第2講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)學(xué)思想解讀1.分類討論的思想是當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對研究的對象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時(shí)也是獲取成功的思維方式.熱點(diǎn)一分類討論思想的應(yīng)用應(yīng)用1由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論【例1】(1)若函數(shù)f(x)ax(a>0，a1)在1，2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a_；(2)在等比數(shù)列an中，已知a3，S3，則a1_.解析(1)若a>1，有a24，a1m，解得a2，m.此時(shí)g(x)為減函數(shù)，不合題意.若0<a<1，有a14，a2m，故a，m，檢驗(yàn)知符合題意.(2)當(dāng)q1時(shí)，a1a2a3，S33a1，顯然成立.當(dāng)q1時(shí)，由a3，S3，由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去).當(dāng)q時(shí)，a16，綜上可知，a1或a16.答案(1)(2)或6探究提高1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a，因此，當(dāng)?shù)讛?shù)a的大小不確定時(shí)，應(yīng)分0<a<1，a>1兩種情況討論.2.利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，若公比q的大小不確定，應(yīng)分q1和q1兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式?jīng)Q定的.【訓(xùn)練1】(1)(2017·長沙一中質(zhì)檢)已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和且Sn2an2，則S5S4的值為()A.8 B.10 C.16 D.32(2)函數(shù)f(x)若f(1)f(a)2，則a的所有可能取值的集合是_.解析(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12a12，解得a12.因?yàn)镾n2an2，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an12，兩式相減得，an2an2an1，即an2an1，則數(shù)列an為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則S5S4a52532.(2)f(1)e01，即f(1)1.由f(1)f(a)2，得f(a)1.當(dāng)a0時(shí)，f(a)1ea1，所以a1.當(dāng)1<a<0時(shí)，f(a)sin(a2)1，所以a22k(kZ).所以a22k(kZ)，k只能取0，此時(shí)a2，因?yàn)?<a<0，所以a.則實(shí)數(shù)a取值的集合為.答案(1)D(2)應(yīng)用2由圖形位置或形狀引起的分類討論【例2】(1)(2017·昆明一中質(zhì)檢)已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為_；(2)設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線C的離心率等于_.解析(1)由于e，則a23b2，若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程y±x.若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，漸近線方程y±x.(2)不妨設(shè)|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0.若該曲線為橢圓，則有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若該曲線為雙曲線，則有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.答案(1)y±x，或y±x(2)或探究提高1.圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)的位置不同來分類討論.2.相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問題時(shí)，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論.【訓(xùn)練2】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn).已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，則的值為_.解析若PF2F190°.則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又因?yàn)閨PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，所以.若F1PF290°，則|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，所以|PF1|4，|PF2|2，所以2.綜上知，或2.答案或2應(yīng)用3由變量或參數(shù)引起的分類討論【例3】已知f(x)xaex(aR，e為自然對數(shù)的底).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)e2x對xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)1aex，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)是(，)上的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)0得xln a，所以函數(shù)f(x)在(，ln a)上的單調(diào)遞增，在(ln a，)上的單調(diào)遞減.(2)f(x)e2xaex，設(shè)g(x)ex，則g(x).當(dāng)x<0時(shí)，1e2x>0，g(x)>0，g(x)在(，0)上單調(diào)遞增.當(dāng)x>0時(shí)，1e2x<0，g(x)<0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減.所以g(x)maxg(0)1，所以a1.故a的取值范圍是1，).探究提高1.(1)參數(shù)的變化取值導(dǎo)致不同的結(jié)果，需對參數(shù)進(jìn)行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.本題中參數(shù)a與自變量x的取值影響導(dǎo)數(shù)的符號應(yīng)進(jìn)行討論.(2)解析幾何中直線點(diǎn)斜式、斜截式方程要考慮斜率k存在或不存在，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系要進(jìn)行討論.2.分類討論要標(biāo)準(zhǔn)明確、統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”.【訓(xùn)練3】(2015·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.若a0，則f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.若a0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，知當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上無最大值；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln aln aa1.