第40課 探索型問題1條件探索型問題：給出問題的結(jié)論，讓解題者分析探索使結(jié)論成立應(yīng)具備的條件，而滿足結(jié)論的條件往往不唯一，需要采用證明、推斷去探索發(fā)現(xiàn)并補(bǔ)充完善，使結(jié)論成立它要求解題者善于從問題的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，多途尋因2結(jié)論探索型問題：給定明確條件但未明確結(jié)論或結(jié)論不唯一，要求解題者充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，然后對猜想的結(jié)論進(jìn)行證明這類題主要考查解題者的發(fā)散思維和所學(xué)基本知識的應(yīng)用能力要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理3存在探索型問題：指在一定條件下需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的問題解題時(shí)一般是先對結(jié)論作肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證若導(dǎo)出矛盾，則否定先前假設(shè)；若推出合理的結(jié)論，則說明假設(shè)正確，由此得出問題的結(jié)論1按探索對象分類 按探索對象的不同，探索題可分為條件探索題和結(jié)論探索題，即執(zhí)果索因和執(zhí)因?qū)Ч?按探索方法分類 (1)直觀探索法，對所學(xué)的新知識的思維遷移，進(jìn)行發(fā)現(xiàn)，這種方法多用于圖形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)； (2)歸納探索法，讓讀者對某些單個(gè)的、特殊的事物進(jìn)行分析比較，從中總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而進(jìn)行發(fā)現(xiàn)； (3)類比探索法，把所要解決的新問題和與之有關(guān)的問題進(jìn)行分類比較，發(fā)現(xiàn)它們之間的共同特點(diǎn)和規(guī)律 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 1(2010湛江)觀察下列算式：313, 329, 3327, 3481, 35243, 36729, 372187, 386561，通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定32010的個(gè)位數(shù)字是() A3 B9 C7 D1 解析：通過觀察可知規(guī)律：冪的個(gè)位數(shù)字是3,9,7,1,3,9,7,1， ，所以2010除以4，得余數(shù)是2，冪的個(gè)位數(shù)字是9.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測B2(2011綦江綦江)如下表，從左到右在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整如下表，從左到右在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，則數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，則第第2011個(gè)格子中的數(shù)為個(gè)格子中的數(shù)為() A. 3 B2 C0 D1 解析：由題意得解析：由題意得3ababcbc1， 得得a1，c3； 201167031， 第第2011個(gè)格子中的數(shù)為個(gè)格子中的數(shù)為3.31b31b3abc12A3(2011嘉興)一個(gè)紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個(gè)數(shù)可能是() A2011 B2011 C2012 D2013 解析：設(shè)這個(gè)紙環(huán)鏈共有5x個(gè)紙環(huán)，只有當(dāng)5x122013, 5x2025，x405，是整數(shù)，故選D.D4(2011安順)一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)跳動到(0,1)，然后接著按圖中箭頭所示方向跳動即(0,0)(0,1) (1,1) (1,0)，且每秒跳動一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)跳蚤所在位置的坐標(biāo)是() A(4,0) B(5,0) C(0,5) D(5,5)B 解析：當(dāng)跳蚤所在位置在第一象限的角平分線上， 點(diǎn)(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)， 所對應(yīng)的時(shí)間分別為第2秒、第6秒、第12秒、第20秒， 24681030， 在第30秒，跳蚤所住位置是(5,5)， 則第35秒的位置是(5,0)5(2011鎮(zhèn)江)在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分 別為A(1,1)，B(1,1)，C(1,1)，D(1,1)，y軸上有一點(diǎn)P(0,2)作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)P2，作點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)P3，作點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)D的對稱點(diǎn)P4，作點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)P5，作點(diǎn)P5關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)P6，按此操作下去，則點(diǎn)P2011的坐標(biāo)為() A(0,2) B(2,0) C(0,2) D(2,0) 