第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用的部分稱為微分學(xué)，研究不定積分、定積分及其應(yīng)用的部分稱為積分學(xué). 微分學(xué)與積分學(xué)統(tǒng)稱為微積分學(xué). 微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)，是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了”. 微積分的發(fā)展歷史曲折跌宕，撼人心靈，是培養(yǎng)人們正確世界觀、科學(xué)方法論和對人們進行文化熏陶的極好素材（本部分內(nèi)容詳見光盤）. 積分的雛形可追溯到古希臘和我國魏晉時期，但微分概念直至16世紀才應(yīng)運萌生. 本章及下一章將介紹一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用的內(nèi)容.第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念 從15世紀初文藝復(fù)興時期起，歐洲的工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易得到大規(guī)模的發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟時代. 而十六世紀的歐洲，正處在資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展. 生產(chǎn)實踐的發(fā)展對自然科學(xué)提出了新的課題，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的，因而也推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展. 在各類學(xué)科對數(shù)學(xué)提出的種種要求中，下列三類問題導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生： (1) 求變速運動的瞬時速度；(2) 求曲線上一點處的切線；(3) 求最大值和最小值.這三類實際問題的現(xiàn)實原型在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度，即所謂函數(shù)的變化率問題. 牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茨從第二個問題出發(fā)，分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念. 分布圖示 引言 變速直線運動的瞬時速度 平面曲線的切線 導(dǎo)數(shù)的定義 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾點說明 利用定義求導(dǎo)數(shù)與求極限（例1-2） 例3 例4 例5 例6 例7 左右導(dǎo)數(shù) 例8 例9 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例10 例11 導(dǎo)數(shù)的物理意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 例12 例13 例14 例15 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 2 - 1 返回內(nèi)容要點 一、引例： 引例1: 變速直線運動的瞬時速度； 引例2: 平面曲線的切線 二、導(dǎo)數(shù)的定義： 注：導(dǎo)數(shù)概念是函數(shù)變化率這一概念的精確描述，它撇開了自變量和因變量所代表的幾何或物理等方面的特殊意義，純粹從數(shù)量方面來刻畫函數(shù)變化率的本質(zhì): 函數(shù)增量與自變量增量的比值是函數(shù)在以和為端點的區(qū)間上的平均變化率，而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)在點處的變化率，它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，一般包含以下三個步驟： 1 求函數(shù)的增量： 2 求兩增量的比值： ;3 求極限 三、左右導(dǎo)數(shù)定理1 函數(shù)在點處可導(dǎo)的充要條件是：函數(shù)在點處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在且相等. 四、用定義計算導(dǎo)數(shù) 五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義六、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2 如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，則它在處連續(xù). 