第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)考情分析圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年必考熱點(diǎn)，多以選擇、填空考查，著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程求法，難度中檔偏下.年份卷別考查角度及命題位置2017卷雙曲線的性質(zhì)及應(yīng)用·T5橢圓的綜合應(yīng)用·T12卷雙曲線離心率的范圍·T5拋物線的方程及應(yīng)用·T12卷橢圓的離心率求法·T11已知雙曲線的漸近線求參數(shù)·T142016卷橢圓的離心率求法·T5卷直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率求法·T122015卷橢圓與拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)·T5雙曲線的幾何性質(zhì)·T16卷雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程·T15真題自檢1(2017·高考全國(guó)卷)已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則APF的面積為()A.B.C. D.解析：法一：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2,0)，當(dāng)x2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得41，解得y±3，不妨取點(diǎn)P(2,3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3)，所以APx軸，又PFx軸，所以APPF，所以SAPF·|PF|·|AP|×3×1.故選D.法二：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2,0)，當(dāng)x2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得41，解得y±3，不妨取點(diǎn)P(2,3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3)，所以(1,0)，(0，3)，所以·0，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|×3×1.故選D.答案：D2(2017·高考全國(guó)卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)，半徑為a.由題意，圓心到直線bxay2ab0的距離為a，即a23b2.又e21，所以e，故選A.答案：A3(2016·高考全國(guó)卷)設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，曲線y(k0)與C交于點(diǎn)P，PEx軸，則k()A. B1C. D2解析：y24x，F(xiàn)(1,0)又曲線y(k0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，P(1,2)將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y(k0)，得k2.故選D.答案：D4(2016·高考全國(guó)卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)設(shè)E(0，m)，由PFOE，得，則|MF|.又由OEMF，得，則|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故選A.答案：A橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程方法結(jié)論1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于M.2求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”所謂“定型”，就是曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值題組突破1(2017·大連雙基)若拋物線y24x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OFP的面積為()A.B1C. D2解析：設(shè)P(xP，yP)，由題可得拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，又點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2，由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為2，xP12，xP1，代入拋物線方程得|yP|2，OFP的面積為S·|OF|·|yP|×1×21.答案：B2(2017·湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為()A. B.C. D.解析：由題意知a3，b.由橢圓定義知|PF1|PF2|6.在PF1F2中，因?yàn)镻F1的中點(diǎn)在y軸上，O為F1F2的中點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)可推得PF2x軸，所以|PF2|，所以|PF1|6|PF2|，所以，故選B.答案：B3已知雙曲線1(a0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為4，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，A(x，y)，則，解得，四邊形ABCD的面積為4，4xy4×4，解得a2，故雙曲線的方程為1，選D.答案：D誤區(qū)警示1圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)2在使用橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意區(qū)分焦點(diǎn)位置橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)方法結(jié)論1橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e ；(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e .2雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系3拋物線方程中p的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離題組突破1(2017·河南八市聯(lián)考)已知點(diǎn)M(3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則|MQ|QF|的最小值是()A.B3C. D2解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x，依據(jù)拋物線的定義，得|QM|QF|xQ3|，選C.答案：C2(2017·合肥質(zhì)檢)若雙曲線C1：1與C2：1(a0，b0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4，則b()A2 B4C6 D8解析：由題意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故選B.答案：B3(2017·廣東五校聯(lián)考)設(shè)橢圓E：1(ab0)的右頂點(diǎn)為A、右焦點(diǎn)為F，B為橢圓E上在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，直線BO交E于點(diǎn)C.若直線BF平分線段AC，則E的離心率為_解析：設(shè)AC的中點(diǎn)為M，連接OM，AB，則OM為ABC的中位線，B，F(xiàn)，M在一條線上，于是OFMAFB，且，即，解得e.答案：4(2017·高考全國(guó)卷)雙曲線1(a>0)的一條漸近線方程為yx，則a_.解析：因?yàn)殡p曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，所以a5.