第27練導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值壓軸大題突破練明晰考情1.命題角度：討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍是高考的熱點(diǎn).2.題目難度：偏難題.考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性方法技巧(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法：在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)>0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)<0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，則可以得出函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0)，從而轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)解決(注意等號(hào)成立的檢驗(yàn)).(3)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f(x)0在(a，b)上有解.1.已知函數(shù)f(x)ln x，其中常數(shù)k>0，討論f(x)在(0，2)上的單調(diào)性.解因?yàn)閒(x)1(x>0，k>0).當(dāng)0<k<2時(shí)，>k>0，且>2，所以當(dāng)x(0，k)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x(k，2)時(shí)，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0，k)上是減函數(shù)，在(k，2)上是增函數(shù)；當(dāng)k2時(shí)，k2，f(x)<0在(0，2)上恒成立，所以f(x)在(0，2)上是減函數(shù)；當(dāng)k>2時(shí)，0<<2，k>，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).綜上可知，當(dāng)0<k<2時(shí)，f(x)在(0，k)上是減函數(shù)，在(k，2)上是增函數(shù)；當(dāng)k2時(shí)，f(x)在(0，2)上是減函數(shù)；當(dāng)k>2時(shí)，f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).2.已知函數(shù)f(x)aln(x1)axx2，討論f(x)在定義域上的單調(diào)性.解f(x)a2x，令f(x)0，得x0或x，又f(x)的定義域?yàn)?1，)，當(dāng)1，即當(dāng)a0時(shí)，若x(1，0)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增；若x(0，)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)10，即2a0時(shí)，若x，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減；若x，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增；若x(0，)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)0，即a2時(shí)，f(x)0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減.當(dāng)0，即a2時(shí)，若x(1，0)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減；若x，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增；若x，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(1，0)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)2a0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a2時(shí)，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a2時(shí)，f(x)在(1，0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.3.設(shè)函數(shù)f(x)(aR).(1)若f(x)在x0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)若f(x)在3，)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.解(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f(x)，因?yàn)閒(x)在x0處取得極值，所以f(0)0，即a0.當(dāng)a0時(shí)，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，從而f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y(x1)，化簡(jiǎn)得3xey0.(2)由(1)知，f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.當(dāng)xx1時(shí)，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1xx2時(shí)，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為增函數(shù)；當(dāng)xx2時(shí)，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù).由f(x)在3，)上為減函數(shù)知，x23，解得a，故a的取值范圍為.4.已知函數(shù)f(x)x22aln x(a2)x.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)g(x)f(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22ln x3x(x>0)，則f(x)x3.當(dāng)0<x<1或x>2時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，2).(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g(x)f(x)ax在(0，)上是增函數(shù)，則g(x)f(x)ax20恒成立，即0在(0，)上恒成立，x22x2a0在(0，)上恒成立，a(x22x)(x1)2恒成立.又(x)(x1)2，x(0，)的最小值為.當(dāng)a時(shí)，g(x)0恒成立.又當(dāng)a時(shí)，g(x)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.故當(dāng)a時(shí)，g(x)f(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值要點(diǎn)重組(1)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點(diǎn).(2)極值點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù)x0，當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)取得極值，在x0處，f(x0)0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件.(3)一般地，在閉區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)yf(x)在a，b上必有最大值與最小值.函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)處取得.5.已知函數(shù)f(x)ax2(12a)xln x.(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)在上的最小值.解(1)由函數(shù)f(x)ax2(12a)xln x，可得f(x)2ax(12a)，a>0，x>0，>0，令f(x)>0，即x1>0，得x>1，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，).(2)由(1)可得f(x)，a<0，令f(x)0，得x1，x21，當(dāng)>1，即<a<0時(shí)，f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，f(x)在上的最小值為f(1)1a；當(dāng)1，即1a時(shí)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，因此f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，f(x)的最小值為f1ln(2a)；當(dāng)<，即a<1時(shí)，f(x)在上是增函數(shù)，f(x)的最小值為faln 2.綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值為f(x)min6.討論函數(shù)f(x)ln(x1)a(x2x)(aR)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).解由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，)，f(x)a(2x1).令g(x)2ax2axa1，x(1，).當(dāng)a0時(shí)，g(x)1，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，令2ax2axa10，則a28a(1a)a(9a8).當(dāng)0a時(shí)，0，g(x)0.故f(x)0，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，0.設(shè)方程2ax2axa10的兩根分別為x1，x2(x1x2)，因?yàn)閤1x2，所以x1，x2，由g(1)10，可得1x1.所以當(dāng)x(1，x1)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x1，x2)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(x2，)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，0，由g(1)10，可得x11.當(dāng)x(1，x2)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x2，)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0a時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).7.已知函數(shù)f(x)ln x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對(duì)任意x>0，均有x(2ln aln x)a恒成立，求正數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)，x(0，).