注：上述兩個例子說明，函數(shù)在某點處連續(xù)是函數(shù)在該點處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件. 由定理2還知道，若函數(shù)在某點處不連續(xù)，則它在該點處一定不可導(dǎo). 在微積分理論尚不完善的時候，人們普遍認為連續(xù)函數(shù)除個別點外都是可導(dǎo)的. 1872年得多數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉構(gòu)造出一個處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的例子，這與人們基于直觀的普遍認識大相徑庭，從而震驚了數(shù)學(xué)界和思想界. 這就促使人們在微積分研究中從依賴于直觀轉(zhuǎn)向理性思維，大大促進了微積分邏輯基礎(chǔ)的創(chuàng)建工作.例題選講導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用例1 (E01) 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).解 當(dāng)由1變到時，函數(shù)相應(yīng)的增量為所以 例2 (E02) 試按導(dǎo)數(shù)定義求下列各極限(假設(shè)各極限均存在)：(1) ; (2) 其中解 (1) (2) 因為于是 注：靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義的三種形式求函數(shù)極限.左右導(dǎo)數(shù) 用定義計算導(dǎo)數(shù)例3 (E04) 求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解 即例4 (E05) 設(shè)函數(shù) 求及.解 即例5(E06) 求函數(shù)(n為正整數(shù))的導(dǎo)數(shù).解 即更一般地例如, 例6 (E07) 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 即 例7 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 即 例8(E03) 求函數(shù) 在處的導(dǎo)數(shù).解 當(dāng)時, 故當(dāng)時, 故由 得 例9設(shè)為偶函數(shù)，且存在.證明證 因為偶函數(shù)，故有因為已知存在，即有所以例10 求等邊雙曲線在點處的切線的斜率, 并寫出在該點處的切線方程和法線方程.解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線斜率為所求切線方程為 即法線方程為 即例11 (E08) 求曲線在點處的切線方程.解 因為 故所求切線方程為 即例12 (E09) 討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.（圖示見系統(tǒng)）解 如圖，易證函數(shù)在點處是連續(xù)的.下面主要來討論在點處的可導(dǎo)性.因為故即所以函數(shù)在點不可導(dǎo).證畢.注：一般地，若曲線的圖形在點處出現(xiàn)尖點，則它在該點不可導(dǎo).因此，如果函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則其圖形不出現(xiàn)尖點，或者說是一條連續(xù)的光滑曲線.例13(E10) 討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解 是有界函數(shù), （幾何演示見系統(tǒng)）在處的連續(xù).但在處有當(dāng)時, 在和之間振蕩而極限不存在,在處不可導(dǎo).例14設(shè)函數(shù)問取何值時, 為可導(dǎo)函數(shù).解 只須討論在處為可導(dǎo)時的取值情況. 在處，因為要使在 處可導(dǎo)，必須所以當(dāng)時為可導(dǎo)函數(shù).例15設(shè)函數(shù)欲使在處連續(xù), 為何值;欲使在處可導(dǎo), 為何值.解 若在處連續(xù)，則有即于是為任何實數(shù), 在連續(xù); 若在處可，則有由 于是此時在可導(dǎo).課堂練習(xí)1. 函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系?2. 設(shè)在處連續(xù)，求3. 求曲線上與x軸平行的切線方程.萊布尼茨 （Friedrich , Leibniz，15971652）-博學(xué)多才的數(shù)學(xué)符號大師出生于書香門第的萊布尼茲是德國一們博學(xué)多才的學(xué)者。他的學(xué)識涉及哲學(xué)、歷史、語言、數(shù)學(xué)、生物、地質(zhì)、物理、機械、神學(xué)、法學(xué)、外交等領(lǐng)域。并在每個領(lǐng)域中都有杰出的成就。然而，由于他獨立創(chuàng)建了微積分，并精心設(shè)計了非常巧妙而簡潔的微積分符號，從而使他以偉大數(shù)學(xué)家的稱號聞名于世。