第三講平面向量考情分析平面向量的命題近幾年較穩(wěn)定，一般是單獨命題考查平面向量的模、數(shù)量積的運算、線性運算等，難度較低，有時也與三角函數(shù)、解析幾何綜合命題，難度中等.年份卷別考查角度及命題位置2017卷向量垂直的應(yīng)用·T13卷向量加減法的幾何意義·T4卷向量垂直的應(yīng)用·T132016卷平面向量垂直求參數(shù)·T13卷平面向量共線求參數(shù)·T13卷向量的夾角公式·T32015卷平面向量的坐標(biāo)運算·T2卷平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算·T4真題自檢1(2017·高考全國卷)設(shè)非零向量a，b滿足|ab|ab|，則()AabB|a|b|Cab D|a|>|b|解析：依題意得(ab)2(ab)20，即4a·b0，ab，選A.答案：A2(2015·高考全國卷)向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)·a()A1 B0C1 D2解析：法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，a·b3，從而(2ab)·a2a2a·b431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，從而(2ab)·a(1,0)·(1，1)1，故選C.答案：C3(2016·高考全國卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m4×30.m6.答案：64(2017·高考全國卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab與a垂直，則m_.解析：因為ab(m1,3)，ab與a垂直，所以(m1)×(1)3×20，解得m7.答案：7平面向量的概念及線性運算方法結(jié)論1在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起點”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量2利用平面向量基本定理實現(xiàn)了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個不共線的向量e1，e2的線性組合1e12e2，常用方法有兩種：一是直接利用三角形法則與平行四邊形法則及向量共線定理來破解；二是利用待定系數(shù)法，即利用定理中1，2的唯一性列方程組求解題組突破1如圖，在OAB中，點B關(guān)于點A的對稱點為C，D在線段OB上，且OD2DB，DC和OA相交于點E.若，則()A.B.C. D.解析：通解：設(shè)a，b，由題意得2ab.因為a，設(shè)2ab，又，所以ab2ab2ab，所以，所以.優(yōu)解：由題意知，ABAC，OD2DB，過點A作AFOB交CD于點F(圖略)，則，即AFBDOD，故AEOE，則OEOA，又，故.答案：C2如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若，則()A2 B.C. D.解析：法一：以AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形的邊長為1，則(1，)，(，1)，(1,1)，(，)，解得，故選D.法二：由，得()()，又，解得，故選D.答案：D3已知平面向量a(2,1)，c(1，1)若向量b滿足(ab)c，(ac)b，則b()A(2,1)B(1,2)C(3,0)D(0,3)解析：通解：設(shè)b(x，y)，則ab(2x,1y)，ac(3,0)，由(ab)c可得，(2x)(1y)0，即xy30.由(ac)b可得，3x0，則x0，y3，選D.優(yōu)解：因為ac(3,0)，且(ac)b，逐個驗證選項可知，選D.答案：D誤區(qū)警示在運用向量共線定理時，向量a與b共線存在實數(shù)保持ab成立的前提條件是b0.平面向量的數(shù)量積方法結(jié)論1平面向量的數(shù)量積的運算的兩種形式(1)依據(jù)模和夾角計算，要注意確定這兩個向量的夾角，如夾角不易求或者不可求，可通過選擇易求夾角和模的基底進行轉(zhuǎn)化；(2)利用坐標(biāo)來計算，向量的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足的等式，從而應(yīng)用方程思想解決問題，化形為數(shù)，使向量問題數(shù)字化2夾角公式cos .3模|a|.4向量a與b垂直a·b0.題組突破1(2017·洛陽模擬)已知向量a(1,0)，|b|，a與b的夾角為45°.若cab，dab，則c在d方向上的投影為()A. BC1 D1解析：依題意得|a|1，a·b1××cos 45°1，|d|1，c·da2b21，因此c在d方向上的投影等于1，選D.答案：D2如圖，AOB為直角三角形，OA1，OB2，C為斜邊AB的中點，P為線段OC的中點，則·()A1B.C. D解析：通解：因為AOB為直角三角形，OA1，OB2，C為斜邊AB的中點，所以，所以()，則，所以·(3)·()(232).優(yōu)解：以O(shè)為原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,1)，B(2,0)，C，所以，故·×.