專題14 二項(xiàng)式定理及數(shù)學(xué)歸納法【2018年高考考綱解讀】高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：(1) 二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，B級(jí)要求；(2)數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，B級(jí)要求【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn，上式中右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開式，其中C(r1,2,3，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中第r1項(xiàng)叫做展開式的通項(xiàng)，用Tr1表示，即Tr1Canrbr；(2)(ab)n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)C(r1,2,3，n)的性質(zhì)：與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC；CCCC2n；CCCC2n1.2二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(1)求二項(xiàng)式定理中有關(guān)系數(shù)的和通常用“賦值法”(2)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式Tr1Canrbr是展開式的第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)3數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可4數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用(1)利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是將式子轉(zhuǎn)化為與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明三角恒等式時(shí)，常運(yùn)用有關(guān)的三角知識(shí)、三角公式，要掌握三角變換方法(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，在由nk成立，推導(dǎo)nk1成立時(shí)，過去講的證明不等式的方法在此都可利用(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時(shí)，可把nk1時(shí)的被除式變形為一部分能利用歸納假設(shè)的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解題時(shí)經(jīng)常用到“歸納猜想證明”的思維模式【題型示例】題型一二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例1】【2017課標(biāo)1，理6】展開式中的系數(shù)為A15B20C30D35【答案】C【變式探究】【2016年高考北京理數(shù)】在的展開式中，的系數(shù)為_.（用數(shù)字作答）【答案】60.【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式可知，的系數(shù)為。【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國(guó)，10)(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A10 B20C30 D60解析Tk1C(x2x)5kyk，k2.C(x2x)3y2的第r1項(xiàng)為CCx2(3r)xry2，2(3r)r5，解得r1，x5y2的系數(shù)為CC30.答案C【變式探究】(1)(2014·遼寧五校聯(lián)考)若n展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是()A360 B180C90 D45(2)(2014·浙江)在(1x)6(1y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A45 B60C120 D210【命題意圖】(1)本題主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、系數(shù)問題，對(duì)思維能力有一定要求(2)本題主要考查二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題，需要考生結(jié)合二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解【答案】(1)B(2)C【感悟提升】二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，對(duì)待恒等式通常有兩種思路：一是利用恒等定理(兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等)；二是賦值，這兩種思路相結(jié)合可以使得二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題迎刃而解另外，通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式的指數(shù)，求滿足條件的項(xiàng)或系數(shù)，求展開式的某一項(xiàng)或系數(shù)，在運(yùn)用公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：(1)Canrbr是第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；(2)運(yùn)用通項(xiàng)公式Tr1Canrbr解題，一般都需先轉(zhuǎn)化為方程(組)求出n，r，然后代入通項(xiàng)公式求解；(3)求展開式的特殊項(xiàng)，通常都是由題意列方程求出r，再求出所需的某項(xiàng)；有時(shí)需先求n，計(jì)算時(shí)要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系【舉一反三】1.(2015·北京，9)在(2x)5的展開式中，x3的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)解析展開式通項(xiàng)為：Tr1C25rxr，當(dāng)r3時(shí)，系數(shù)為C·25340.答案402.(2015·天津，12)在的展開式中，x2的系數(shù)為_解析的展開式的通項(xiàng)Tr1Cx6rCx62r；當(dāng)62r2時(shí)，r2，所以x2的系數(shù)為C.答案【變式探究】已知an(1)n(nN*)(1)若anab(a，bZ)，求證：a是奇數(shù)；(2)求證：對(duì)于任意nN*都存在正整數(shù)k，使得an.【證明】(1)由二項(xiàng)式定理，得anCCC()2C()3C()n，所以aCC()2C()412C22C，因?yàn)?C22C為偶數(shù)，所以a是奇數(shù)(2)由(1)設(shè)an(1)nab(a，bZ)，則(1)nab，所以a22b2(ab)(ab)(1)n(1)n(12)n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a22b21，存在ka2，使得anab，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a22b21，存在k2b2，使得anab，綜上，對(duì)于任意nN*，都存在正整數(shù)k，使得an.