第第2 2講點、直線、平面之間的位置關(guān)系講點、直線、平面之間的位置關(guān)系熱點突破熱點突破高考導(dǎo)航高考導(dǎo)航備選例題備選例題閱卷評析閱卷評析高考導(dǎo)航高考導(dǎo)航 演真題演真題明備考明備考高考體驗高考體驗1 1.(2015.(2015全國全國卷卷, ,文文18)18)如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD為菱形為菱形,G,G為為ACAC與與BDBD的交點的交點,BE,BE平面平面ABCD.ABCD.(1)(1)證明證明: :平面平面AECAEC平面平面BED;BED;(1)(1)證明證明: :因為四邊形因為四邊形ABCDABCD為菱形為菱形, ,所以所以ACBD.ACBD.因為因為BEBE平面平面ABCD,ABCD,所以所以ACBE.ACBE.故故ACAC平面平面BED.BED.又又ACAC平面平面AEC,AEC,所以平面所以平面AECAEC平面平面BED.BED.2.2.(2013(2013全國全國卷卷, ,文文18)18)如圖所示如圖所示, ,直三棱柱直三棱柱ABCAABCA1 1B B1 1C C1 1中中,D,E,D,E分別是分別是AB,BBAB,BB1 1的中點的中點. .(1)(1)證明證明:BC:BC1 1平面平面A A1 1CD;CD;(1)(1)證明證明: :連接連接ACAC1 1交交A A1 1C C于點于點F,F,則則F F為為ACAC1 1中點中點. .又又D D是是ABAB中點中點, ,連接連接DF,DF,則則BCBC1 1DF.DF.因為因為DFDF平面平面A A1 1CD,BCCD,BC1 1 平面平面A A1 1CD,CD,所以所以BCBC1 1平面平面A A1 1CD.CD.(2)(2)設(shè)設(shè)AAAA1 1=AC=CB=2,AB=2 ,=AC=CB=2,AB=2 ,求三棱錐求三棱錐C-C-A A1 1DEDE的體積的體積. .23.3.(2015(2015全國全國卷卷, ,文文19)19)如圖如圖, ,長方體長方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=16,BC=10,AA,AB=16,BC=10,AA1 1=8,=8,點點E,FE,F分別在分別在A A1 1B B1 1,D,D1 1C C1 1上上,A,A1 1E=DE=D1 1F=4.F=4.過點過點E,FE,F的平面的平面與此長方體的面相交與此長方體的面相交, ,交線圍成一個正方形交線圍成一個正方形. .(1)(1)在圖中畫出這個正方形在圖中畫出這個正方形( (不必說明畫法和理由不必說明畫法和理由););解解: :(1)(1)交線圍成的正方形交線圍成的正方形EHGFEHGF如圖所示如圖所示. .(2)(2)求平面求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值把該長方體分成的兩部分體積的比值. .4.4.(2016(2016全國全國卷卷, ,文文19)19)如圖如圖, ,四棱錐四棱錐P-P-ABCDABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,ADBC,ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,MAB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段為線段ADAD上一點上一點,AM=2MD,N,AM=2MD,N為為PCPC的中點的中點. .(1)(1)證明證明MNMN平面平面PAB;PAB;(2)(2)求四面體求四面體N-N-BCMBCM的體積的體積. .高考感悟高考感悟1.1.考查角度考查角度(1)(1)線面平行、垂直的證明線面平行、垂直的證明. .(2)(2)根據(jù)題中條件求幾何體體積根據(jù)題中條件求幾何體體積. .(3)(3)平面基本性質(zhì)的應(yīng)用平面基本性質(zhì)的應(yīng)用. .2.2.題型及難易度題型及難易度選擇題、解答題選擇題、解答題, ,中檔中檔. .熱點突破熱點突破 剖典例剖典例促遷移促遷移空間線線、線面關(guān)系的證明空間線線、線面關(guān)系的證明熱點一熱點一【例【例1 1】 (2016(2016山東卷山東卷, ,文文18)18)在如圖所示的幾何體中在如圖所示的幾何體中,D,D是是ACAC的中點的中點,EFDB.,EFDB.(1)(1)已知已知AB=BC,AE=EC.AB=BC,AE=EC.求證求證:ACFB;:ACFB;證明證明: :(1)(1)因為因為EFDB,EFDB,所以所以EFEF與與DBDB確定平面確定平面BDEF.BDEF.