第六章第六章 圓圓 第一節(jié)第一節(jié) 圓的基本性質(zhì)圓的基本性質(zhì)第一部分第一部分 教材知識(shí)梳理教材知識(shí)梳理中招考點(diǎn)清單 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1. 概念概念 在一個(gè)平面內(nèi)，線段在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一 周，另一個(gè)端點(diǎn)周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，其固定的端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓，其固定的端點(diǎn)O 叫做圓心，線段叫做圓心，線段OA叫做半徑，如圖叫做半徑，如圖.2. .圓的確定圓的確定 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓,圓圓 心確定圓的位置，半徑確定圓的大小心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.圖圖3. 圓的有關(guān)概念圓的有關(guān)概念同心圓同心圓 圓心相同、半徑不等的圓叫做同心圓圓心相同、半徑不等的圓叫做同心圓等圓等圓能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓半圓半圓圓的任意一條圓的任意一條_的兩個(gè)端點(diǎn)把圓的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓弧弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，大于半圓的弧叫做弧，大于半圓的弧叫做_，小于半，小于半圓的弧叫做圓的弧叫做_直徑直徑優(yōu)弧優(yōu)弧劣弧劣弧弦弦連接圓上任意兩點(diǎn)的連接圓上任意兩點(diǎn)的_叫做弦叫做弦直徑直徑經(jīng)過經(jīng)過_的弦叫做直徑的弦叫做直徑弦心距弦心距 圓心到弦的距離叫做弦心距圓心到弦的距離叫做弦心距圓心角圓心角 頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在_的角叫做圓心角的角叫做圓心角圓周角圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且頂點(diǎn)在圓上，并且_都與圓相交的角都與圓相交的角叫做圓周角叫做圓周角線段線段圓心圓心圓心圓心兩邊兩邊4. 圓的對(duì)稱性圓的對(duì)稱性 圓既是軸對(duì)稱圖形圓既是軸對(duì)稱圖形,又是又是_，任意一條直徑，任意一條直徑 所在的直線都是它的對(duì)稱軸，圓心是它的對(duì)稱中心所在的直線都是它的對(duì)稱軸，圓心是它的對(duì)稱中心.中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形考點(diǎn)二考點(diǎn)二 垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論定理定理垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑_弦，并且平分弦所對(duì)的兩弦，并且平分弦所對(duì)的兩條條_；如圖，已知直；如圖，已知直徑徑CD弦弦AB，則，則CD平分平分AB，ACBC，ADBD平分平分弧弧圖圖推論推論a.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑的直徑 _于弦，于弦，并且并且 _弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的兩條弧.如圖，已知如圖，已知直徑直徑CD平分弦平分弦AB(不是直徑不是直徑)，則，則CDAB，且且ACBC，ADBD b.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧對(duì)的兩條弧.如圖，弦如圖，弦AB的垂直平分線為直的垂直平分線為直徑徑CD，直徑，直徑CD平分平分ACB和和ADB c.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧并且平分弦所對(duì)的另一條弧垂直垂直平分平分圖圖11 11 12 12 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 弧、弦、圓心角之間的關(guān)系弧、弦、圓心角之間的關(guān)系1. 定理定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧 _，所對(duì)，所對(duì) 的弦也相等的弦也相等.2. 推論推論 (1)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的 圓心角圓心角 _，所對(duì)的弦，所對(duì)的弦 _； (2)在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的 圓心角圓心角 _，所對(duì)的弧，所對(duì)的弧 _；相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 (3)弧的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角的度數(shù)弧的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角的度數(shù).