數(shù)學(xué)分析(2)參考 答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
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數(shù)學(xué)分析(2)參考 答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
數(shù)學(xué)分析(2)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一 判斷題(每小題2分,計(jì)10分)1× 2 3 4× 5二填空題(每空2分,計(jì)20分)1設(shè)H為閉區(qū)間a,b的一個(gè)(無(wú)限)開覆蓋,則從H中可選出有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋a,b20,1 34任給,總存在相應(yīng)的一個(gè)分割T,使得S(T)s(T) 或任給,總存在相應(yīng)的某一個(gè)分割T,使得其中為在上的振幅5068a7絕對(duì)收斂89110三計(jì)算(每小題4分,計(jì)20分)(1) 解: ()上式中的和式是函數(shù)在區(qū)間0,1上的積分和 所以原式= ()(2) 解: () = ()注:不加積分常數(shù)c扣1分(3) 解: () ()(4) 解: () ()(5) 解: () ()四應(yīng)用題(8分)解:建立如圖所示的坐標(biāo)系, 球可以看成半圓 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到,球面面積 () () () 五討論反常積分、級(jí)數(shù)的斂散性(每小題4分,計(jì)12分)(1)解:為的瑕點(diǎn) () () 收斂 () (2)解: () 發(fā)散 () (3)解:由萊布尼茲判別法知:對(duì)上任意一點(diǎn),收斂 ()由于= ()故在上一致收斂。 ()六、(本題滿分8分)解:=1 R=1當(dāng)x=1時(shí),原級(jí)數(shù)為收斂,當(dāng)x=-1時(shí),原級(jí)數(shù)為發(fā)散,故收斂域?yàn)椋?1,1。 ()令,|<1由逐項(xiàng)可微性, = |<1 ()七、證明題(兩小題,計(jì)22分)1證明:對(duì)上任一確定的點(diǎn)x,只要 -=. () 因f在上有界,可設(shè)。 于是,當(dāng)時(shí),有 () 當(dāng)時(shí),則,由此得到 () 即證得在點(diǎn)x連續(xù),由x的任意性,f在上連續(xù)。 ()2證明:對(duì)每一個(gè)n,易見(jiàn)在上為增函數(shù),故在=又當(dāng)時(shí),有不等式,所以 而收斂,由M判別法推得在0,1上一致收斂。 ()由于每一個(gè)在0,1上連續(xù),據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性可知的和函數(shù)S(x)在0,1上連續(xù)。 ()又由=而收斂,由M-判別法,故在0,1上一致收斂 (),由逐項(xiàng)可微性,可知S(x)在0,1上可微。 ()