如圖如圖(1),(1),連接連接DE.DE.因為因為AE=EC,DAE=EC,D為為ACAC的中點的中點, ,所以所以DEAC.DEAC.同理可得同理可得BDAC.BDAC.又又BDDE=D,BDDE=D,所以所以ACAC平面平面BDEF.BDEF.因為因為FBFB平面平面BDEF,BDEF,所以所以ACFB.ACFB.(2)(2)已知已知G,HG,H分別是分別是ECEC和和FBFB的中點的中點. .求證求證:GH:GH平面平面ABC.ABC.證明證明: :(2)(2)如圖如圖(2),(2),設(shè)設(shè)FCFC的中點為的中點為I,I,連接連接GI,HI.GI,HI.在在CEFCEF中中, ,因為因為G G是是CECE的中點的中點. .所以所以GIEF,GIEF,又又EFDB,EFDB,所以所以GIDB.GIDB.在在CFBCFB中中, ,因為因為H H是是FBFB的中點的中點, ,所以所以HIBC.HIBC.又又HIGI=I,HIGI=I,所以平面所以平面GHIGHI平面平面ABC,ABC,因為因為GHGH平面平面GHI.GHI.所以所以GHGH平面平面ABC.ABC.【方法技巧【方法技巧】 (1)(1)證明線面平行的常用方法證明線面平行的常用方法利用線面平行的判定定理利用線面平行的判定定理, ,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行; ;利用面面平行的性質(zhì)定理利用面面平行的性質(zhì)定理, ,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行. .(2)(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直證明線面垂直的核心是證線線垂直, ,而證明線線垂直則需借助線面垂直的而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)性質(zhì). .因此因此, ,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想. .(3)(3)在求體積時在求體積時, ,要注意等積法要注意等積法( (轉(zhuǎn)換幾何體的頂點位置轉(zhuǎn)換幾何體的頂點位置) )的應(yīng)用的應(yīng)用, ,避免思維障礙避免思維障礙. .熱點訓(xùn)練熱點訓(xùn)練:(1):(1)(2016(2016湖南聯(lián)考湖南聯(lián)考) )如圖如圖, ,在斜三棱柱在斜三棱柱ABC-ABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,側(cè)面?zhèn)让鍭CCACC1 1A A1 1與側(cè)面與側(cè)面CBBCBB1 1C C1 1都是菱形都是菱形,ACC,ACC1 1=CC=CC1 1B B1 1=60=60,AC=2.,AC=2.求證求證:AB:AB1 1CCCC1 1; ;(1)(1)證明證明: :連接連接ACAC1 1,CB,CB1 1, ,則則ACCACC1 1和和B B1 1CCCC1 1都為正三角形都為正三角形. .取取CCCC1 1的中點的中點O,O,連接連接OA,OBOA,OB1 1, ,則則CCCC1 1OA,CCOA,CC1 1OBOB1 1, ,則則CCCC1 1平面平面OABOAB1 1, ,則則ABAB1 1CCCC1 1. .(2)(2)(2016(2016貴州貴陽聯(lián)考貴州貴陽聯(lián)考) )如圖如圖, ,在直三棱柱在直三棱柱ABC-ABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,BAC=90,BAC=90,D,E,D,E分分別為別為CCCC1 1和和A A1 1B B1 1的中點的中點, ,且且A A1 1A=AC=2AB=2.A=AC=2AB=2.求證求證:C:C1 1EE平面平面A A1 1BD;BD;求點求點C C1 1到平面到平面A A1 1BDBD的距離的距離. .空間面面位置關(guān)系的證明空間面面位置關(guān)系的證明熱點二熱點二【例【例2 2】 (2015(2015山東卷山東卷, ,文文18)18)如圖如圖, ,三棱臺三棱臺DEF-DEF-ABCABC中中,AB=2DE,G,H,AB=2DE,G,H分別為分別為AC,AC,BCBC的中點的中點. .(1)(1)求證求證:BD:BD平面平面FGH;FGH;(1)(1)證明證明: :法一法一連接連接DG,CD,DG,CD,設(shè)設(shè)CDGF=M,CDGF=M,連接連接MH.MH.