1 1一、填空題1已知地鐵列車每10 min一班(上一班車開走后10分鐘下一班車到)，在車站停 1 min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是_解析：試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為11 min，而構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為1 min，故P(A).答案：2設(shè)A為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連結(jié)，則弦長(zhǎng)超過半徑的概率為_解析：當(dāng)弦長(zhǎng)等于半徑時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心角為，設(shè)A弦長(zhǎng)超過半徑，則P(A).答案：3在區(qū)間1,5和2,4上分別取一個(gè)數(shù)，記為a，b，則方程1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為_解析：方程1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓，故即化簡(jiǎn)得又a1,5，b2,4，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，求得陰影部分的面積為，故所求的概率P.答案：4在集合Am|關(guān)于x的方程x2mxm10無(wú)實(shí)根中隨機(jī)地取一元素m，恰使式子lg m 有意義的概率為_解析：由m24(m1)0得1m4.即Am|1m4由 lg m有意義知 m0，即使lg m有意義的范圍是(0,4)，故所求概率為 P.答案：5ABCD為長(zhǎng)方形，AB2，BC1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為_解析：長(zhǎng)方形面積為2，以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，在矩形內(nèi)部的部分(半圓)面積為，因此取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為÷2，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為1.答案：16在區(qū)域M(x，y)|內(nèi)隨機(jī)撒一把黃豆，落在區(qū)域N(x，y)|內(nèi)的概率是_解析：畫出區(qū)域M、N，如圖，區(qū)域M為矩形OABC，區(qū)域N為圖中陰影部分S陰影×4×24，故所求概率P.答案：7如圖，有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤的序號(hào)是_解析：圖(1)的概率為，圖(2)的概率為，圖(3)、(4)的概率都是，故選擇(1)答案：(1)8在區(qū)間2,4上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.解析：由|x|m，得mxm.當(dāng)m2時(shí)，由題意得，解得m2.5，矛盾，舍去當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得，解得m3.即m的值為3.答案：39在矩形ABCD中，AB2，AD3，如果在該矩形內(nèi)隨機(jī)找一點(diǎn)P，那么使得ABP與CDP的面積都不小于1的概率為_解析：取AD的三等分點(diǎn)E、F，取BC的三等分點(diǎn)E、F，連結(jié)EE、FF，如右圖所示因?yàn)锳D3，所以可知BEEFFCAEEFFD1.又AB2，所以當(dāng)點(diǎn)P落在虛線段EE上時(shí)，ABP的面積等于1，當(dāng)點(diǎn)P落在虛線段FF上時(shí)，CDP的面積等于1，從而可知當(dāng)點(diǎn)P落在矩形EEFF內(nèi)(包括邊界)時(shí)ABP和CDP的面積均不小于1，故可知所求的概率為P.答案：二、解答題10已知棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球O.若在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率為多少？解析：球的直徑就是正方體的棱長(zhǎng)2.球O的體積V球，正方體的體積為V238.由于在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的位置是等可能的，在正方體內(nèi)每個(gè)位置上，由幾何概型公式，這點(diǎn)不在球O內(nèi)(事件A)的概率為P(A)1.所求概率為1.11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平面區(qū)域W中的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足，從區(qū)域W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x，y)(1)若xZ，yZ，求點(diǎn)M位于第一象限的概率；(2)若xR，yR，求|OM|2的概率解析：(1)若x，yZ，則點(diǎn)M的個(gè)數(shù)共有12個(gè)，列舉如下：(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)時(shí)，點(diǎn)M位于第一象限，故點(diǎn)M位于第一象限的概率為.(2)如圖：若x，yR，則區(qū)域W的面積是3×26.滿足|OM|2的點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?x，y)|1x2，0y2，x2y24，即圖中的陰影部分易知E(1，)，EOA60°，所以扇形BOE的面積是，EAO的面積是.所以|OM|2的概率為.12已知復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M.(1)設(shè)集合P4，3，2,0，Q0,1,2，從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為x，從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為y，求復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概率；(2)設(shè)x0,3，y0,4，求點(diǎn)M落在不等式組：所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率解析：(1)記“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”為事件A.組成復(fù)數(shù)z的所有情況共有12個(gè)：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，屬于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2個(gè)：i,2i，所求事件的概率為P(A).(2)依條件可知，點(diǎn)M均勻地分布在平面區(qū)域內(nèi)，屬于幾何概型該平面區(qū)域的圖形為下圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S3×412.而所求事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?，其圖形如圖中的三角形OAD(陰影部分)又直線x2y30與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A(3,0)、D(0，)，三角形OAD的面積為S1×3×.所求事件的概率為P.