【規(guī)律方法】二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)與展開式系數(shù)的最大項(xiàng)不同，本題的第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，而展開式系數(shù)卻是2rC，解題時(shí)要分清【變式探究】已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1，p(x)a1C(1x)na2Cx(1x)n1a3Cx2(1x)n2anCxn1(1x)an1Cxn(1)若數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，求p(1)的值；(2)若數(shù)列an是公比為2的等差數(shù)列，求證：p(x)是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式 (2)證明若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，則an2n1.p(x)a1C(1x)na2Cx(1x)n1anCxn1·(1x)an1CxnC(1x)n(12)Cx(1x)n1(14)Cx2(1x)n2(12n)CxnC(1x)nC1nx(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn2Cx(1x)n12Cx2(1x)n2Cxn由二項(xiàng)式定理知，C(1x)nCx(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn(1x)xn1.因?yàn)閗Ck·n·nC，所以Cx(1x)n12Cx2(1x)n2nCxnnCx(1x)n1nCx2(1x)n2nCxnnxC(1x)n1Cx(1x)n2Cxn1nx(1x)xn1nx，所以p(x)12nx.即p(x)是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式題型二 二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)例2【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項(xiàng)為（A）15x4 （B）15x4 （C）20i x4 （D）20i x4【答案】A【解析】二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，令，得，則展開式中含的項(xiàng)為，故選A.【變式探究】(2015·湖南，6)已知的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a()A. B C6 D6【變式探究】使得(nN)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A4 B5 C6 D7解析展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C(3x)nkkC3nkxn.由n0得n，所以當(dāng)k2時(shí)，n有最小值5，選B.答案B【舉一反三】設(shè)函數(shù)f(x)則當(dāng)x>0時(shí)，ff(x)表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A20 B20 C15 D15解析當(dāng)x>0時(shí)，ff(x)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為C3()320.所以選A.答案A題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例3【2017山東，理11】已知的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，則 .【答案】4【解析】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，令得：，解得【變式探究】【2016高考山東理數(shù)】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a=_.【答案】2【解析】因?yàn)?，所以由，因此【變式探究?2015·陜西，4)二項(xiàng)式(x1)n(nN)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n()A4 B5C6 D7解析由題意易得：C15，CC15，即15，解得n6.答案C【變式探究】(2014·湖北，2)若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a()A2 B. C1 D.解析Tr1C·(2x)7r·27rCar·.令2r73，則r5.由22·Ca584得a1，故選C.答案C【舉一反三【(2014·浙江，5)在(1x)6(1y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)f(m，n)，則f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()A45 B60 C120 D210解析在(1x)6的展開式中，xm的系數(shù)為C，在(1y)4的展開式中，yn的系數(shù)為C，故f(m，n)C·C.從而f(3，0)C20，f(2，1)C·C60，f(1，2)C·C36，f(0，3)C4，故選C.答案C題型四數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例4、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN+，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn2(log2an1)(nN+)，證明：對(duì)任意的nN+，不等式···成立 (2)證明：由(1)知an2n1，因此bn2n(nN+)，所證不等式為···.當(dāng)n1時(shí)，左式，右式，左式右式，所以結(jié)論成立假設(shè)nk(k1，kN+)時(shí)結(jié)論成立，即···，則當(dāng)nk1時(shí)，·····，要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立，只需證.即證，由基本不等式知成立，故成立，所以，當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由可知，nN+時(shí)，不等式···成立【感悟提升】 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明 【變式探究】記的展開式中，x的系數(shù)為an，x2的系數(shù)為bn，其中nN*.(1)求an；(2)是否存在常數(shù)p，q(pq)，使bn，對(duì)nN*，n2恒成立？證明你的結(jié)論【解析】(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得an1.(2)計(jì)算得b2，b3.代入bn，解得p2，q1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明bn×(n2且nN*)當(dāng)n2時(shí)，b2，結(jié)論成立設(shè)nk時(shí)成立，即bk×，則當(dāng)nk1時(shí)，bk1bk××.由可得結(jié)論成立【規(guī)律方法】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題P(n)，由P(k)成立推證P(k1)成立，一定要用到條件P(k)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法證題【變式探究】已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)(1)求證：cos A是有理數(shù)；(2)求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)【解析】(1)證明設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，cos A，a，b，c是有理數(shù)，b2c2a2是有理數(shù)，分母2bc為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法具有封閉性，必為有理數(shù)，cos A是有理數(shù)解得：cos(k1)A2cos kAcos Acos(k1)Acos A，cos kA，cos(k1)A均是有理數(shù)，2cos kAcos Acos(k1)A是有理數(shù)，cos(k1)A是有理數(shù)即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù).9