本小題滿分12分）如圖，拋物線C：x2=2py（p0）的焦點為F（0，1），取垂直于y軸的直線與拋物線交于不同的兩點P1，P2，過P1，P2作圓心為Q的圓，使拋物線上其余點均在圓外，且P1QP2Q（1）求拋物線C和圓Q的方程；（2）過點F作傾斜角為（）的直線l，且直線l與拋物線C和圓Q依次交于M，A，B，N，求|MN|AB|的最小值21、（本小題滿分12分）已知函數(shù)g（x）=+lnx在1，+）上為增函數(shù)，且（0，），f（x）=mxlnx（mR）（）求的值；（）若f（x）g（x）在1，+）上為單調函數(shù)，求m的取值范圍；（）設h（x）=，若在1，e上至少存在一個x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立，求m的取值范圍請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22、（本小題滿分12分）選修44：坐標系與參數(shù)方程已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為=（R）（）求曲線C的極坐標方程；（）求直線l被曲線C截得的線段長23、（本小題滿分12分）選修45：不等式 選講關于x的不等式lg（|x+3|x7|）m（）當m=1時，解此不等式；（）設函數(shù)f（x）=lg（|x+3|x7|），當m為何值時，f（x）m恒成立？2017屆高三婁底市五校10月份聯(lián)考試題數(shù) 學（理科）參考答案一、選擇題：本大題共12題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的。1、已知全集U=R，M=x|x1，P=x|x2，則U（MP）=（）。Ax|1x2 Bx|x1 Cx|x2 Dx|x1或x2解：M=x|x1，P=x|x2，MP=x|x1或x2，U（MP）=x|1x2，故選：A2、若Z=i，則|Z|=（）。A B C D2解：Z=+i=+i=i，|Z|=，故選：B3、已知是平面向量,如果,那么與的數(shù)量積等于（ ）。 A B C D解：由題設可得,即,也即,故故選：A4、在我國古代著名的數(shù)學專著九章算術里有段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，曰增十三里：駑馬初日行九十七里，曰減半里，良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢，問：幾日相逢？（ ）A 日 B日 C 日 D日解：D5、已知，且，則（ ）。A. B. C. D.6、數(shù)列an中，a1=2，an+1=an+（nN*），則a10=（）。A B C D4選：C7、函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可以是（ ）。A B C D解：由題意得，函數(shù)是奇函數(shù)，淘汰D，函數(shù)圖象過原點，淘汰C，過，淘汰A，故選B.8、若，則（ ）。A B C D9、已知等比數(shù)列的第項是二項式展開式的常數(shù)項，則（ ）。 A B CD 解：，故答案為D.10、已知函數(shù)f（x）=3cos（x）（0），函數(shù)f（x）相鄰兩個零點之間的絕對值為，則下列為函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間的是（）。A0， B， C， D，解：由函數(shù)f（x）=3cos（x）（0），函數(shù)f（x）相鄰兩個零點之間的絕對值為，可得=，=2，函數(shù)f（x）=3cos（2x）=3cos（2x）令2k2x2k+，求得k+xk+，可得函數(shù)的減區(qū)間為k+，k+，kZ結合所給的選項，故選：C11、若函數(shù)f(x)2x2ln x在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不是單調函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A1，) B. C1，2) D.【答案】Bf(x)4x(x>0)，令f(x)0，得x.又函數(shù)f(x)在區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不是單調函數(shù)，故(k1，k1)且k10，解得k，故選B.12、已知函數(shù)f(x)=2mx33nx2+10(m>0)有且僅有兩個不同的零點，則ln2m+ln2n的最小值為（ ）。 A、 B、 C、 D、解：,由得，即函數(shù)的兩個極值點為，又因為，函數(shù)有兩個不同的零點，所以，即，所以 ,當時，有最小值，故選A.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡中對應題號上。13、曲線在點處的切線方程為 。解：14、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為 。解：23。模擬執(zhí)行程序，可得本程序框圖為計算并輸出的值，循環(huán)體為“直到型”循環(huán)結構，由框圖，可得：不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為15、如圖，在邊長為1的正方形中任取一點，則該點落在陰影部分中的概率為 解：據(jù)題意，可以求得陰影部分的面積為，16、我們把形如（）的函數(shù)因其圖象類似于漢字“囧”字，故生動地稱為 “囧函數(shù)”，并把其與軸的交點關于原點的對稱點稱為“囧點”，以“囧點”為圓心凡是與“囧函數(shù)”有公共點的圓皆稱為“囧圓”，則當，時，所有的“囧圓”中，面積的最小值為 .解：三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（本小題滿分12分）設.（）求的單調區(qū)間；（）在銳角中，角的對邊分別為,若,求面積?！窘馕觥浚↖）由題意知 由 可得，由 可得，所以函數(shù) 的單調遞增區(qū)間是 ；單調遞減區(qū)間是（II）由 得 ，由題意知為銳角，所以 ，由余弦定理： ，可得： ，即： 當且僅當時等號成立.