專項限時集訓(七)函數(shù)零點、單調性、極值等綜合問題(對應學生用書第125頁)(限時：60分鐘)1(本小題滿分14分)已知函數(shù)f (x)ax2bxln x，a，bR.(1)當b2a1時，討論函數(shù)f (x)的單調性；(2)當a1，b3時，記函數(shù)f (x)的導函數(shù)f (x)的兩個零點分別是x1和x2(x1x2)，求證：f (x1)f (x2)ln 2. 【導學號：56394110】解(1)因為b2a1，所以f (x)ax2(2a1)xln x，從而f (x)2ax(2a1)，x0.2分當a0時，由f (x)0得0x1，由f (x)0得x1，所以f (x)在區(qū)間(0,1)上單調遞增，在區(qū)間(1，)上單調遞減當0a時，由f (x)0得0x1或x，由f (x)0得1x，所以f (x)在區(qū)間(0,1)和區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減當a時，因為f (x)0(當且僅當x1時取等號)，所以f (x)在區(qū)間(0，)上單調遞增當a時，由f (x)0得0x或x1，由f (x)0得x1，所以f (x)在區(qū)間和區(qū)間(1，)上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減綜上，當a0時，f (x)在區(qū)間(0,1)上單調遞增，在區(qū)間(1，)上單調遞減；當0a時，f (x)在區(qū)間(0,1)和區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；當a時，f (x)在區(qū)間(0，)上單調遞增，無單調遞減區(qū)間；當a時，f (x)在區(qū)間和區(qū)間(1，)上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.8分(2)法一：因為a1，所以f (x)x2bxln x(x0)，從而f (x)，由題意知x1，x2是方程2x2bx10的兩個根，故x1x2.記g(x)2x2bx1，因為b3，所以g0，g(1)3b0，所以x1，x2(1，)，且bx12x1，bx22x1，f (x1)f (x2)(xx)(bx1bx2)ln(xx)ln，因為x1x2，所以f (x1)f (x2)xln(2x)，x2(1，)令t2x(2，)，(t)f (x1)f (x2)ln t.因為當t2時，(t)0，所以(t)在區(qū)間(2，)上單調遞增，所以(t)(2)ln 2，即f (x1)f (x2)ln 2.14分法二：因為a1，所以f (x)x2bxln x(x0)，從而f (x)，由題意知x1，x2是方程2x2bx10的兩個根，故x1x2.記g(x)2x2bx1，因為b3，所以g0，g(1)3b0，所以x1，x2(1，)，且f (x)在(x1，x2)上是減函數(shù)，所以f (x1)f (x2)f f (1)(1b)ln 2，因為b3，所以f (x1)f (x2)ln 2ln 2.14分2(本小題滿分14分)(南通、泰州市2017屆高三第一次調研測試)已知函數(shù)f (x)ax2xln x，aR.(1)當a時，求函數(shù)f (x)的最小值；(2)若1a0，證明：函數(shù)f (x)有且只有一個零點；(3)若函數(shù)f (x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當a時，f (x)x2xln x.所以f (x)x1(x>0)令f (x)0，得x2，當x(0,2)時，f (x)0；當x(2，)時，f (x)0，所以函數(shù)f (x)在(0,2)上單調遞減，在(2，)上單調遞增所以當x2時，f (x)有最小值f (2)ln 2.3分(2)證明：由f (x)ax2xln x，得f (x)2ax1，x0.所以當a0時，f (x)0，函數(shù)f (x)在(0，)上單調遞減，所以當a0時，函數(shù)f (x)在(0，)上最多有一個零點因為當1a0時，f (1)a10，f 0，所以當1a0時，函數(shù)f (x)在(0，)上有零點綜上，當1a0時，函數(shù)f (x)有且只有一個零點.7分(3)法一：由(2)知，當a0時，函數(shù)f (x)在(0，)上最多有一個零點因為函數(shù)f (x)有兩個零點，所以a0.由f (x)ax2xln x，得f (x)(x0)，令g(x)2ax2x1.因為g(0)10,2a0，所以函數(shù)g(x)在(0，)上只有一個零點，設為x0.