西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2012級(jí)一、填空題（共7題，2分/空，共20分）1.四點(diǎn),組成的四面體的體積是_16_.2.已知向量,則=_(-2,-1,0)_.3.點(diǎn)到直線的距離是_.4.點(diǎn)到平面的距離是_.5.曲線C:對(duì)xoy坐標(biāo)面的射影柱面是_,對(duì)yoz坐標(biāo)面的射影柱面是_,對(duì)xoz坐標(biāo)面的射影柱面是_.6.曲線C:繞軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是_，曲線C繞軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是_.7.橢球面的體積是_40_.二、計(jì)算題（共4題,第1題10分,第2題15分,第3題20分, 第4題10分,共55分）1. 過點(diǎn)作3個(gè)坐標(biāo)平面的射影點(diǎn),求過這3個(gè)射影點(diǎn)的平面方程.這里是3個(gè)非零實(shí)數(shù).解: 設(shè)點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為，在平面上的射影點(diǎn)為，在平面上的射影點(diǎn)為，則，于是，所確定的平面方程是即 . 2.已知空間兩條直線,.(1)證明和是異面直線;(2)求和間的距離;(3)求公垂線方程.證明：(1) 的標(biāo)準(zhǔn)方程是，經(jīng)過點(diǎn)，方向向量的標(biāo)準(zhǔn)方程是，經(jīng)過點(diǎn)，方向向量，于是，所以和是異面直線。(2) 由于，和間的距離 (3)公垂線方程是，即。3.求曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面方面.解：設(shè)是母線上任意一點(diǎn),則過的緯圓方程是，（1）又 ，（2）由（1）（2）消去得到.4.已知單葉雙曲面,為腰橢圓上的點(diǎn),(1)求經(jīng)過點(diǎn)兩條直母線方程及其夾角;(2)求這兩條直母線所在的平面的方程及平面與腰橢圓所在平面的夾角.解：(1)設(shè)單葉雙曲面兩直母線方程是與把點(diǎn)分別代入上面兩方程組，求得代入直母線方程，得到過點(diǎn)的兩條直母線與，即與兩直母線的方向向量可分別取和，設(shè)兩直母線的夾角是，則有，.（2）兩直母線所在平面的方程是，即顯然平面與腰橢圓所在的平面的夾角是0. 四、證明題(共2題,第一題10分,第二題15分,共25分)1.求證:曲線在一個(gè)球面上,這里的. 證明:設(shè)，則有，即所以曲線在球心為,半徑為的球面上。2.證明:(1)雙曲拋物面的同族的所有直母線都平行于同一平面:(2)雙曲拋物面的同族的兩條直母線異面.證明: (1) 雙曲拋物面的u族直母線中任一條直母線都平行于平面,v族直母線中任一條直母線都平行于平面,因而結(jié)論成立.-5分 (2)不妨取u族直母線來證明，任取u族直母線中兩條直母線：和 ：其中.由于的第一個(gè)方程表示的平面平行于的第一個(gè)方程表示的平面,即和在兩個(gè)平行平面上,因而和不會(huì)相交.又由于直線的方向向量為直線的方向向量為由于,因此和不會(huì)平行,從而證明了雙曲拋物面的同族的兩條直母線異面.