因此f2a2等價(jià)于ln aa10.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)0.于是，當(dāng)0a1時(shí)，g(a)0；當(dāng)a1時(shí)，g(a)0.因此，a的取值范圍是(0，1).熱點(diǎn)二轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用1特殊與一般的轉(zhuǎn)化【例4】(1)過拋物線yax2(a>0)的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn).若線段PF與FQ的長度分別為p，q，則等于()A.2a B. C.4a D.(2)(2017·浙江卷)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_.解析(1)拋物線yax2(a>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y(a>0)，焦點(diǎn)F.過焦點(diǎn)F作直線垂直于y軸，則|PF|QF|，4a.(2)由題意，不妨設(shè)b(2，0)，a(cos ，sin )，則ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin ).令y|ab|ab|，令y，則y210216，20.由此可得(|ab|ab|)max2，(|ab|ab|)min4，即|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.答案(1)C(2)42探究提高1.一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問題的效果.2.對于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案.【訓(xùn)練4】在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則_.解析令abc，則ABC為等邊三角形，且cos Acos C，代入所求式子，得.答案應(yīng)用2函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化【例5】已知函數(shù)f(x)3e|x|，若存在實(shí)數(shù)t1，)，使得對任意的x1，m，mZ且m>1，都有f(xt)3ex，試求m的最大值.解當(dāng)t1，)且x1，m時(shí)，xt0，f(xt)3exextext1ln xx.原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)t1，)，使得不等式t1ln xx對任意x1，m恒成立.令h(x)1ln xx(1xm).h(x)10，函數(shù)h(x)在1，)上為減函數(shù)，又x1，m，h(x)minh(m)1ln mm.要使得對任意x1，m，t值恒存在，只需1ln mm1.h(3)ln 32ln>ln1，h(4)ln 43ln<ln1，又函數(shù)h(x)在1，)上為減函數(shù)，滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.探究提高1.函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助.2.解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍.【訓(xùn)練5】(2017·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(12，0)，B(0，6)，點(diǎn)P在圓O：x2y250上.若·20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.解析設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且A(12，0)，B(0，6).則·(12x，y)·(x，6y)x(12x)y(y6)20，又x2y250，2xy50，則點(diǎn)P在直線2xy50上方的圓弧上(含交點(diǎn)).聯(lián)立解得x5或x1，結(jié)合圖形知，5x1.故點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是5，1.答案5，1應(yīng)用3正與反、主與次的轉(zhuǎn)化【例6】(1)若對于任意t1，2，函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_；(2)對于滿足0p4的所有實(shí)數(shù)p，不等式x2px>4xp3恒成立，則x的取值范圍是_.解析(1)g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立.由得3x2(m4)x20，即m43x.當(dāng)x(t，3)時(shí)恒成立，m43t恒成立，則m41，即m5；由得m43x，當(dāng)x(t，3)時(shí)恒成立，則m49，即m.使函數(shù)g(x)在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為<m<5.(2)設(shè)f(p)(x1)px24x3，則當(dāng)x1時(shí)，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4上恒正，等價(jià)于即解得x>3或x<1.答案(2)(，1)(3，)探究提高1.第(1)題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則.題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從后面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中.2.第(2)題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在0，4內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們可以選取其中的參數(shù)，將其看作是“主元”，而把其它變元看作是參數(shù).【訓(xùn)練6】已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).對滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_.解析由題意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.對1a1，恒有g(shù)(x)<0，即(a)<0，即解得<x<1.故當(dāng)x時(shí)，對滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0.答案1.分類討論思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略.對問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思想，降低問題難度.常見的分類討論問題：(1)集合：注意集合中空集討論.(2)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a1和0a1的討論，函數(shù)yax2bxc有時(shí)候分a0和a0的討論，對稱軸位置的討論，判別式的討論.(3)數(shù)列：由Sn求an分n1和n1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論.(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論.(5)不等式：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論.(6)立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論.(7)平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類型及形狀的討論.(8)去絕對值時(shí)的討論及分段函數(shù)的討論等.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.- 9 -