三、解答題26.（江蘇18）如圖，在平面直角坐標系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k（1）當直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d；（3）對任意k>0，求證：PAPB本小題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質、直線方程、直線的垂直關系、點到直線的距離等基礎知識，考查運算求解能力和推理論證能力，滿分16分.解：（1）由題設知，所以線段MN中點的坐標為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標 原點，所以（2）直線PA的方程解得于是直線AC的斜率為（3）解法一：將直線PA的方程代入則故直線AB的斜率為其方程為解得.于是直線PB的斜率因此解法二：設.設直線PB，AB的斜率分別為因為C在直線AB上，所以從而因此27.（安徽理21）設，點的坐標為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程。本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質與運算，動點的軌跡方程等基本知識，考查靈活運用知識探究問題和解決問題的能力，全面考核綜合數(shù)學素養(yǎng).解：由知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設 再設解得 將式代入式，消去，得 又點B在拋物線上，所以，再將式代入，得故所求點P的軌跡方程為28.（北京理19） 已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點.（I）求橢圓G的焦點坐標和離心率；（II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以橢圓G的焦點坐標為離心率為（）由題意知，.當時，切線l的方程，點A、B的坐標分別為此時當m=1時，同理可得當時，設切線l的方程為由設A、B兩點的坐標分別為，則又由l與圓所以由于當時，所以.因為且當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.29.（福建理17）已知直線l：y=x+m，mR。（I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線l關于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想。滿分13分。解法一：（I）依題意，點P的坐標為（0，m）因為，所以，解得m=2，即點P的坐標為（0，2）從而圓的半徑故所求圓的方程為（II）因為直線的方程為所以直線的方程為由（1）當時，直線與拋物線C相切（2）當，那時，直線與拋物線C不相切。綜上，當m=1時，直線與拋物線C相切；當時，直線與拋物線C不相切。解法二：（I）設所求圓的半徑為r，則圓的方程可設為依題意，所求圓與直線相切于點P（0，m），則解得所以所求圓的方程為（II）同解法一。30.（廣東理19） 設圓C與兩圓中的一個內切，另一個外切。（1）求C的圓心軌跡L的方程;（2）已知點M，且P為L上動點，求的最大值及此時點P的坐標 （1）解：設C的圓心的坐標為，由題設條件知化簡得L的方程為 （2）解：過M，F(xiàn)的直線方程為，將其代入L的方程得解得因T1在線段MF外，T2在線段MF內，故，若P不在直線MF上，在中有故只在T1點取得最大值2。31.（湖北理20） 平面內與兩定點，連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)的點的軌跡，加上、兩點所成的曲線可以是圓、橢圓成雙曲線（）求曲線的方程，并討論的形狀與值得關系；（）當時，對應的曲線為；對給定的，對應的曲線為，設、是的兩個焦點。試問：在撒謊個，是否存在點，使得的面積。若存在，求的值；若不存在，請說明理由。本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數(shù)形結合的思想。（滿分14分） 解：（I）設動點為M，其坐標為， 當時，由條件可得即，又的坐標滿足故依題意，曲線C的方程為當曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓；當時，曲線C的方程為，C是圓心在原點的圓；當時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓；當時，曲線C的方程為C是焦點在x軸上的雙曲線。（II）由（I）知，當m=-1時，C1的方程為當時，C2的兩個焦點分別為對于給定的，C1上存在點使得的充要條件是由得由得當或時，存在點N，使S=|m|a2；當或時，不存在滿足條件的點N，當時，由，可得令，則由，從而，于是由，可得綜上可得：當時，在C1上，存在點N，使得當時，在C1上，存在點N，使得當時，在C1上，不存在滿足條件的點N。32.（湖南理21） 如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。（）求C1，C2的方程；（）設C2與y軸的焦點為M，過坐標原點O的直線與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E（i）證明：MDME;（ii）記MAB,MDE的面積分別是問：是否存在直線l,使得?請說明理由。解 ：（）由題意知故C1，C2的方程分別為（）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為.由得.設是上述方程的兩個實根，于是又點M的坐標為（0，1），所以故MAMB，即MDME.（ii）設直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得則點A的坐標為.又直線MB的斜率為，同理可得點B的坐標為于是由得解得則點D的坐標為又直線ME的斜率為，同理可得點E的坐標為于是.因此由題意知，又由點A、B的坐標可知，故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為33.（遼寧理20） 如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線lMN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D（I）設，求與的比值；（II）當e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由解：（I）因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設設直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 4分當表示A，B的縱坐標，可知 6分 （II）t=0時的l不符合題意.時，BO/AN當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即解得因為所以當時，不存在直線l，使得BO/AN；當時，存在直線l使得BO/AN. 12分34.