考點(diǎn)四考點(diǎn)四 圓周角定理及其推論圓周角定理及其推論(高頻考點(diǎn)高頻考點(diǎn))1. 定理定理 一條弧所對(duì)的一條弧所對(duì)的 _等于它所對(duì)的等于它所對(duì)的 _的一半的一半.2. 推論推論 (1)同弧或等弧所對(duì)的圓周角同弧或等弧所對(duì)的圓周角 _； (2)半圓半圓(或直徑或直徑)所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓周角是 _，90的圓周角的圓周角 所對(duì)的弦是所對(duì)的弦是 _.圓周角圓周角圓心角圓心角相等相等直角直角直徑直徑18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 考點(diǎn)五考點(diǎn)五 圓與多邊形的關(guān)系圓與多邊形的關(guān)系(2011版新課標(biāo)新增內(nèi)容版新課標(biāo)新增內(nèi)容)互補(bǔ)互補(bǔ)23 23 1. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(1)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 _； (2)圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角(和它相和它相 鄰的內(nèi)角的對(duì)角鄰的內(nèi)角的對(duì)角).2. 圓與正多邊形的有關(guān)概念圓與正多邊形的有關(guān)概念 我們把一個(gè)正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的公共圓心我們把一個(gè)正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的公共圓心 叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半 徑，徑， 內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距，正多邊形的內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距，正多邊形的 每一條邊所對(duì)的圓心角，叫做正多邊形的中心角每一條邊所對(duì)的圓心角，叫做正多邊形的中心角.3. 圓與正多邊形的關(guān)系圓與正多邊形的關(guān)系 把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作這個(gè)圓的內(nèi)把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作這個(gè)圓的內(nèi) 接正邊形，這個(gè)圓就是正多邊形的外接圓接正邊形，這個(gè)圓就是正多邊形的外接圓.?？碱愋推饰鲱愋鸵活愋鸵?圓周角定理求角度圓周角定理求角度 (15巴中巴中)如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AC半徑半徑OB，BOC=50，則，則OAB的度數(shù)為的度數(shù)為( )A. 25 B. 50 C. 60 D. 30例例1例例1題圖題圖 【解析解析】ACOB,OCA=BOC=50.OA=OC,OAC=OCA=50.AOC=180-50-5080，AOB=AOC+BOC=80+50=130.OA=OB,OAB=(180-130)2=25.例例1題圖題圖 【答案答案】A【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】同弧所對(duì)的圓周角、圓心角、同弧所對(duì)的圓周角、圓心角、弦、弦心距都相等；解決圓周角問題時(shí)，常弦、弦心距都相等；解決圓周角問題時(shí)，?？紤]同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，找到考慮同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，找到一條弧，利用此關(guān)系進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)化和計(jì)算一條弧，利用此關(guān)系進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)化和計(jì)算. (15牡丹江牡丹江)如圖，如圖，ABD的三個(gè)頂點(diǎn)在的三個(gè)頂點(diǎn)在 O上，上，AB是直徑，點(diǎn)是直徑，點(diǎn)C在在 O上，且上，且ABD=52，則，則BCD等于等于( )A. 32 B. 38 C. 52 D. 66拓展題拓展題1圖圖拓展題拓展題1【解析解析】AB是是 O的直徑，的直徑，ADB=90，ABD=52，A=90-52=38，BCD=A=38.B類型二類型二 垂徑定理垂徑定理 (14北京北京)如圖，如圖， O的直徑的直徑AB垂直于弦垂直于弦CD，垂足是，垂足是E，=22.5，OC=4，CD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為( )A. 2 B. 4 C. 4 D. 8例例2題圖題圖 例例222【解析解析】本題考查垂徑定理的運(yùn)用本題考查垂徑定理的運(yùn)用.A=22.5，COE=2A=45(同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半)，COE 是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形，又OC 是斜邊，且是斜邊，且OC= 4，直角邊直角邊 CE=2 ，又，又CD OB，E 是是 CD中點(diǎn)，中點(diǎn)，CD=2CE=4 22C【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常需作出利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常需作出圓心到弦的垂線段圓心到弦的垂線段( (即弦心距即弦心距) )，構(gòu)造以半徑、半弦、弦心，構(gòu)造以半徑、半弦、弦心距為三邊的直角三角形，利用直角三角形性質(zhì)求解距為三邊的直角三角形，利用直角三角形性質(zhì)求解. . 