當x(0，x0)時，g(x)0，f (x)0；當x(x0，)時，g(x)0，f (x)0.所以函數(shù)f (x)在(0，x0)上單調遞減；在(x0，)上單調遞增要使得函數(shù)f (x)在(0，)上有兩個零點，只需要函數(shù)f (x)的極小值f (x0)0，即axx0ln x00.又因為g(x0)2axx010，所以2ln x0x010，又因為函數(shù)h(x)2ln xx1在(0，)上是增函數(shù)，且h(1)0，所以x01，得01.又由2axx010，得2a22，所以0a1.以下驗證當0a1時，函數(shù)f (x)有兩個零點當0a1時，g10，所以1x0.因為f 10，且f (x0)0.所以函數(shù)f (x)在上有一個零點又因為f ln10(因為ln xx1)，且f (x0)0.所以函數(shù)f (x)在上有一個零點所以當0a1時，函數(shù)f (x)在內有兩個零點. 綜上，實數(shù)a的取值范圍為(0,1)下面證明：ln xx1.設t(x)x1ln x，所以t(x)1(x0)令t(x)0，得x1.當x(0,1)時，t(x)0；當x(1，)時，t(x)0.所以函數(shù)t(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增所以當x1時，t(x)有最小值t(1)0.所以t(x)x1ln x0，得ln xx1成立.14分法二：由(2)知，當a0時，函數(shù)f (x)在(0，)上最多有一個零點因為函數(shù)f (x)有兩個零點，所以a0.由f (x)ax2xln x0，得關于x的方程a(x>0)有兩個不等的實數(shù)解又因為ln xx1，所以a21(x0)因為x0時，211，所以a1.又當a1時，x1，即關于x的方程a有且只有一個實數(shù)解所以0a1.14分(以下解法同法一)3(本小題滿分14分)(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學期期中)設函數(shù)f (x)ln xax2ax，a為正實數(shù)(1)當a2時，求曲線yf (x)在點(1，f (1)處的切線方程；(2)求證：f 0；(3)若函數(shù)f (x)有且只有1個零點，求a的值解(1)當a2時，f (x)ln x2x22x，則f (x)4x2，所以f (1)1，又f (1)0，所以曲線yf (x)在點(1，f (1)處的切線方程為xy10.4分(2)證明：因為f ln1，設函數(shù)g(x)ln xx1，則g(x)1，另g(x)0，得x1，列表如下：x(0,1)1(1，)g(x)0g(x)極大值所以g(x)的極大值為g(1)0.所以f ln10.8分(3)f (x)2axa，x0，令f (x)0，得x，因為0，所以f (x)在上單調遞增，在上單調遞減所以f (x)f .設x0，因為函數(shù)f (x)只有1個零點，而f (1)0，所以1是函數(shù)f (x)的唯一零點當x01時，f (x)f (1)0，f (x)有且只有1個零點，此時1，解得a1.下證，當x01時，f (x)的零點不唯一若x01，則f (x0)f (1)0，此時1，即0a1，則1.由(2)知，f 0，又函數(shù)f (x)在以x0和為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在x0和之間存在f (x)的零點，則f (x)共有2個零點，不符合題意；若x01，則f (x0)f (1)0，此時1，即a1，則01.同理可得，要和x0之間存在f (x)的零點，則f (x)共有2個零點，不符合題意因此x01，所以a的值為1.14分4(本小題滿分16分)(揚州市2017屆高三上學期期末)已知函數(shù)f (x)g(x)·h(x)，其中函數(shù)g(x)ex，h(x)x2axa.(1)求函數(shù)g(x)在(1，g(1)處的切線方程；(2)當0a2時，求函數(shù)f (x)在x2a，a上的最大值；(3)當a0時，對于給定的正整數(shù)k，問函數(shù)F(x)e·f (x)2k(ln x1)是否有零點？請說明理由(參考數(shù)據(jù)e2.718，1.649，e4.482，ln 20.693) 【導學號：56394111】解(1)g(x)ex，故g(1)e，g(1)e，所以切線方程為yee(x1)，即yex.2分(2)f (x)ex·(x2axa), 故f (x)(x2)(xa)ex，令f (x)0，得xa或x2.