解析：易求點(diǎn)P1(2,0)，P2(0,2)，P3(2,0)，P4(0,2)，P5(2,0)，P6(0,2)，而201145023， 故點(diǎn)P2011的坐標(biāo)同點(diǎn)P3(2,0)，所以選D.D 題型一規(guī)律探索型問題 【例 1】 如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1,0)，將線段OP0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1；又將線段OP1按 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45，長度伸長 為OP1的2倍，得到線段OP2；如 此下去，得到線段OP3，OP4， ，OPn. (n為正整數(shù)) (1)求點(diǎn)P6的坐標(biāo)； (2)求P5OP6的面積；題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 (3)我們規(guī)定：把點(diǎn)Pn(xn，yn)(n0，1,2,3，)的橫坐標(biāo)xn、縱坐標(biāo)yn都取絕對值后得到的新坐標(biāo)(|xn|，|yn|)稱之為點(diǎn)Pn的“絕對坐標(biāo)”根據(jù)圖中點(diǎn)Pn的分布規(guī)律，請你猜想點(diǎn)Pn的“絕對坐標(biāo)”，并寫出來 解：(1)P6(0,64) (2)SP5OP6 6416 512 . (3)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)可分三類情況： 當(dāng)n8k或n8k4時(shí)(其中k為自然數(shù))，點(diǎn)Pn落在x軸上， 此時(shí)，點(diǎn)Pn的絕對坐標(biāo)為(2n,0)；當(dāng)n8k1或8k3或8k5或8k7時(shí)(其中k為自然數(shù))，點(diǎn)Pn落在各象限的平分線上，此時(shí)，點(diǎn)Pn的絕對坐標(biāo)為( 2n， 2n)，即(2n1 ，2n1 )當(dāng)n8k2或8k6時(shí)(其中k為自然數(shù))，點(diǎn)Pn落在y軸上，此時(shí)，點(diǎn)Pn的絕對坐標(biāo)為(0,2n)探究提高 本題屬于規(guī)律探索型問題，數(shù)學(xué)對象所具備的狀態(tài)或關(guān)系不明確時(shí)，需對其本質(zhì)屬性進(jìn)行探索，從而尋求、發(fā)現(xiàn)其所服從的某一特定規(guī)律或具有的不變性解題方法一般是利用特殊值(特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等)進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律 知能遷移1已知下列n(n為正整數(shù))個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：x210；x2x20；x22x30； x2(n1)xn0. (1)請解上述一元二次方程、 ； (2)請你指出這n個(gè)方程的根具有什么共同特點(diǎn)，寫出一條即可 解：(1)方程x210的解是x11，x21； 方程x2x20的解是x11，x22； 方程x22x30的解是x11，x23； 方程 x2(n1)xn0的解是x11，x2n. (2)這n個(gè)方程都有一個(gè)根是x1. 題型二存在探索型問題 【例 2】 已知：如圖，ABC是邊長為3 cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1 cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t(s)，解答下列問題： (1)當(dāng)t為何值時(shí)，PBQ是直角三角形？ (2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2)，求y 與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使 四邊形APQC的面積是ABC面積的 ？ 如果存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在， 說明理由 解：(1)當(dāng)BPQ90時(shí)， 在RtBPQ中，B60，BP3t，BQt. cosB ，BPBQcosB，即3tt . 解之，得t2. 當(dāng)BQP90時(shí)， 在RtBPQ中，B60，BP3t，BQt， cosB ， BQBPcosB，即t(3t) . 解之，得t1. 綜上，t1或t2時(shí)，PBQ是直角三角形 (2)S四邊形APQCSABCSPBQ， y 33sin60 (3t)tsin60 t2 t . 又S四邊形APQC SABC， t2 ( 33sin60)， 整理得，t23t30，(3)24131)，BP1，OP是OA、OB的比例中項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動時(shí)，求AC BC的值；(結(jié)果用含m的式子表示) (3)在(2)的條件下，討論以BC為半徑的 圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系， 并寫出相應(yīng)m的取值范圍 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：(1)證明：AP2PBPBBOPO， AO2PO. 2. POCO， . COABOC， CAOBCO. 4分 (2)解：設(shè)OPx，則OBx1，OAxm， OP是OA、OB的比例中項(xiàng)， x2(x1)(xm)， 得x ，即OP . OB . OP是OA、OB的比例中項(xiàng)，即 ， 又OPOC， . 