第第6講講一次方程與方程組的應用一次方程與方程組的應用 1能根據具體問題中的數量關系，建立數學模型，列出方程或方程組，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型 2能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式(組)，解決實際問題，能根據具體問題的實際意義，檢驗方程組的解是否合理 1根據具體問題中的數量關系和變化規(guī)律，列出方程或方程組，解決實際問題，來考查“方程思想”，養(yǎng)成用方程的思想解決問題的習慣2主要的思想方法：化歸思想、轉化思想和方程思想 1(2014溫州)20位同學在植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵設男生有x人，女生有y人，根據題意，列方程組正確的是( ) A. B. C. D.D 2(20142014金華)一種長方形餐桌的四周可坐6人用餐，現把若干張這樣的餐桌按如圖方式拼接(1)若把4張、8張這樣的餐桌拼接起來，四周分別可坐多少人？ (2)若用餐的人數有90人，則這樣的餐桌需要多少張？ (1)4張可坐44218(人)；8張可坐48234(人) (2)設這樣的餐桌需要x張，根據題意，得4x290，解得x22，則這樣的餐桌需要22張 3(20142014紹興)如圖甲，天平呈平衡狀態(tài)，其中左側秤盤中有一袋玻璃球，右側秤盤中也有一袋玻璃球，還有2個各20克的砝碼現將左側袋中一顆玻璃球移至右側秤盤，并拿走右側秤盤的1個砝碼后，天平仍呈平衡狀態(tài)，如圖乙，則被移動的玻璃球的質量為多少克？ 一元一次方程的實際應用 1(2014臺灣)桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形的杯子，杯深均為15公分，各裝有10公分高的水，且表記錄了甲、乙、丙三個杯子的底面積今小明將甲、乙兩杯內一些水倒入丙杯，過程中水沒溢出，使得甲、乙、丙三杯內水的高度比變?yōu)?45.若不計杯子厚度，則甲杯內水的高度變?yōu)槎嗌俟郑?底面積(平方公分)甲杯60乙杯80丙杯100 【解析】根據甲、乙、丙三杯內水的高度比變?yōu)?45，設后來甲、乙、丙三杯內水的高度為3x，4x，5x，由表格中的數據列出方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出甲杯內水的高度 解：設后來甲、乙、丙三杯內水的高度為3x，4x，5x，根據題意得6010801010010603x804x1005x，解得x2.4，則甲杯內水的高度變?yōu)?2.47.2(公分) 2(2014德州)目前節(jié)能燈在城市已基本普及，今年山東省面向縣級及農村地區(qū)推廣，為響應號召，某商場計劃購進甲、乙兩種節(jié)能燈共1200只，這兩種節(jié)能燈的進價、售價如下表： (1)如何進貨，進貨款恰好為46000元？ (2)如何進貨，商場銷售完節(jié)能燈時獲利最多且不超過進貨價的30%，此時利潤為多少元？ 進價(元/只)售價(元/只)甲型2530乙型4560 【解析】(1)設商場購進甲型節(jié)能燈x只，則購進乙型節(jié)能燈(1200 x)只，根據兩種節(jié)能燈的總價為46000元建立方程求出其解即可；(2)設商場購進甲型節(jié)能燈a只，則購進乙型節(jié)能燈(1200a)只，商場的獲利為y元，由銷售問題的數量關系建立y與a的解析式就可以求出結論 解：(1 1)設商場購進甲型節(jié)能燈x x只，則購進乙型節(jié)能燈(12001200 x x)只，由題意得25x25x4545(12001200 x x)4600046000，解得x x400400，購進乙型節(jié)能燈12001200400400800800(只)，則購進甲型節(jié)能燈400400只，購進乙型節(jié)能燈800800只，進貨款恰好為4600046000元 (2 2)設商場購進甲型節(jié)能燈a a只，則購進乙型節(jié)能燈(12001200a a)只，商場的獲利為y y元，由題意得y y(30302525)a a(60604545)(12001200a a)10a10a18000.18000. 