當2a2，即0a1時，f (x)在2a，a上遞減，在a，a上遞增，所以f (x)maxmaxf (2a)，f (a)，由于f (2a)(2a2a)e2a，f (a)(2a2a)ea，故f (a)f (2a)，所以f (x)maxf (a)；當2a2，即1a2時，f (x)在2a，2上遞增，2，a上遞減，在a，a上遞增，所以f (x)maxmaxf (2)，f (a)，由于f (2)(4a)e2，f (a)(2a2a)ea，故f (a)f (2)，所以f (x)maxf (a)；綜上得，f (x)maxf (a)(2a2a)ea.6分(3)結論：當k1時，函數(shù)F(x)無零點；當k2時，函數(shù)F(x)有零點理由如下：當k1時，實際上可以證明：ex2ex2ln x20.F(x)(x22x)ex1，顯然可證F(x)(x22x)ex1在(0，)上遞增，所以存在x0，使得F(x0)0，所以當x(0，x0)時，F(xiàn)(x)遞減；當x(x0，)時，F(xiàn)(x)遞增，所以F(x)minF(x0)2，其中x0，而(x)2遞減，所以(x)20，所以F(x)min0，所以命題得證.10分下面證明F(ek)0，可借助結論exx2(x2)處理，首先證明結論exx2(x2)：令(x)exx2(x2)，則(x)ex2x，故(x)ex2x0，所以(x)ex2x在2，)上遞增，所以(x)(2)0，所以(x)exx2在2，)上遞增，所以(x)(2)0，得證借助結論得eek2k1ek22k1(k22k1)2(k1)4(k1)(k1)32k(k1)，所以F(ek)0，又因為函數(shù)F(x)連續(xù)，所以F(x)在上有零點. 16分5(本小題滿分16分)(揚州市2017屆高三上學期期中)已知函數(shù)f (x)x.(1)若函數(shù)f (x)的圖象在(1，f (1)處的切線經(jīng)過點(0，1)，求a的值；(2)是否存在負整數(shù)a，使函數(shù)f (x)的極大值為正值？若存在 ，求出所有負整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；(3)設a>0，求證：函數(shù)f (x)既有極大值，又有極小值解(1)f (x)，f (1)1，f (1)ae1, 函數(shù)f (x)在(1，f (1)處的切線方程為：y(ae1)x1，又直線過點(0，1)，1(ae1)1，解得：a.4分(2)若a0，f (x)，當x(，0)時，f (x)0恒成立，函數(shù)在(，0)上無極值；當x(0,1)時，f (x)0恒成立，函數(shù)在(0,1)上無極值；法一：在(1，)上，若f (x)在x0處取得符合條件的極大值f (x0)，則則由得：aex0，代入得：x00，結合可解得：x02，再由f (x0)x00得：a，設h(x)，則h(x)，當x2時，h(x)0，即h(x)是增函數(shù)，所以ah(x0)h(2)，又a0，故當極大值為正數(shù)時，a，從而不存在負整數(shù)a滿足條件.8分法二：在x(1，)時，令H(x)aex(x1)x2，則H(x)(aex2)x，x(1，)，ex(e，)，a為負整數(shù)，a1，aexaee，aex20，H(x)0，H(x)在(1，)上單調遞減，又H(1)10，H(2)ae24e240，x0(1,2)，使得H(x0)0，且1xx0時，H(x)0，即f (x)0；xx0時，H(x)0，即f (x)0；f (x)在x0處取得極大值f (x0)x0，(*)又H(x0)aex0(x01)x0，代入(*)得：f (x0)x00，不存在負整數(shù)a滿足條件.8分(3)證明：設g(x)aex(x1)x2，則g(x)x(aex2)，因為a0，所以，當x0時，g(x)0，g(x)單調遞增；當x0時，g(x)0，g(x)單調遞減；故g(x)至多有兩個零點又g(0)a0，g(1)10，所以存在x1(0,1)，使g(x1)0再由g(x)在(0，)上單調遞增知，當x(0，x1)時，g(x)0，故f (x)0，f (x)單調遞減；當x(x1，)時，g(x)0，故f (x)0，f (x)單調遞增；所以函數(shù)f (x)在x1處取得極小值當x0時，ex1，且x10，所以g(x)aex(x1)x2a(x1)x2x2axa，函數(shù)yx2axa是關于x的二次函數(shù)，必存在負實數(shù)t，使g(t)0，又g(0)a0，故在(t,0)上存在x2，使g(x2)0，再由g(x)在(，0)上單調遞減知，當x(，x2)時，g(x)0，故f (x)0，f (x)單調遞增；當x(x2,0)時，g(x)0，故f (x)0，f (x)單調遞減；所以函數(shù)f (x)在x2處取得極大值綜上，函數(shù)f (x)既有極大值，又有極小值.16分9