12.4離散型隨機(jī)變量及其分布列第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而 叫做隨機(jī)變量.所有取值可以_ 的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.知識(shí)梳理變化的變量一一列出Xx1x2xixnPp1p2pipn(2)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X的 ，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列，具有如下性質(zhì)： ； .離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的 .概率分布列pi0，i1,2，np1p2pipn1概率之和2.兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1pp其中0p1，則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量X服從 .其中pP(X1)稱(chēng)為成功概率.兩點(diǎn)分布其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布.3.超幾何分布超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(MN)件次品.從中任取n(nN)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么即題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量.()(2)離散型隨機(jī)變量的分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象.()(3)某人射擊時(shí)命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布.()基礎(chǔ)自測(cè)1234567(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.()(5)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.()(6)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.()1234567題組二教材改編題組二教材改編2.P77T1設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：答案解析則p為12345673.P49T1有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是_.答案解析0,1,2,3解析解析因?yàn)榇纹饭灿?件，所以在取到合格品之前取到次品數(shù)為0,1,2,3.1234567P(|X3|1)P(X2)P(X4)解析答案4.P49A組T5設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為則P(|X3|1)_.1234567題組三易錯(cuò)自糾題組三易錯(cuò)自糾5.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是 A.至少取到1個(gè)白球B.至多取到1個(gè)白球C.取到白球的個(gè)數(shù)D.取到的球的個(gè)數(shù)解析答案解析解析選項(xiàng)A，B表述的都是隨機(jī)事件；選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.12345676.隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，n，如果P(X4)0.3，則n_.解析答案解析解析由P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)得n10.1012345677.一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的、3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X4)的值為_(kāi).解析解析由題意知取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球、1個(gè)新球，解析答案1234567題型分類(lèi)深度剖析解析答案題型一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)自主演練自主演練解答2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求2X1的分布列.解解由分布列的性質(zhì)知，0.20.10.10.3m1，得m0.3.列表為X012342X113579從而2X1的分布列為2X113579P0.20.10.10.30.31.若題2中條件不變，求隨機(jī)變量|X1|的分布列.引申探究引申探究解解由題2知m0.3，列表為X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列為0123P0.10.30.30.3解答2.若題2中條件不變，求隨機(jī)變量X2的分布列.解答解解依題意知的值為0,1,4,9,16.列表為X01234X2014916從而X2的分布列為014916P0.20.10.10.30.3(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.思維升華思維升華命題點(diǎn)命題點(diǎn)1與排列、組合有關(guān)的分布列的求法與排列、組合有關(guān)的分布列的求法典例典例 (2017山東改編)在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；題型二離散型隨機(jī)變量的分布列的求法多維探究多維探究解答(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.解答解解由題意知，X可取的值為0,1,2,3,4，則因此X的分布列為X01234P命題點(diǎn)命題點(diǎn)2與互斥事件有關(guān)的分布列的求法與互斥事件有關(guān)的分布列的求法典例典例 已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；解答(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列.解答解解X的可能取值為200,300,400.故X的分布列為X200300400P命題點(diǎn)命題點(diǎn)3與獨(dú)立事件與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)的分布列的求法有關(guān)的分布列的求法典例典例 設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為 .若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完.(1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；解答方法一方法一他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為(2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列.解答解解X的所有可能值為2,3,4,5.故X的分布列為X2345P求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出X的分布列.求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí).思維升華思維升華解解設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均為2；A2：三次中恰好為1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.A1，A2，A3為互斥事件，則跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2017湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1a2ak6，則稱(chēng)k為你的幸運(yùn)數(shù)字.(1)求你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率；解答解解由已知得的可能取值為6,4,2,0，(2)若k1，則你的得分為6分；若k2，則你的得分為4分；若k3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒(méi)找到你的幸運(yùn)數(shù)字，則記0分，求得分的分布列.解答故的分布列為6420P題型三超幾何分布師生共研師生共研典例典例 (2018濟(jì)南模擬)某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語(yǔ)，2人只會(huì)英語(yǔ)，3人既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問(wèn).求：(1)在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；解解設(shè)事件A：選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)，解答(2)在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)X的分布列.解解依題意知，X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3，解答X的分布列為X0123P(1)超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn)超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題；隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù).(2)超幾何分布的應(yīng)用條件兩類(lèi)不同的物品(或人、事)；已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)體.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2017年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；解解記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，解答(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列.解答解解依據(jù)條件知，服從超幾何分布，其中N10，M3，n3，且隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3.故的分布列為0123P典例典例 某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中的概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)錯(cuò)解展示錯(cuò)解展示：錯(cuò)解展示：現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解解由題意知的取值為1,2,3,4,5，P(1)0.9，P(2)0.10.90.09，P(3)0.10.10.90.009，P(4)0.130.90.000 9，P(5)0.140.000 1.的分布列為12345P0.90.090.0090.000 90.000 1糾錯(cuò)心得糾錯(cuò)心得(1)隨機(jī)變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的事件及其概率.(2)驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率和是否為1.課時(shí)作業(yè)1.(2017武漢江夏區(qū)模擬)若隨機(jī)變量的分布列如下：基礎(chǔ)保分練解析答案12345678910111213141516210123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(x)0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是 A.x2 B.1x2C.1x2 D.1x2解析解析由離散型隨機(jī)變量的分布列知P(1)0.1，P(0)0.3，P(1)0.5，P(2)0.8，則當(dāng)P(x)0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是18，且nN*)，其中女校友6位，組委會(huì)對(duì)這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱(chēng)為“最佳組合”.(1)若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于 ，求n的最大值；12345678910111213141516解解由題意可知，所選2人為“最佳組合”的概率為化簡(jiǎn)得n225n1440，解得9n16，故n的最大值為16.12345678910111213141516解答(2)當(dāng)n12時(shí)，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.解解由題意可得，X的可能取值為0,1,2.所以X的分布列為X012P拓展沖刺練答案解析1234567891011121314151615.設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，1，則隨機(jī)變量的分布列是_.答案答案01P1234567891011121314151616.盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球.規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅色球的概率；解答(2)求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；解解記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件B，“取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事件C，12345678910111213141516(3)設(shè)為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求的分布列.12345678910111213141516解答解解可能的取值為0,1,2,3，服從超幾何分布，所以所以的分布列為0123P