6分 設(shè)圓O與線段AB的延長線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P、 點(diǎn)Q不重合時(shí)， AOCCOB，CAOBCO. . m. 8分 (3)由(2)得，ACBC，且ACBC(m1)BC(m1)， ACBC(m1)BC，圓B和圓C的圓心距dBC， 顯然BC(m1)BC， 圓B和圓C的位置關(guān)系只可能相交、內(nèi)切或內(nèi)含 11分 當(dāng)圓B與圓C相交時(shí)， (m1)BCBC(m1)BC，得0m1，1m2； 12分 當(dāng)圓B與圓C內(nèi)切時(shí)， (m1)BCBC，得m2； 13分 當(dāng)圓B與圓C內(nèi)含時(shí)， BC2. 14分探究提高 本題給定條件但無明確結(jié)論，或結(jié)論不唯一，而需探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論 知能遷移3(2011綿陽)已知ABC是等腰直角三角形，A90，D是腰AC上的一個(gè)動點(diǎn)，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖1. (1)若BD是AC的中線，如圖2，求 的值； (2)若BD是ABC的角平分線，如圖3，求 的值； (3)結(jié)合(1)、(2)，請你推斷 的值的取值范圍(直接寫出結(jié)論，不必證明)，并探究 的值能小于 嗎？若能，求出滿足條件的D點(diǎn)的位置；若不能，請說明理由 解：(1)設(shè)ADx，則AB2x， 根據(jù)勾股定理，可得BD x， AE，ADBEDC， ABDECD， ， 可得CE x，所以 . (2)設(shè)ADx，根據(jù)角平分線定理， 可知DC x，AB xx， 由勾股定理可知BD . 由ABDECD，得 ， 由勾股定理知EC2CD2DE2， EC ， 2.(3)由前面兩步的結(jié)論可以看出，由前面兩步的結(jié)論可以看出， 1，所以這樣的點(diǎn)，所以這樣的點(diǎn)是存在的，是存在的，D在在AC邊的五等分點(diǎn)和點(diǎn)邊的五等分點(diǎn)和點(diǎn)A之間之間 題型四條件探索型問題 【例 4】 已知：如圖，在RtACB中，C90，AC4 cm， BC3 cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度為1 cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為2 cm/s； 連接PQ.若設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t(s)(0t2)，解答下列問題： (1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQBC? (2)設(shè)AQP的面積為y(cm2)，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把RtACB的周長和 面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明 理由；(4)如圖，連接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四邊形 PQPC，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQPC為 菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長；若不存在，說明 理由 解：(1)由題意：BPt cm, AQ2t cm， 則CQ(42t) cm， C90，AC4 cm，BC3 cm， AB5 cm， AP(5t) cm. PQBC， APQABC. AP ABAQ AC， 即(5t) 52t 4， 解得t ，當(dāng)t為(s)時(shí)，PQBC. (2)過點(diǎn)Q作QDAB于點(diǎn)D，則易證AQDABC， AQ QDAB BC，2t DQ5 3， QD t. APQ的面積： APQD (5t ) t， y與t之間的函數(shù)關(guān)系為：y3t t2. (3)由題意：當(dāng)面積被平分時(shí)有：3t t2 34， 解得：t ， 當(dāng)周長被平分時(shí)有：(5t)2tt(42t)3， 解得t1， 不存在這樣t的值 (4)過點(diǎn)P作PEBC于E，易證PBEABC， 當(dāng)PEQC時(shí)，PQC為等腰三角形，此時(shí)四邊形PQPC為菱形 理由如下： PBEABC， PE PBAC AB，PE t4 5，解得：PE t. QC42t， 2 t42t，解得t ， 當(dāng)t 時(shí)，四邊形PQPC為菱形 此時(shí)，PE ，BE ，CE . 在RtCPE中，根據(jù)勾股定理可知： PC ， 此菱形的邊長為 cm.探究提高探究提高 本題結(jié)論明確，而本題結(jié)論明確，而需探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成需探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件立的條件 知能遷移4如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處已知折痕CE5 ，且tanEDA . (1)判斷OCD與ADE是否相似？請說明理由； (2)求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)是否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成 的三角形相似？如果存在，請直接 寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線； 如果不存在，請說明理由 解：(1)OCD與ADE相似理由如下： 由折疊知：CDEB90， 1290， 1390， 23. 又CODDAE90， OCDADE.圖圖1 (2)tanEDA ， 設(shè)AE3t，則AD4t. 由勾股定理得DE5t. OCABAEEBAEDE 3t5t8t. 由(1)可知，OCDADE， ， ，CD10t. 