1 1第八節(jié)曲線與方程考點(diǎn)一定義法求軌跡方程 例1(20xx·鄭州模擬)已知A(5,0)，B(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|，|,8成等差數(shù)列(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)對(duì)于x軸上的點(diǎn)M，若滿足|·|2，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的“比例點(diǎn)”問：對(duì)任意一個(gè)確定的點(diǎn)P，它總能對(duì)應(yīng)幾個(gè)“比例點(diǎn)”？自主解答(1)由已知得|8，點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且a4，b3，c5，點(diǎn)P的軌跡方程為1(x4)(2)設(shè)P(x0，y0)(x04)，M(m,0)1，y9；又(5x0，y0)，(5x0，y0)，則|· x16又 2|2(x0m)2(y0)2x2mx0m29，由|2得，m22mx070，(*)所以4x2836>0，方程(*)恒有兩個(gè)不等實(shí)根對(duì)任意一個(gè)確定的點(diǎn)P，它總能對(duì)應(yīng)2個(gè)“比例點(diǎn)”【互動(dòng)探究】若將本例中的條件“|，|,8”改為“|，|，8”，求點(diǎn)P的軌跡方程解：由已知得|8，點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a4，b3，點(diǎn)P的軌跡方程為1(x4)【方法規(guī)律】定義法求軌跡方程及其注意點(diǎn)(1)在利用圓錐曲線的定義法求軌跡方程時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；(2)利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制1已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是什么？解：由題意知|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的下支又c7，a1，可得b248，故點(diǎn)F的軌跡方程為y21(y1)2點(diǎn)P(3,0)是圓C：x2y26x550內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓M與已知圓相內(nèi)切且過點(diǎn)P，求圓心M的軌跡方程解：已知圓為(x3)2y264，其圓心C(3,0)，半徑為8，由于動(dòng)圓M過點(diǎn)P，所以|MP|等于動(dòng)圓的半徑r，即|MP|r.又圓M與已知圓C相內(nèi)切，所以圓心距等于半徑之差，即|MC|8r.從而有|MC|8|MP|，即|MC|MP|8.根據(jù)橢圓的定義，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C，P的距離之和為定值8>6|CP|，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，并且2a8，a4；2c6，c3；b21697，因此圓心M的軌跡方程為1.考點(diǎn)二代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程 例2(1)(20xx·遼寧高考改編) 如圖，橢圓C0：1(a>b>0，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓C1：x2y2t，b<t1<a.點(diǎn)A1，A2分別為C0的左、右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A，B，C，D四點(diǎn)，則直線AA1與直線A2B的交點(diǎn)M的軌跡方程為_ (2)設(shè)F(1,0)，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，且2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程自主解答(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，則直線A1A的方程為y(xa)，直線A2B的方程為y(xa)由得y2(x2a2)由點(diǎn)A(x1，y1)在橢圓C0上，故1.從而yb2，代入得1(x<a，y<0)(2)設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)·(1，y0)0，x0y0.由2，得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y24x.答案(1)1(x<a，y<0)【方法規(guī)律】代入法(相關(guān)點(diǎn)法)適用的軌跡類型及使用過程動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律地運(yùn)動(dòng)，而且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將x，y表示成關(guān)于x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，整理化簡即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程已知長為1的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P是AB上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的軌跡C的方程解：設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，由題意知，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因?yàn)閨AB|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化簡得y21.高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三 直接法求點(diǎn)的軌跡方程1直接法求點(diǎn)的軌跡方程是求軌跡方程的一種重要方法，也是高考考查的重要內(nèi)容2直接法求點(diǎn)的軌跡方程，在高考中有以下兩個(gè)命題角度：(1)明確給出等式，求軌跡方程；(2)給出已知條件，尋找題設(shè)中的等量關(guān)系，求軌跡方程例3已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)(0)(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)試根據(jù)的取值情況討論軌跡C的形狀自主解答(1)由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN·，整理得x21(0，x±1)即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x21(0，x±1)(2)當(dāng)>0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去頂點(diǎn))；當(dāng)1<<0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn))；當(dāng)1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓(除去點(diǎn)(1,0)，(1,0)；當(dāng)<1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個(gè)端點(diǎn))直接法求軌跡方程的常見類型及解題策略(1)題目給出等量關(guān)系，求軌跡方程可直接代入即可得出方程(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解：因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)知直線AP與BP的斜率存在且均不為零，則·，化簡得x23y24(x±1)故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x23y24(x±1)課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)主題坐標(biāo)法求軌跡方程通過坐標(biāo)法，由已知條件求軌跡方程，通過對(duì)方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質(zhì)是解析幾何需要完成的兩大任務(wù)，是解析幾何的核心問題，也是高考的熱點(diǎn)之一3種方法求軌跡方程的三種常用方法明確求軌跡方程的適用條件是求軌跡方程的關(guān)鍵(1)定義法：求軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量利用幾何條件探求軌跡的類型，應(yīng)用定義法，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度(2)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)，且相關(guān)點(diǎn)Q滿足一曲線方程時(shí)，就可用代入法求軌跡方程此時(shí)應(yīng)注意：代入法求軌跡方程是將x，y表示成關(guān)于x，y的式子，同時(shí)要注意x，y的限制條件(3)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身是一些幾何量(如距離與角等)的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，就可運(yùn)用直接法求軌跡方程在運(yùn)用直接法求軌跡方程時(shí)要注意：化簡方程的過程中有時(shí)破壞了方程的同解性，此時(shí)要補(bǔ)上遺漏點(diǎn)或刪除多余的點(diǎn)，這是不可忽視的.