第31練坐標系與參數(shù)方程選做大題保分練明晰考情1.命題角度： 高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應用.以極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識.2.題目難度：中檔難度.考點一曲線的極坐標方程方法技巧(1)進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)，要注意，的取值范圍及其影響，靈活運用代入法和平方法等技巧.(2)由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，可先轉化為直角坐標方程，然后求解.1.已知圓的極坐標方程為4cos ，圓心為C，點P的極坐標為，求CP的長.解由4cos ，得24cos ，即x2y24x，即(x2)2y24，圓心C(2，0)，又由點P的極坐標為，可得點P的直角坐標為(2，2)，|CP|2.2.在極坐標系中，曲線C1：(cos sin )1與曲線C2：a(a>0)的一個交點在極軸上，求a的值.解(cos sin )1，即cos sin 1對應的普通方程為xy10，a(a>0)對應的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2，得a.3.在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為(R)，設C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積.解(1)因為xcos ，ysin ，所以C1的極坐標方程為cos 2，C2的極坐標方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN為等腰直角三角形，所以C2MN的面積為.4.已知在平面直角坐標系xOy中，圓M的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以Ox軸為極軸， O為極點建立極坐標系，在該極坐標系下，圓N是以點為圓心，且過點的圓.(1)求圓M的普通方程及圓N的直角坐標方程；(2)求圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值.解(1)將方程消去參數(shù)，可得224，所以圓M的方程為224.點和點的直角坐標分別為，所以圓N的圓心為，半徑為r1，故圓N的直角坐標方程為221.(2)由(1)得圓M，N的圓心距為MN4，所以圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值為dminMN3431.考點二參數(shù)方程及其應用要點重組過定點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|t1t2|，P1P2的中點對應的參數(shù)為(t1t2).方法技巧(1)參數(shù)方程化為普通方程：由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù)，消參數(shù)時常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，且消參數(shù)時要注意參數(shù)的取值范圍對x，y的限制.(2)在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關曲線的普通方程中，根據參數(shù)的取值條件求解.5.(2018·全國)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1，2)，求l的斜率.解(1)曲線C的直角坐標方程為1.當cos 0時，l的直角坐標方程為ytan ·x2tan ，當cos 0時，l的直角坐標方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內，所以有兩個解，設為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.6.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標方程；(2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|·|PN|的值.解(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，得xy10.曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，利用平方關系，得x2(y2)24，則x2y24y0.令2x2y2，ysin ，代入得C的極坐標方程為4sin .(2)在直線xy10中，令y0，得點P(1，0).把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t23t10，t1t23，t1t21.由直線參數(shù)方程的幾何意義，得|PM|·|PN|t1t2|1.7.已知橢圓C：1，直線l：(t為參數(shù)).(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；(2)設A(1，0)，若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等，求點P的坐標.解(1)橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的普通方程為xy90.(2)設P(2cos ，sin )，則|AP|2cos ，點P到直線l的距離d.由|AP|d，得3sin 4cos 5，又sin2cos2 1，得sin ，cos .故P.考點三極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用方法技巧(1)解決極坐標與參數(shù)方程的綜合問題的關鍵是掌握極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化.涉及圓、圓錐曲線上的點的最值問題，往往通過參數(shù)方程引入三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的最值求解.(2)數(shù)形結合的應用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的.8.