（全國大綱理21） 已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點，點P滿足（）證明：點P在C上；（）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上解：（I）F（0，1），的方程為 代入并化簡得2分設則由題意得所以點P的坐標為經(jīng)驗證，點P的坐標為滿足方程故點P在橢圓C上。6分 （II）由和題設知， PQ的垂直平分線的方程為設AB的中點為M，則，AB的垂直平分線為的方程為由、得的交點為。9分 故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上12分35.（全國新課標理20） 在平面直角坐標系xOy中， 已知點A（0，-1），B點在直線上，M點滿足，M點的軌跡為曲線C（I）求C的方程；（II）P為C上動點，為C在點P處的切線，求O點到距離的最小值 (20）解：()設M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).再由題意可知（+） =0， 即（-x，-4-2y） (x，-2)=0.所以曲線C的方程式為y=x-2.()設P(x，y)為曲線C：y=x-2上一點，因為y=x，所以的斜率為x因此直線的方程為，即則O點到的距離.又，所以當=0時取等號，所以O點到距離的最小值為2.36.（山東理22） 已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且OPQ的面積=,其中O為坐標原點.（）證明和均為定值;（）設線段PQ的中點為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請說明理由.（I）解：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，所以因為在橢圓上，因此又因為所以由、得此時 （2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即（*）又所以因為點O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時綜上所述，結論成立。 （II）解法一： （1）當直線的斜率存在時，由（I）知因此 （2）當直線的斜率存在時，由（I）知所以 所以，當且僅當時，等號成立.綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：因為 所以即當且僅當時等號成立。因此 |OM|·|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得證明：假設存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G.37.（陜西理17） 如圖，設P是圓上的動點，點D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點，且（）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；（）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度解：（）設M的坐標為（x,y）P的坐標為（xp,yp）由已知得P在圓上，    ，即C的方程為（）過點（3，0）且斜率為的直線方程為，設直線與C的交點為將直線方程代入C的方程，得 即        線段AB的長度為注：求AB長度時，利用韋達定理或弦長公式求得正確結果，同樣得分。38.（上海理23） 已知平面上的線段及點，在上任取一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作。（1）求點到線段的距離；（2）設是長為2的線段，求點集所表示圖形的面積；（3）寫出到兩條線段距離相等的點的集合，其中，是下列三組點中的一組。對于下列三組點只需選做一種，滿分分別是2分，6分，8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號較小的解答計分。 。 。 。解： 設是線段上一點，則，當時，。 設線段的端點分別為，以直線為軸，的中點為原點建立直角坐標系，則，點集由如下曲線圍成， 其面積為。 選擇， 選擇。 選擇。39.（四川理21） 橢圓有兩頂點A（-1，0）、B（1，0），過其焦點F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P直線AC與直線BD交于點Q（I）當|CD | = 時，求直線l的方程；（II）當點P異于A、B兩點時，求證：為定值。 解：由已知可得橢圓方程為，設的方程為為的斜率。則的方程為40.（天津理18）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的數(shù)學思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. （I）解：設 由題意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得橢圓方程為直線PF2方程為A，B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得解得 得方程組的解不妨設設點M的坐標為，由于是由即，化簡得將所以因此，點M的軌跡方程是41.（浙江理21）已知拋物線:，圓:的圓心為點M（）求點M到拋物線的準線的距離；（）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線垂直于AB，求直線的方程本題主要考查拋物線的幾何性質，直線與拋物線、圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。 （I）解：由題意可知，拋物線的準線方程為： 所以圓心M（0，4）到準線的距離是（II）解：設，則題意得，設過點P的圓C2的切線方程為，即則即，設PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以將代入由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即點P的坐標為，所以直線的方程為42.（重慶理20）如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為 （）求該橢圓的標準方程； （）設動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由解：（I）由解得，故橢圓的標準方程為 （II）設，則由得因為點M，N在橢圓上，所以，故 設分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知因此所以所以P點是橢圓上的點，設該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點的坐標為