萊布尼茲對微積分的研究始于31歲，那時他在巴黎任外交官，有幸結(jié)識數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯等人。在名師指導(dǎo)下系統(tǒng)研究了數(shù)學(xué)著作，1673年他在倫敦結(jié)識了巴羅和牛頓等名流。從此，他以非凡的理解力和創(chuàng)造力進入了數(shù)學(xué)前沿陣地。萊布尼茲在從事數(shù)學(xué)研究的過程中，深受他的哲學(xué)思想的支配。他的著名哲學(xué)觀點是單子論，認為單子是“自然的真正原子事物的元素”，是客觀的、能動的、不可分割的精神實體。牛頓從運動學(xué)角度出發(fā)，以“瞬”（無窮小的“0”）的觀點創(chuàng)建了微積分。他說dx和x相比，如同點和地球，或地球半徑與宇宙半徑相比。在其積分法論文中，他從求曲線所圍面積積分概念，把積分看作是無窮小的和，并引入積分符號，它是把拉丁文“Summa”的字頭S拉長。他的這個符號，以及微積分的要領(lǐng)和法則一直保留到當(dāng)今的教材中。萊布尼茲也發(fā)現(xiàn)了微分和積分是一對互逆的運算，并建立了溝通微分與積分內(nèi)在聯(lián)系的微積分基本定理，從而使原本各自獨立的微分學(xué)和積分學(xué)成為統(tǒng)一的微積分學(xué)的整體。萊布尼茲是數(shù)字史上最偉大的符號學(xué)者之一，堪稱符號大師。他曾說：“要發(fā)明，就要挑選恰當(dāng)?shù)姆?，要做到這一點，就要用含義簡明的少量符號來表達和比較忠實地描繪事物的內(nèi)在本質(zhì)，從而最大限度地減少人的思維勞動，”正象印度阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)促進算術(shù)和代數(shù)發(fā)展一樣，萊布尼茲所創(chuàng)造的這些數(shù)學(xué)符號對微積分的發(fā)展起了很大的促進作用。歐洲大陸的數(shù)學(xué)得以迅速發(fā)展，萊布尼茲的巧妙符號功不可滅。除積分、微分符號外，他創(chuàng)設(shè)的符號還有商“a/b”，比“a:b”，相似“”，全等“”，并“”，交“”以及函數(shù)和行列式等符號。牛頓和萊布尼茨對微積分都作出了巨大貢獻，但兩人的方法和途徑是不同的。牛頓是在力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，運用幾何方法研究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和面積的問題上，運用分析學(xué)方法引進微積分要領(lǐng)的。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學(xué)，造詣精深；但萊布尼茲的表達形式簡潔準(zhǔn)確，勝過牛頓。在對微積分具體內(nèi)容的研究上，牛頓先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茲則先有求積概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。除此之外，牛頓與萊布尼茲的學(xué)風(fēng)也迥然不同。作為科學(xué)家的牛頓，治學(xué)嚴謹。他遲遲不發(fā)表微積分著作流數(shù)術(shù)的原因，很可能是因為他沒有找到合理的邏輯基礎(chǔ)，也可能是“害怕別人反對的心理”所致。但作為哲學(xué)家的萊布尼茲比較大膽，富于想象，勇于推廣，結(jié)果造成創(chuàng)作年代上牛頓先于萊布尼茲10年，而在發(fā)表的時間上，萊布尼茲卻早于牛頓三年。雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法各異，但殊途同歸。各自獨立地完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，光榮應(yīng)由他們兩人共享。然而在歷史上曾出現(xiàn)過一場圍繞發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)的激烈爭論。牛頓的支持者，包括數(shù)學(xué)家泰勒和麥克勞林，認為萊布尼茲剽竊了牛頓的成果。爭論把歐洲科學(xué)家分成誓不兩立的兩派：英國和歐洲大陸。爭論雙方停止學(xué)術(shù)交流，不僅影響了數(shù)學(xué)的正常發(fā)展，也波及自然科學(xué)領(lǐng)域，以致發(fā)展到英德兩國之間的政治摩擦。自尊心很強的英國民族抱住牛頓的概念和記號不放，拒絕使用更為合理的萊布尼茲的微積分符號和技巧，致使英國在數(shù)學(xué)發(fā)展上大大落后于歐洲大陸。一場曠日持久的爭論變成了科學(xué)史上的前車之鑒。萊布尼茲的科研成果大部分出自青年時代，隨著這些成果的廣泛傳播，榮譽紛紛而來，他也越來越變得保守。到了晚年，他在科學(xué)方面已無所作為。他開始為宮廷唱贊歌，為上帝唱贊歌，沉醉于研究神學(xué)和公爵家族。