在三棱臺在三棱臺DEF-DEF-ABCABC中中,AB=2DE,AB=2DE,G G為為ACAC的中點的中點, ,可得可得DFGC,DF=GC,DFGC,DF=GC,所以四邊形所以四邊形DFCGDFCG為平行四邊形為平行四邊形, ,則則M M為為CDCD的中點的中點, ,又又H H為為BCBC的中點的中點, ,所以所以HMBD.HMBD.又又HMHM平面平面FGH,BDFGH,BD 平面平面FGH,FGH,所以所以BDBD平面平面FGH.FGH.法二法二在三棱臺在三棱臺DEF-DEF-ABCABC中中, ,由由BC=2EF,BC=2EF,H H為為BCBC的中點的中點, ,可得可得BHEF,BH=EF,BHEF,BH=EF,所以四邊形所以四邊形HBEFHBEF為平行四邊形為平行四邊形, ,可得可得BEHF.BEHF.在在ABCABC中中,G,G為為ACAC的中點的中點,H,H為為BCBC的中點的中點, ,所以所以GHAB.GHAB.又又GHHF=H,GHHF=H,所以平面所以平面FGHFGH平面平面ABED.ABED.因為因為BDBD平面平面ABED,ABED,所以所以BDBD平面平面FGH.FGH.(2)(2)若若CFBC,ABBC,CFBC,ABBC,求證求證: :平面平面BCDBCD平面平面EGH.EGH.(2)(2)解解: :連連接接HE,HE,因為因為G,HG,H分別為分別為AC,AC,BCBC的中點的中點, ,所以所以GHAB,GHAB,由由ABBC,ABBC,得得GHBC.GHBC.又又H H為為BCBC的中點的中點, ,所以所以EFHC,EF=HC,EFHC,EF=HC,因此四邊形因此四邊形EFCHEFCH是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以CFHE.CFHE.又又CFBC,CFBC,所以所以HEBC.HEBC.又又HE,GHHE,GH平面平面EGH,HEGH=H,EGH,HEGH=H,所以所以BCBC平面平面EGH.EGH.又又BCBC平面平面BCD,BCD,所以平面所以平面BCDBCD平面平面EGH.EGH.【方法技巧【方法技巧】 面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直, ,線面垂直的證明方法主要有判定線面垂直的證明方法主要有判定定理法、平行線法定理法、平行線法( (若兩條平行線中的一條垂直于一個平面若兩條平行線中的一條垂直于一個平面, ,則另一條也垂直則另一條也垂直于這個平面于這個平面) )、面面垂直性質(zhì)定理法、面面垂直性質(zhì)定理法, ,面面垂直性質(zhì)定理是證明線面垂直的一面面垂直性質(zhì)定理是證明線面垂直的一種核心方法種核心方法. .立體幾何中的折疊問題立體幾何中的折疊問題熱點三熱點三(2)(2)當(dāng)平面當(dāng)平面A A1 1BEBE平面平面BCDEBCDE時時, ,四棱錐四棱錐A A1 1- -BCDEBCDE的體積為的體積為36 ,36 ,求求a a的值的值. .2【方法技巧【方法技巧】 平面圖形翻折為空間圖形問題的解題關(guān)鍵是看翻折前后線平面圖形翻折為空間圖形問題的解題關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化面位置關(guān)系的變化, ,根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒有變根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒有變化的量和發(fā)生變化的量化的量和發(fā)生變化的量, ,這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征的結(jié)構(gòu)特征. .備選例題備選例題 挖內(nèi)涵挖內(nèi)涵尋思路尋思路【例題【例題】 (2015(2015湖北卷湖北卷, ,文文20)20)九章算術(shù)九章算術(shù)中中, ,將底面為長方形且有一條將底面為長方形且有一條側(cè)棱與面垂直的四棱錐稱之為陽馬側(cè)棱與面垂直的四棱錐稱之為陽馬, ,將四個面都為直角三角形的四面體稱之將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑為鱉臑. .在如圖所示的陽馬在如圖所示的陽馬P-P-ABCDABCD中中, ,側(cè)棱側(cè)棱PDPD底面底面ABCD,ABCD,且且PD=CD,PD=CD,點點E E是是PCPC的中點的中點, ,連接連接DE,BD,BE.DE,BD,BE.(1)(1)證明證明:DE:DE平面平面PBC.PBC.試判斷四面體試判斷四面體EBCDEBCD是否為鱉臑是否為鱉臑. .