因此 ，所以面積的最大值為18、（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，且、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.【解析】（1）設數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，所以，解得或，當時，；當時，所以數(shù)列的通項公式為或.（2）當時，顯然，不存在正整數(shù)，使得.當時，令，即，解得或（舍去）此時存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.綜上所述，當時，不存在正整數(shù)；當時，存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.19、（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且BAD=，對角線AC與BD相交于O，OF平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2（） 求證：EFBC；（）求面AOF與平面BCEF所成銳二面角的正弦值證明：（）四邊形ABCD為菱形 ADBC，且BC面ADEF，AD面ADEF，BC面ADEF，且面ADEF面BCEF=EF， EFBC 解：（）FO面ABCD，F(xiàn)OAO，F(xiàn)OOB 又OBAO，以O為坐標原點，OA，OB，OF分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，取CD的中點M，連OM，EM易證EM平面ABCD又BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各點坐標：B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，0），F(xiàn)（0，0，），E（，），向量=（，），向量=（，1，0），向量，設面BCFE的法向量為：，得到，令時， =（1，1），面AOF的一個法向量，設面AOF與面BCEF所成的銳二面角為，則cos=，sin=故面AOF與面BCEF所成的銳二面角的正弦值為20、（本小題滿分12分）如圖，拋物線C：x2=2py（p0）的焦點為F（0，1），取垂直于y軸的直線與拋物線交于不同的兩點P1，P2，過P1，P2作圓心為Q的圓，使拋物線上其余點均在圓外，且P1QP2Q（1）求拋物線C和圓Q的方程；（2）過點F作傾斜角為（）的直線l，且直線l與拋物線C和圓Q依次交于M，A，B，N，求|MN|AB|的最小值解：（1）因為拋物線C：x2=2py（p0）的焦點為F（0，1），所以，解得p=2，所以拋物線C的方程為x2=4y由拋物線和圓的對稱性，可設圓Q：x2+（yb）2=r2，P1QP2Q，P1QP2是等腰直角三角形，則，代入拋物線方程有由題可知在P1，P2處圓和拋物線相切，對拋物線x2=4y求導得，所以拋物線在點P2處切線的斜率為由，知，所以，代入，解得b=3所以圓Q的方程為x2+（y3）2=8（2）設直線l的方程為y=kx+1，且，圓心Q（0，3）到直線l的距離為，由，得y2（2+4k2）y+1=0，設M（x1，y1），N（x2，y2），則，由拋物線定義知，所以，設t=1+k2，因為，所以，所以，所以當時，即時，|MN|AB|有最小值21、（本小題滿分12分）已知函數(shù)g（x）=+lnx在1，+）上為增函數(shù)，且（0，），f（x）=mxlnx（mR）（）求的值；（）若f（x）g（x）在1，+）上為單調函數(shù)，求m的取值范圍；（）設h（x）=，若在1，e上至少存在一個x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立，求m的取值范圍解：（1）由題意，0在1，+）上恒成立，即（0，），sin0故sinx10在1，+）上恒成立，只須sin110，即sin1，只有sin=1結合（0，），得（2）由（1），得f（x）g（x）=f（x）g（x）在其定義域內(nèi)為單調函數(shù)，mx22x+m0或者mx22x+m0在1，+）恒成立mx22x+m0等價于m（1+x2）2x，即，而，（）max=1，m1mx22x+m0等價于m（1+x2）2x，即在1，+）恒成立，而（0，1，m0綜上，m的取值范圍是（，01，+）（3）構造F（x）=f（x）g（x）h（x），當m0時，x1，e，所以在1，e上不存在一個x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立當m0時，因為x1，e，所以2e2x0，mx2+m0，所以（F（x）'0在x1，e恒成立故F（x）在1，e上單調遞增，只要，解得故m的取值范圍是請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22、（本小題滿分12分）選修44：坐標系與參數(shù)方程已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為=（R）（）求曲線C的極坐標方程；（）求直線l被曲線C截得的線段長解：（I）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得：（x2）2+y2=4，展開為：x2+y24x=0，可得極坐標方程：24cos=0，即=4cos（II）把直線l的極坐標方程=（R）代入圓的極坐標方程可得：=4=2。由于圓與直線都經(jīng)過原點，因此直線l被曲線C截得的線段長=|OP|=223、（本小題滿分12分）選修45：不等式 選講關于x的不等式lg（|x+3|x7|）m（）當m=1時，解此不等式；（）設函數(shù)f（x）=lg（|x+3|x7|），當m為何值時，f（x）m恒成立？解：（）當m=1時，原不等式可變?yōu)?|x+3|x7|10，由|x+3|x7|，兩邊平方，解得，x2，由于|x+3|x7|（x+3）（x7）|=10，即有10|x+3|x7|10，且x7時，|x+3|x7|=x+3（x7）=10則有2x7故可得其解集為x|2x7；（）設t=|x+3|x7|，則由對數(shù)定義及絕對值的幾何意義知，0t10，因y=lgx在（0，+）上為增函數(shù)，則lgt1，當t=10，即x=7時，lgt=1為最大值，故只需m1即可，即m1時，f（x）m恒成立