在DCE中，CD2DE2CE2， (10t)2(5t)2(5 )2，解得t1. OC8，AE3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8)， 點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10,3) 設(shè)直線CE的解析式為ykxb， y x8，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(16,0) (3)滿足條件的直線l有2條：y2x12，y2x12. 如圖2中的l1、l2. 28規(guī)律探索問題分析不嚴(yán)密 試題探索nn的正方形釘子板上(n是釘子板上每邊的釘子數(shù))，連接任意兩個(gè)釘子所得到的不同長度值的線段種數(shù)：當(dāng)n2時(shí)，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與 ，所以不同長度值的線段只有二種，若用S表示不同長度值的線段種數(shù)，則S2；當(dāng)n3時(shí)，釘子板上所連不同線段的長度值只有1、 、2、 、2 五種，比n2時(shí)增加了三種，即S235.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示(1)觀察下圖，并填寫下表：觀察下圖，并填寫下表：(2)寫出寫出(n1)(n1)和和nn的兩個(gè)釘子板上，不同長度值的線的兩個(gè)釘子板上，不同長度值的線段種數(shù)之間的關(guān)系段種數(shù)之間的關(guān)系(用式子或語言表述均可用式子或語言表述均可)；(3)對對nn的釘子板，寫出用的釘子板，寫出用n表示表示S的代數(shù)式的代數(shù)式釘子數(shù)釘子數(shù)(nn)S值值22233234423()55() 學(xué)生答案展示 解：(1)4；2345. (2)設(shè)(n1)(n1)和nn兩個(gè)釘子板上不同長度值的線段種數(shù)分別為Sn1和Sn，則 Sn1234(n1)；Sn23n. (3)Sn234n. 剖析(1)填對了； (2)題目要求理解錯(cuò)了，命題要求寫出兩個(gè)釘子板上的兩個(gè)S值之間關(guān)系，而不是每個(gè)釘子板上的S值與每邊上的釘子數(shù)n的關(guān)系，顯然，Sn比Sn1的值大n； (3)寫對了，但應(yīng)化成不含省略號的代數(shù)式 正解(1)4；2345. (2)設(shè)(n1)(n1)和nn兩個(gè)釘子板上不同長度值的線段種數(shù)分別為Sn1和Sn，則 Sn1234(n1)；Sn23n. SnSn1n， 即在(n1)(n1)和nn的兩個(gè)釘子板上，不同長度值的線段種數(shù)前者比后者少n種 (3)Sn234n(1234n)1 .批閱筆記 錯(cuò)在分析不嚴(yán)密，審題不清楚，還有變形不熟練，沒有按問題的要求寫好答案在進(jìn)行規(guī)律總結(jié)時(shí)，考慮問題要全面并注意等式兩邊的式子隨著“序號”變化而變化的情況，最重要的是總結(jié)規(guī)律要加以驗(yàn)證，若不對，則重新觀察歸納. 方法與技巧 1. 規(guī)律探索型問題：通過觀察、類比特殊情況中數(shù)據(jù)特點(diǎn)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行分解重組、猜想、歸納得出規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)這種規(guī)律，同時(shí)要用結(jié)論去檢驗(yàn)特殊情況，以肯定結(jié)論的正確 2. 條件探索型問題：該類問題結(jié)論明確，需要完備條件，因此需要利用結(jié)論進(jìn)行積極的探索，分析已知條件，要使結(jié)論成立還需什么條件，寫出符合題意的條件思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 3. 結(jié)論探索型問題：該類問題僅給出某種情境而沒有明確的結(jié)論，或結(jié)論不唯一，或結(jié)論需要類比、引伸推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)得出一般結(jié)論探索時(shí)要將觀察、猜想和結(jié)論有機(jī)地結(jié)合起來 4. 存在探索型問題：是指在某種條件下判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)結(jié)論是否存在的一類問題解題時(shí)先假設(shè)結(jié)論成立，以此為條件進(jìn)行運(yùn)算或推理若無矛盾，則假設(shè)成立，由此得出符合條件的結(jié)論成立；否則結(jié)論不存在失誤與防范 1探索型問題的解答，應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想方法，主要有等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想，以及分析法、反證法、待定系數(shù)法、配方法、換元法等運(yùn)用這些思想解答，可以提高解題的能力，舉一反三，防止就題論題，陷入題海，與此同時(shí)，要注意總結(jié)思路，把握常見題型，抓住解題規(guī)律 2解探索型問題應(yīng)注意以下三點(diǎn)： (1)認(rèn)真審題，確定目標(biāo)，也就是把握題中涉及的有關(guān)概念、公式、定理、法則、方法，盡可能地進(jìn)行聯(lián)想，以獲得最佳解題途徑； (2)善于挖掘隱含條件，提高準(zhǔn)確性，做到不漏條件、判斷準(zhǔn)確、運(yùn)算合理； (3)開闊思路，因題定法，此類問題解答無定法，只有在分析命題的基礎(chǔ)上聯(lián)想并利用與之有關(guān)的概念，把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的情形處理，才能找到切實(shí)可行的解法完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 40