萊布尼茲生命中的最后7年，是在別人帶給他和牛頓關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭論中痛苦地度過的。他和牛頓一樣，都在終生未娶。1761年11月14日，萊布尼茲默默地離開人世，葬在宮廷教堂的墓地。戎馬不解鞍，鎧甲不離傍。冉冉老將至，何時返故鄉(xiāng)？神龍藏深泉，猛獸步高岡。狐死歸首丘，故鄉(xiāng)安可忘！牛頓（Newton , lsaac，16431727）自然和自然規(guī)律隱藏在黑夜里,上帝說“降生牛頓”.于是世界就充滿光明.Newtan墓志銘數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進展 , 幾乎總是建立在作出一點一點滴貢獻的許多人的工作之上.需要一個人來走那最高和最后的一步,這個人要能夠敏銳地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值的想法,有足夠的想象力把這些碎片重新組織起來,并且足夠大膽地制定一個宏偉的計劃.在微積分中,這個人就是牛頓.牛頓(1642-1727)生于英格蘭烏爾斯托帕的一個小村莊里,父親是在他出生前兩個月去世的,母親管理著丈夫留下的農(nóng)莊,母親改嫁后,是由外祖母把他撫養(yǎng)大.并供他上學(xué).他從小在低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育,除對機械設(shè)計有興趣外,是個沒有什么特殊的青年人,1661年他進入劍橋大學(xué)的三一學(xué)院學(xué)習(xí),大學(xué)期間除了巴羅(Barrow)外,他從他的老師那里只得到了很少的一點鼓舞,他自己做實驗并且研究當(dāng)時一些數(shù)學(xué)家的著作,如Descartes的幾何，Galileo,Kepler等的著作。大學(xué)課和剛結(jié)束，學(xué)校因為倫敦地區(qū)鼠疫流行而關(guān)閉。他回到家鄉(xiāng)，渡過了1665年和1666年，并在那里開始了他在機械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上偉大的工作，這時他意識到了引力的平方反比定律（曾早已有人提出過），這是打開那無所不包的力學(xué)科學(xué)的鑰匙。他獲得了解決微積分問題的一般方法，并且通過光學(xué)實驗，作出了劃時代的發(fā)現(xiàn)，即象太陽光那樣的白光，實際上是從紫到紅的各種顏色混合而成的?！八羞@些”牛頓后來說：“是在1665和1666兩個鼠疫年中做的，因為在這此日子里，我正處在發(fā)現(xiàn)力最旺盛的時期，而且對于數(shù)學(xué)和（自然）哲學(xué)的關(guān)心，比其他任何時候都多”。關(guān)于這些發(fā)現(xiàn)，牛頓什么也沒有說過，1667年他回到劍橋獲得碩士學(xué)位，并被選為三一學(xué)院的研究員。1669年他的老師巴羅主動宣布牛頓的學(xué)識已超過自己，把“路卡斯（Lucas）教授”的職位讓給了年僅26歲的牛頓，這件事成了科學(xué)史上的一段佳話。牛頓并不是一個成功的教員，他提出的獨創(chuàng)性的材料也沒有受到同事們的注意。起初牛頓并沒有公布他的發(fā)現(xiàn)，人們說他有一種變態(tài)的害怕批評的心理。在1672年和1675年發(fā)表光學(xué)方面的兩篇論文遭到暴風(fēng)般的批評后，他決心死后才公開它的成果，雖然，后來不是發(fā)表了自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理、光學(xué)和普遍的算術(shù)等有限的一些成果。牛頓是他那時代的世界著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。牛頓工作的最大特點是辛勤勞動和獨立思考。他有時不分晝夜地工作，常常好幾個星期一直在實驗室里渡過。他總是不滿中自己的成就，是個非常謙虛的人。他說：“我不知道，在別人看來，我是什么樣的人。但在自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)”。牛頓對于科學(xué)的興趣要比對于數(shù)學(xué)的興趣大的多。在當(dāng)了35處的教授后，他決定放棄研究，并于1695年擔(dān)任了倫敦的不列顛造幣廠的監(jiān)察。1703年成為皇家學(xué)會會長，一直到逝世，1705年被授予爵士稱號。關(guān)于微積分，牛頓總結(jié)了已經(jīng)由許多人發(fā)展了的思想，建立起系統(tǒng)和成熟的方法，其最重要的工作是建立了微積分基本定理，指出微分與積分互為逆運算。從而溝通了前述幾個主要科學(xué)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，至此，才算真正建立了微積分這門學(xué)科。因此，恩格斯在論述微積分產(chǎn)生過程時說，微積分“是由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的”。在他寫于1671年但直到1736年他死后才出版的書流數(shù)法和無窮級數(shù)中清楚地陳述了微積分的基本問題。