(2017·全國)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a1，求C與l的交點坐標；(2)若C上的點到l的距離的最大值為，求a.解(1)曲線C的普通方程為y21.當a1時，直線l的普通方程為x4y30.由解得或從而C與l的交點坐標是(3，0)，.(2)直線l的普通方程是x4y4a0，故C上的點(3cos ，sin )到l距離d.當a4時，d的最大值為 .由題設得，所以a8；當a<4時，d的最大值為.由題設得，所以a16.綜上，a8或a16.9.(2017·全國)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：(cos sin )0，M為l3與C的交點，求M的極徑.解(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y(x2).設P(x，y)，由題設得消去k，得x2y24(y0)，所以C的普通方程為x2y24(y0).(2)C的極坐標方程為2(cos2sin2)4(02，)，聯(lián)立得cos sin 2(cos sin ).故tan ，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4，得25，所以l3與C的交點M的極徑為.10.在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為6sin .(1)求圓C的直角坐標方程；(2)設圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標為(1，2)，求的最小值.解 (1)由6sin ，得26sin ，化為直角坐標方程為x2y26y，即x2(y3)29.(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得t22(cos sin )t70，由(2cos 2sin )24×7>0，故可設t1，t2是上述方程的兩根，所以又直線l過點，故結合t的幾何意義得2，所以的最小值為2.典例(10分)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l與橢圓C的極坐標方程分別為cos 2sin 0和2.(1)求直線l與橢圓C的直角坐標方程；(2)若Q是橢圓C上的動點，求點Q到直線l距離的最大值.審題路線圖規(guī)范解答·評分標準解(1)由cos 2sin 0，得cos 2sin 0，即x2y0，所以直線l的直角坐標方程為x2y0.由2，得2cos242sin24，即x24y24，所以y21.所以橢圓C的直角坐標方程為y21.4分(2)因為橢圓C：y21的參數(shù)方程為(為參數(shù))，6分可設Q(2cos ，sin )，因此點Q到直線l：x2y0的距離d，8分所以當k，kZ時，d取得最大值.故點Q到直線l的距離的最大值為.10分構建答題模板第一步互化：將極坐標方程與直角坐標方程互化；第二步引參：引進參數(shù)，建立橢圓的參數(shù)方程；第三步列式：利用距離公式求出距離表達式；第四步求最值：利用三角函數(shù)求出距離的最值.1.(2018·全國)在平面直角坐標系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點.(1)求的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.解(1)O的直角坐標方程為x2y21.當時，l與O交于兩點.當時，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點，即點O到l的距離小于半徑1，當且僅當1，解得k1或k1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點P的坐標(x，y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是.2.已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以直角坐標系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C的極坐標方程，并說明方程表示什么軌跡；(2)若直線l的極坐標方程為sin cos ，求直線l被曲線C截得的弦長.解(1)因為曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，所以曲線C的普通方程為(x3)2(y1)210，曲線C表示以C(3，1)為圓心，為半徑的圓.將代入并化簡，得6cos 2sin ，即曲線C的極坐標方程為6cos 2sin .(2)因為直線l的直角坐標方程為yx1，所以圓心C到直線yx1的距離d，所以直線被曲線C截得的弦長為2.3.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為4cos ，曲線M的直角坐標方程為x2y20(x>0).(1)以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的參數(shù)方程；(2)設曲線C與曲線M的兩個交點為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和.解(1)由得由x>0，得k>，故曲線M的參數(shù)方程為.(2)由4cos ，得24cos ，x2y24x.將代入x2y24x，整理得k24k30，k1k24.故直線OA與直線OB的斜率之和為4.4.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為4cos ，圓C的圓心到直線l的距離為.(1)求的值；(2)已知P(1，0)，若直線l與圓C交于A，B兩點，求的值.解(1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<)，消去參數(shù)t，得xsin ycos sin 0.圓C的極坐標方程為4cos ，即24cos ，可得圓C的普通方程為x2y24x0，即為(x2)2y24，可知圓心為(2，0)，半徑為2，圓C的圓心到直線l的距離為d3sin .由題意可得d，即3sin ，則sin ，0<，或.(2)已知P(1，0)，則點P在直線l上，直線l與圓C交于A，B兩點，將代入圓C的普通方程x2y24x0，得(1tcos )2(tsin )24(1tcos )0，t26tcos 50.設A，B對應的參數(shù)為t1，t2，則t1t26cos ，t1t25，t1t2>0，t1，t2同號，.