答案：5誤區(qū)警示1注意易混橢圓與雙曲線中a2、b2、c2的關(guān)系2已知雙曲線的一條漸近線ymx(m0)，則要注意判斷其焦點(diǎn)位置后，才能說明|m|，還是，從而再利用e 求離心率3對(duì)于形如yax2(a0)，求焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線時(shí)注意先化為標(biāo)準(zhǔn)方程直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系方法結(jié)論弦長(zhǎng)問題設(shè)直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若直線AB的斜率存在(設(shè)為k)，則|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)，其中|x1x2|，|y1y2|；若直線AB的斜率不存在，則直接求出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng)典例(1)(2017·洛陽模擬)已知拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F，直線AB與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若230，則弦AB中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為_解析：法一：依題意得，拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線方程是y1，因?yàn)?()()0，即20，所以F，A，B三點(diǎn)共線設(shè)直線AB：ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由，得x24(kx1)，即x24kx40，x1x24；又20，因此2x1x20.由解得x2，弦AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為(y11)(y21)(y1y2)1(xx)11.法二：依題意得，拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線方程是y1，因?yàn)?()()0，即20，所以F，A，B三點(diǎn)共線不妨設(shè)直線AB的傾斜角為，0，|FA|m，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y1，則有|FB|2m.分別由點(diǎn)A，B向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為A1，B1，作AMBB1于M，則有|AA1|AF|m，|BB1|FB|2m，|BM|BB1|AA1|m，sin ，|AF|y112|AF|sin ，|AF|，同理|BF|y21，|AF|BF|，因此弦AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離等于(y11)(y21)(y1y2)1(|AF|BF|).答案：(2)(2017·合肥質(zhì)檢)已知點(diǎn)F為橢圓E：1(ab0)的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M.求橢圓E的方程；設(shè)直線1與y軸交于P，過點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，若|PM|2|PA|·|PB|，求實(shí)數(shù)的取值范圍解析：由題意，得a2c，bc，則橢圓E為1.由，得x22x43c20.直線1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M，44(43c2)0c21，橢圓E的方程為1.由得M(1，)，直線1與y軸交于P(0，2)，|PM|2，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，|PA|·|PB|(2)×(2)1，|PM|2|PA|·|PB|，當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依題意得：x1x2，且48(4k21)0，|PA|·|PB|(1k2)x1x2(1k2)·1，(1)，k2，1.綜上所述，的取值范圍是，1)類題通法直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題充分體現(xiàn)了方程思想，化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想，著重考查運(yùn)算及推理能力，其解決的方法一般是：(1)設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在進(jìn)行討論，或?qū)⒅本€方程設(shè)成xmyb的形式；(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式或根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系；(3)涉及弦的問題，一般要用到弦長(zhǎng)公式|AB|·|x1x2|或|AB|y1y2|.演練沖關(guān)已知拋物線x22py上點(diǎn)P處的切線方程為xy10.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)A(x1，y1)和B(x2，y2)為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中y1y2且y1y24，線段AB的垂直平分線l與y軸交于點(diǎn)C，求ABC面積的最大值解析：(1)設(shè)點(diǎn)P(x0，)，由x22py得y，y，切線的斜率為1，1且x010，解得p2，拋物線的方程為x24y.(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)M(x3，y3)，則x3，y3，kAB×(x1x2)，直線l的方程為y2(xx3)，即2xx3(4y)0，l過定點(diǎn)(0,4)x22xx32x80，得4x4(2x8)02x32，|AB|x1x2|，C(0,4)到AB的距離d|CM|，SABC|AB|·d 8，當(dāng)且僅當(dāng)x4162x，即x3±2時(shí)取等號(hào)，SABC的最大值為8.圓錐曲線與其他知識(shí)的交匯圓錐曲線與方程是解析幾何的核心部分，是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，且所占分值較大，近年高考中，圓錐曲線與圓、平面向量、解三角形、不等式等知識(shí)交匯命題，成為命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)典例(2017·武漢調(diào)研)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點(diǎn)若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，且與反向，則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.解析：設(shè)實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，令A(yù)OF，則由題意知tan ，在AOB中，AOB180°2，tanAOBtan 2，|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，設(shè)|OA|md，|AB|m，|OB|md，OABF，(md)2m2(md)2，整理，得dm，tan 2，解得2或(舍去)，b2a，ca，e.答案：C類題通法平面向量與圓錐曲線的交匯問題多考查平面向量的應(yīng)用，通過運(yùn)算溝通數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，從而使問題解決演練沖關(guān)(2017·貴陽模擬)雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個(gè)區(qū)域(不含邊界)，若點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是()A(1，) B(，)C(1，) D(，)解析：依題意，注意到題中的雙曲線1的漸近線方程為y±x，且“右”區(qū)域是由不等式組所確定，又點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1，即，因此題中的雙曲線的離心率e(，)，選B.答案：B- 10 -