當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，無(wú)極值；當(dāng)a>0，x(0，a)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0，a)上為減函數(shù)；x(a，)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(a，)上為增函數(shù)，所以f(x)在(0，)上有極小值，無(wú)極大值，f(x)的極小值為f(a)ln a1.(2)若對(duì)任意x>0，均有x(2ln aln x)a恒成立，即對(duì)任意x>0，均有2ln aln x恒成立，由(1)可知f(x)的最小值為ln a1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2ln aln a1，即ln a1，故0<ae，故正數(shù)a的取值范圍是(0，e.典例(12分)設(shè)函數(shù)f(x)a2x2ln x(aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)如果函數(shù)f(x)的圖象不在x軸的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答·評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)f(x)a2x(x0).1分當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減.當(dāng)a0時(shí)，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x.3分所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)<0，得0x<.5分所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.6分(2)f(x)的圖象不在x軸的下方，即當(dāng)x0時(shí)，f(x)0恒成立，所以a2x2ln x0，即a2.7分令h(x)(x0)，則h(x)，9分由h(x)0，得0x；由h(x)0，得x.故h(x)在(0，上單調(diào)遞增，在，)上單調(diào)遞減.當(dāng)x時(shí)，h(x)取得最大值.所以a2，解得a或a.11分故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.12分構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f(x).第二步轉(zhuǎn)化：“判斷函數(shù)單調(diào)性、求極值(最值)”常轉(zhuǎn)化為“判斷f(x)的符號(hào)”，“切線方程、切線的斜率(或傾斜角)、切點(diǎn)坐標(biāo)”，常轉(zhuǎn)化為“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，“恒成立問(wèn)題”常轉(zhuǎn)化為“求最值”等.第三步求解：根據(jù)題意求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等問(wèn)題.第四步反思：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間不能用“”連接；范圍問(wèn)題的端點(diǎn)能否取到.1.(2016·北京)設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解(1)f(x)的定義域?yàn)镽.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依題意可知，即解得a2，be.(2)由(1)知，f(x)xe2xex，由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號(hào).令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.所以，當(dāng)x(，1)時(shí)，g(x)0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增.故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)，綜上可知，f(x)0，x(，).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，).2.已知函數(shù)f(x)ln xa2x2ax(aR).若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解函數(shù)f(x)ln xa2x2ax的定義域?yàn)?0，)，f(x)2a2xa.方法一當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0(x0)，即(2ax1)(ax1)0(x0)，即x，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依題意，得解得a1；當(dāng)a0時(shí)，f(x)0(x0)，即(2ax1)(ax1)0(x0)，即x.此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依題意，得解得a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，).方法二當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，只需f(x)0在區(qū)間1，)上恒成立.因?yàn)閤0，所以只要2a2x2ax10在區(qū)間1，)上恒成立.所以解得a1或a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，).3.已知函數(shù)f(x)x3ax2，其中參數(shù)aR.(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(3，f(3)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)(xa)cos xsin x，討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值.解(1)由題意得f(x)x2ax，所以當(dāng)a2時(shí)，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲線yf(x)在點(diǎn)(3，f(3)處的切線方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因?yàn)間(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x).令h(x)xsin x，則h(x)1cos x0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)閔(0)0，所以當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0.當(dāng)a<0時(shí)，g(x)(xa)(xsin x)，當(dāng)x(，a)時(shí)，xa<0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(a，0)時(shí)，xa>0，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(0，)時(shí)，xa>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)xa時(shí)，g(x)取到極大值，極大值是g(a)a3sin a；當(dāng)x0時(shí)，g(x)取到極小值，極小值是g(0)a.當(dāng)a0時(shí)，g(x)x(xsin x)，當(dāng)x(，)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)在(，)上單調(diào)遞增，g(x)無(wú)極大值也無(wú)極小值.當(dāng)a>0時(shí)，g(x)(xa)(xsin x)，當(dāng)x(，0)時(shí)，xa<0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(0，a)時(shí)，xa<0，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(a，)時(shí)，xa>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)取到極大值，極大值是g(0)a；當(dāng)xa時(shí)，g(x)取到極小值，極小值是g(a)a3sin a.綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)g(x)在(，a)和(0，)上單調(diào)遞增，在(a，0)上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是g(a)a3sin a，極小值是g(0)a；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(x)在(，)上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)g(x)在(，0)和(a，)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是g(0)a，極小值是g(a)a3sin a.4.已知函數(shù)f(x)axln xx2.(1)若a1，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若a1，x1(1，2)，x2(1，2)，使得f(x1)xmx2mx(m0)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)依題意知，當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln xx2，f(x)12x，因?yàn)閤(0，)，故當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，故當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值，極小值為f(1)0，無(wú)極大值.(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln xx2.因?yàn)閤1(1，2)，x2(1，2)，使得f(x1)xmx2mx(m0)，故ln x1x1mxmx2.設(shè)h(x)ln xx，g(x)mx3mx，當(dāng)x(1，2)時(shí)，h(x)10，即函數(shù)h(x)在(1，2)上單調(diào)遞減，故h(x)的值域?yàn)锳(ln 22，1).又g(x)mx2mm(x1)(x1).當(dāng)m0時(shí)，g(x)在(1，2)上單調(diào)遞減，此時(shí)g(x)的值域?yàn)锽，因?yàn)锳B，又01，故ln 22，即mln 23；當(dāng)m0時(shí)，g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，此時(shí)g(x)的值域?yàn)锽，因?yàn)锳B，又01，故ln 22，故m(ln 22)3ln 2.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.