商場銷售完節(jié)能燈時獲利最多且不超過進貨價的30%30%，10a10a180001800025a25a4545(12001200a a)30%30%，a a450.450.y y10a10a1800018000，k k10 100 0，y y隨a a的增大而減小，a a450450時，y y最大1350013500元商場購進甲型節(jié)能燈450450只，購進乙型節(jié)能燈750750只時的最大利潤為1350013500元 3(2013泰州)某地為了打造風光帶，將一段長為360 m的河道整治任務由甲、乙兩個工程隊先后接力完成，共用時20天，已知甲工程隊每天整治24 m，乙工程隊每天整治16 m求甲、乙兩個工程隊分別整治了多長的河道 用方程思想解決實際問題關鍵是尋找等量關系，常見的幾種方程類型及等量關系： (1)行程問題中的基本量之間的關系 路程速度時間； 相遇問題：全路程甲走的路程乙走的路程； 追及問題：若甲為快者，則被追路程甲走的路程乙走的路程； 流水問題：v順v靜v水，v逆v靜v水 (2)工程問題中的基本量之間的關系： 工作效率 ； 甲、乙合作的工作效率甲的工作效率乙的工作效率； 通常把工作總量看作“1” (3)有關利率問題： 本息和本金利息； 利息本金利率期數 1(2014菏澤)某飲料加工廠生產的A，B兩種飲料均需加入同種添加劑，A飲料每瓶需加該添加劑2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克，已知270 克該添加劑恰好生產了A，B兩種飲料共100瓶，問A，B兩種飲料各生產了多少瓶？二元一次方程組的實際應用 【解析】利用“兩種飲料共100瓶”和“兩種飲料添加劑一共270 克”兩個等量關系列出方程組 銷售時段銷售數量A種型號B種型號銷售收入第一周3臺5臺1800元第二周4臺10臺3100元 2某電器超市銷售每臺進價分別為200元、170元的A，B兩種型號的電風扇，下表是近兩周的銷售情況：(進價、售價均保持不變，利潤銷售收入進貨成本) (1)求A，B兩種型號的電風扇的銷售單價； (2)若超市準備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風扇共30臺，求A種型號的電風扇最多能采購多少臺？ (3)在(2)的條件下，超市銷售完這30臺電風扇能否實現利潤為1400元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由 【解析】(1)設A，B兩種型號電風扇的銷售單價分別為x元、y元，根據3臺A型號、5臺B型號的電風扇收入1800元，4臺A型號、10臺B型號的電風扇收入3100元，列方程組求解；(2)設采購A種型號電風扇a臺，則采購B種型號電風扇(30a)臺，根據金額不多于5400元，列不等式求解； (3)設利潤為1400元，列方程求出a的值為20，不符合(2)的條件，可知不能實現目標 (2 2)設采購A A種型號電風扇a a臺，則采購B B種型號電風扇(3030a a)臺依題意得200a200a170170(3030a a)54005400，解得a10a10，則超市最多采購A A種型號電風扇10 10臺時，采購金額不多于54005400元(3 3)依題意有(250250200200)a a(210210170170)(3030a a)14001400，解得a a2020，a a10 10，在(2 2)的條件下超市不能實現利潤14001400元的目標 列方程(組)解應用題的一般步驟： 1審：審清題意，弄清題意和題目中的數量關系； 2設：設未知數，用字母表示題目中的未知數 3列：尋找等量關系列出方程(組) 4解：解方程(組) 5驗：檢驗方程(組)的解是否符合題意，即檢驗所得結果的正確性及合理性 6答：寫出答案(包括單位) 3李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？ 4開學初，小芳和小亮去學校商店購買學習用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用31元錢買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本. (1)求每支鋼筆和每本筆記本的價格； (2)校運會后，班主任拿出200元學校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共48件作為獎品，獎給校運會中表現突出的同學，要求筆記本數不少于鋼筆數， 共有多少種購買方案？請你一一寫出 對于含多個未知數的實際問題，利用列方程組來解，一般要比列一元一次方程容易求解列二元一次方程組，首先要對具體的問題進行具體分析，從中抽取兩個等量關系，再根據相應的等量關系列出方程組，注意所求的解要符合具體問題的實際意義