第33講 不等式的證明方法【知識(shí)要點(diǎn)】不等式的證明常用的有六種方法（不等式證明六法：比綜分放數(shù)反）一、比較法包括比差和比商兩種方法.比差的一般步驟是：作差變形（配方、因式分解、通分等）與零比下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商變形（配方、因式分解、通分等）與1比下結(jié)論.如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.二、綜合法證明不等式時(shí)，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒?三、分析法證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過(guò)的定理、簡(jiǎn)單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的方法.用分析法證明時(shí)，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明”.一般用分析法尋找思路，用綜合法寫(xiě)出證明過(guò)程.四、放縮法證明不等式時(shí)，有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡(jiǎn)，化難為易，達(dá)到證明的目的，這種方法稱為放縮法.放縮的常見(jiàn)技巧：添加或舍去一些項(xiàng)，如：將分子或分母放大或縮小，如：利用基本不等式等，如：五、數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論.在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法.六、反證法證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法.如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí)，一般用反證法.【方法講評(píng)】方法一比較法使用情景一般是兩個(gè)實(shí)數(shù)解題方法包括比差和比商兩種方法.比差的一般步驟是：作差變形（配方、因式分解、通分等）與零比下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商變形（配方、因式分解、通分等）與1比下結(jié)論.如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.【例1】已知，則. 【方法點(diǎn)評(píng)】比差的一般步驟是：作差變形（配方、因式分解、通分等）與零比下結(jié)論.【例2】設(shè)，求證：【證明】作商：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 【點(diǎn)評(píng)】比商的一般步驟是：作商變形（配方、因式分解、通分等）與1比下結(jié)論. 【反饋檢測(cè)1】已知、是實(shí)數(shù)，試比較與的大小方法二綜合法使用情景一般題設(shè)較簡(jiǎn)單，題目較簡(jiǎn)單.解題方法證明不等式時(shí)，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒?【例3】 設(shè)為正實(shí)數(shù)，求證：【點(diǎn)評(píng)】該題主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答.【反饋檢測(cè)2】已知是不全相等的正數(shù)，求證： 方法三分析法使用情景一般從題設(shè)入手比較難.解題方法證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過(guò)的定理、簡(jiǎn)單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的方法.【例4】求證: ,求證:【點(diǎn)評(píng)】用分析法證明時(shí)，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明”.一般用分析法尋找思路，用綜合法寫(xiě)出證明過(guò)程.【反饋檢測(cè)3】設(shè)為實(shí)數(shù)，求證：方法四放縮法使用情景一般不方便用其它方法，用放縮法比較簡(jiǎn)單.解題方法證明不等式時(shí)，有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡(jiǎn)，化難為易，達(dá)到證明的目的.【例5】設(shè)，求證： 【證明】 【點(diǎn)評(píng)】由于這是一個(gè)數(shù)列的問(wèn)題，所以先要對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行放縮.【例6】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有 （2）證明：當(dāng)； 當(dāng)； 【點(diǎn)評(píng)】本題的放縮是一個(gè)難點(diǎn)，放縮一定要適當(dāng)，有時(shí)需要數(shù)列的第一項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮，有時(shí)需要數(shù)列的前兩項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮，有時(shí)需要數(shù)列的前三項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮，才能放縮出要證明的結(jié)果.這需要大家平時(shí)的訓(xùn)練和積累. 【反饋檢測(cè)4】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性與極值點(diǎn)；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方；（3）證明：.方法五數(shù)學(xué)歸納法使用情景一般是與正整數(shù)有關(guān)的命題.解題方法用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論.在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法.【例7】證明不等式()【證明】(1)當(dāng)?shù)扔?時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設(shè)（)時(shí)，不等式成立，即1+2，當(dāng)時(shí)，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當(dāng)時(shí)，都有1+2.【點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論.在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法.是證明的關(guān)鍵.【反饋檢測(cè)5】數(shù)列由下列條件決定：（1）證明：對(duì) 總有（2）證明：對(duì) 總有.方法六反證法使用情景一般從正面著手比較困難.解題方法證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法. 【例7】 已知，求證：，中至少有一個(gè)小于等于.【點(diǎn)評(píng)】如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí)，一般用反證法.【反饋檢測(cè)6】已知中至少有一個(gè)小于2.高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第33講：不等式的證明方法參考答案【反饋檢測(cè)1答案】見(jiàn)解析【反饋檢測(cè)1詳細(xì)解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 【反饋檢測(cè)2答案】見(jiàn)解析【反饋檢測(cè)3答案】見(jiàn)解析【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】當(dāng)時(shí)，成立當(dāng)時(shí)，用分析法證明如下：要證，只需證，即證，即證：，對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，成立綜上所述，對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式都成立【反饋檢測(cè)4答案】（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析. （2）當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，時(shí)，恒成立.即時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方.（3）由（2）知，即，令，則，不等式成立.【反饋檢測(cè)5答案】見(jiàn)解析【反饋檢測(cè)6答案】見(jiàn)解析【反饋檢測(cè)6詳細(xì)解析】假設(shè) 都不小于2，則 因?yàn)?，所以?所以 即，這與已知相矛盾，故假設(shè)不成立. 所以中至少有一個(gè)小于2. 11