如圖，如圖，CD是是 O的直徑，弦的直徑，弦ABCD于點(diǎn)于點(diǎn)E，BCD=30，下列結(jié)論：，下列結(jié)論：AE=BE；OE=DE；AB=BC；BE=3DE其中正確的是其中正確的是( )A. B. C. D. 拓展題拓展題2圖圖拓展題拓展題2【解析解析】連接連接OB,BD,CD是是 O的直徑，的直徑，ABCD，AE=BE，故正確；，故正確；BCD=30，BOD=60，又，又OB=OD，OBD是等邊三角形，是等邊三角形，ABCD，OE=DE，BE= DE，故正確；連接，故正確；連接AC，ACB=2BCD=60，又，又AC=BC，ABC是等邊三角形，是等邊三角形，AB=BC，故，故正確，正確，正確的是正確的是.拓展題拓展題2解圖解圖【答案答案】D3失分點(diǎn)失分點(diǎn)14 弦心距計(jì)算時(shí)漏解弦心距計(jì)算時(shí)漏解 已知已知 O的半徑為的半徑為5，弦，弦ABCD,AB=6,CD=8,你能你能求出求出AB和和CD之間的距離嗎？之間的距離嗎？小文的解法如下：小文的解法如下：解：如解圖，過點(diǎn)解：如解圖，過點(diǎn)O作作OEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E，交交CD于點(diǎn)于點(diǎn)F，連接，連接OA和和OC.AB=6,CD=8,解圖解圖 AE=3,CF=4.OA=OC=5,在在RtAEO中，中，EO= =4,在在RtCFO中，中，F(xiàn)O= =3.EF=OE-OF=1,即即AB和和CD之間的距離為之間的距離為1 cm.222253AOAE222254COCF 小超通過認(rèn)真研讀，覺得小文的思路很清晰，沒有異小超通過認(rèn)真研讀，覺得小文的思路很清晰，沒有異議，可小軍一看，說小文的做法不全面，于是很快給出了議，可小軍一看，說小文的做法不全面，于是很快給出了正確的解答，你知道小軍的解法嗎？請(qǐng)寫出正確的解答過正確的解答，你知道小軍的解法嗎？請(qǐng)寫出正確的解答過程程.自主解答：自主解答：解解：當(dāng)弦當(dāng)弦AB和和CD在圓心同側(cè)時(shí)，在圓心同側(cè)時(shí)， AB=6 cm，CD=8 cm， AE=3 cm，CF=4 cm， OA=OC=5 cm，在在RtAEO中中EO=4 cm，在，在RtCFO中，中，OF=3 cm， EF=EO-OF=1 cm；失分點(diǎn)失分點(diǎn)14解圖解圖當(dāng)弦當(dāng)弦AB和和CD在圓心異側(cè)時(shí)，在圓心異側(cè)時(shí)， AB=6 cm，CD=8 cm， AE=3 cm，CF=4 cm， OA=OC=5 cm， 在在RtAEO中，中，EO=4 cm，在在RtCFO中，中，OF=3 cm， EF=OF+OE=7 cm.綜上，綜上，AB和和CD之間的距離為之間的距離為1 cm或或7 cm.失分點(diǎn)失分點(diǎn)14解圖解圖 【名師提醒名師提醒】應(yīng)用垂徑定理時(shí)，由于題目中未指出兩應(yīng)用垂徑定理時(shí)，由于題目中未指出兩平行弦在平行弦在 O的同側(cè)還是異側(cè)，要分情況討論，以免漏解的同側(cè)還是異側(cè)，要分情況討論，以免漏解.類型三類型三 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) (15泉州泉州)如圖，在如圖，在 O的內(nèi)接四邊形的內(nèi)接四邊形ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E在在DC的延長(zhǎng)線上的延長(zhǎng)線上.若若A=50,則則BCE=_. 例例3例例3題圖題圖 【解析解析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).四邊形四邊形ABCD是是 O的內(nèi)接四邊形，的內(nèi)接四邊形，A+BCD=180，A=50，BCD=180-50=130，BCD與與BCE互為鄰補(bǔ)互為鄰補(bǔ)角，角，BCD+BCE=180，BCE=180-BCD=180-130=50.【答案答案】50例例3題圖題圖 【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】利用圓內(nèi)接四邊形求角度利用圓內(nèi)接四邊形求角度, ,往往將所求角與往往將所求角與已知角進(jìn)行等量代換，因此需要熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形已知角進(jìn)行等量代換，因此需要熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，另外在解題中要注意圓周角定理的運(yùn)用的性質(zhì)，另外在解題中要注意圓周角定理的運(yùn)用. .