若是若是, ,寫出其每個面寫出其每個面的直角的直角( (只需寫出結(jié)論只需寫出結(jié)論););若不是若不是, ,請說明理由請說明理由; ;(1)(1)證明證明: :因為因為PDPD底面底面ABCD,ABCD,所以所以PDBC.PDBC.由底面由底面ABCDABCD為長方形為長方形, ,有有BCCD,BCCD,而而PDCD=D,PDCD=D,所以所以BCBC平面平面PCD,PCD,因為因為DEDE平面平面PCD,PCD,所以所以BCDE.BCDE.又因為又因為PD=CD,PD=CD,點點E E是是PCPC的中點的中點, ,所以所以DEPC.DEPC.而而PCBC=C,PCBC=C,所以所以DEDE平面平面PBC.PBC.由由BCBC平面平面PCD,DEPCD,DE平面平面PBC,PBC,可知四面體可知四面體EBCDEBCD的四個面都是直角三角的四個面都是直角三角形形, ,即四面體即四面體EBCDEBCD是一個鱉臑是一個鱉臑, ,其四個面的直角分別是其四個面的直角分別是BCD,BCE,DEC,BCD,BCE,DEC,DEB.DEB.(2)(2)記陽馬記陽馬P-P-ABCDABCD的體積為的體積為V V1 1, ,四面體四面體EBCDEBCD的體積為的體積為V V2 2, ,求求 的值的值. .12VV閱卷評析閱卷評析 抓關(guān)鍵抓關(guān)鍵練規(guī)范練規(guī)范立體幾何證明的嚴(yán)謹(jǐn)性立體幾何證明的嚴(yán)謹(jǐn)性(2016(2016全國全國卷卷, ,文文18,1218,12分分) )如圖如圖, ,已知正三棱錐已知正三棱錐PABCPABC的側(cè)面是直角三角形的側(cè)面是直角三角形,PA=,PA=6,6,頂點頂點P P在平面在平面ABCABC內(nèi)的正投影為點內(nèi)的正投影為點D,DD,D在平面在平面PABPAB內(nèi)的正投影為點內(nèi)的正投影為點E,E,連接連接PEPE并延并延長交長交ABAB于點于點G.G.(1)(1)證明證明G G是是ABAB的中點的中點; ;評分細(xì)則評分細(xì)則: :(1)(1)證明證明: :因為因為P P在平面在平面ABCABC內(nèi)的正投影為內(nèi)的正投影為D,D,所以所以ABPD.ABPD.1 1分分因為因為D D在平面在平面PABPAB內(nèi)的正投影為內(nèi)的正投影為E,E,所以所以ABDE.ABDE.2 2分分又又PDDE=D,PDDE=D,所以所以ABAB平面平面PED,PED,故故ABPG.ABPG.3 3分分又由已知可得又由已知可得PA=PB,PA=PB,從而從而G G是是ABAB的中點的中點. .4 4分分注注: :判斷線面垂直判斷線面垂直, ,應(yīng)滿足以下條件應(yīng)滿足以下條件, ,一直線垂直于該平面內(nèi)的兩相一直線垂直于該平面內(nèi)的兩相交直線交直線, ,兩直線相交的條件兩直線相交的條件“PDDE=D”PDDE=D”不能漏不能漏. .(2)(2)作出點作出點E E在平面在平面PACPAC內(nèi)的正投影內(nèi)的正投影F(F(說明作法及理由說明作法及理由),),并求四面體并求四面體PDEFPDEF的體積的體積. .評分細(xì)則評分細(xì)則: :(2)(2)解解: :在平面在平面PABPAB內(nèi)內(nèi), ,過點過點E E作作PBPB的平行線交的平行線交PAPA于點于點F,FF,F即為即為E E在平面在平面PACPAC內(nèi)的正投影內(nèi)的正投影. .5 5分分理由如下理由如下: :由已知可得由已知可得PBPA,PBPC,PBPA,PBPC,又又EFPB,EFPB,所以所以EFPA,EFPC,EFPA,EFPC,又又PAPC=P,PAPC=P,因此因此EFEF平面平面PAC,PAC,即點即點F F為為E E在平面在平面PACPAC內(nèi)的正投影內(nèi)的正投影. .7 7分分連接連接CG,CG,因為因為P P在平面在平面ABCABC內(nèi)的正投影為內(nèi)的正投影為D,D,所以所以D D是正三角形是正三角形ABCABC的中心的中心. .【答題啟示【答題啟示】1.1.在應(yīng)用平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理時在應(yīng)用平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理時, ,所滿足的條件應(yīng)盡量列舉齊所滿足的條件應(yīng)盡量列舉齊全全, ,切不可隨意省略造成失分切不可隨意省略造成失分. .2.2.在求體積時在求體積時, ,必要的證明過程不能省略必要的證明過程不能省略, ,否則也易造成失分否則也易造成失分. .3.3.計算要準(zhǔn)確計算要準(zhǔn)確, ,計算失誤計算失誤, ,而思路和公式正確而思路和公式正確, ,可得部分分可得部分分. .