答案：B3(2016·珠海摸底)已知|a|b|，且|ab|ab|，則向量a與b的夾角為()A30° B45°C60° D120°解析：通解：設(shè)a與b的夾角為，由已知可得a22a·bb23(a22a·bb2)，即4a·ba2b2，因為|a|b|，所以a·ba2，所以cos ，60°，選C.優(yōu)解：由|a|b|，且|ab|ab|可構(gòu)造邊長為|a|b|1的菱形，如圖，則|ab|與|ab|分別表示兩條對角線的長，且|ab|，|ab|1，故a與b的夾角為60°，選C.答案：C4已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，動點P滿足|1，則|的最小值是_解析：通解：由|1得點P(x，y)的軌跡方程為(x3)2y21，又(1,0)，(0，)，(x，y)，故(1x，y)，|的幾何意義是點M(1，)與圓(x3)2y21上的點之間的距離|，由數(shù)形結(jié)合(圖略)可知|的最小值即為點M(1，)到圓(x3)2y21上的點的最短距離，故|的最小值為1.優(yōu)解：動點P的軌跡為以C為圓心的單位圓，設(shè)P(cos 3，sin )(0,2)，則|，其中tan ，所以|的最小值為1.答案：1誤區(qū)警示1在解決平面向量的數(shù)量積問題中的注意點(1)兩個向量的夾角的定義；(2)兩個向量的夾角的范圍；(3)平面向量的數(shù)量積的幾何意義；(4)向量的數(shù)量積的運算及其性質(zhì)等2向量的數(shù)量積運算需要注意的問題a·b0時得不到a0或b0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2a2，但|a·b|a|·|b|.平面向量與其他知識的交匯問題平面向量具有代數(shù)形式與幾何形式的“雙重型”，常與三角函數(shù)、解三角形、平面解析幾何、函數(shù)、不等式等知識交匯命題，平面向量的“位置”：一是作為解決問題的工具，二是通過運算作為命題條件交匯點一平面向量與三角、解三角形的交匯典例1(2016·青島二中模擬)已知a，b，c分別是ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，向量m(sin A，sin B)，n(sin C，sin A)，且mn.(1)若cos A，bc6，求ABC的面積；(2)求sin B的取值范圍解析：因為mn，所以sin2 Asin Bsin C，結(jié)合正弦定理可得a2bc.(1)因為cos A，所以，即，解得bc9.從而ABC的面積SABCbcsin A×9×，故ABC的面積為.(2)因為a2bc，所以cos A(當(dāng)且僅當(dāng)bc時，取等號)因為0<A<，所以角A的取值范圍是.由正弦定理，知0<sin Bsin A，所以sin B的取值范圍是.類題通法破解平面向量與“三角”相交匯題的常用方法是“化簡轉(zhuǎn)化法”，即先活用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、輔助角公式等對三角函數(shù)進行巧“化簡”；然后把以向量共線、向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為“對應(yīng)坐標(biāo)乘積之間的關(guān)系”；再活用正、余弦定理，對三角形的邊、角進行互化，即可破解平面向量與“三角”相交匯題演練沖關(guān)1(2016·開封模擬)設(shè)a與b(1,2cos )垂直，則cos 2的值等于()AB0C D1解析：a與b(1,2cos )垂直，a·b0，即2cos2 0，則cos 22cos2 12cos2 .故選C.答案：C2已知向量a(1，sin x)，b(cos2 x1，cos x)(>0)，設(shè)函數(shù)f(x)a·b的最小正周期為.(1)求的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的單調(diào)區(qū)間解析：(1)由題意知，f(x)a·bcos2 x1sin x·cos xcos 2xsin 2xsin，因為函數(shù)f(x)的最小正周期為，所以，解得1.(2)由(1)知f(x)sin，當(dāng)x時，2x，所以當(dāng)2x，即x時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x，即x時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減交匯點二平面向量與“簡單線性規(guī)劃”相交匯典例2已知x，y滿足若向量(1,2)，(x，y)，則z·的最大值為()A0 B1C. D2解析：原不等式組所表示的可行域為如圖所示的陰影部分(包括邊界)，因為向量(1,2)，(x，y)，所以z·x2y.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zx2y過點(0,1)時，zx2y取得最大值zmax02×12.故選D.答案：D類題通法解決平面向量與“簡單線性規(guī)劃”相交匯題的常用方法是“轉(zhuǎn)化法和數(shù)形結(jié)合法”，即先利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，把平面向量問題轉(zhuǎn)化為求線性目標(biāo)函數(shù)問題；再借用圖形，判斷可行域；最后通過平移目標(biāo)函數(shù)圖象，求其最值演練沖關(guān)3已知變量x，y滿足約束條件若向量(x，1)，(2，y)，則·的最小值等于()A B2C D2解析：約束條件所表示的可行域為如圖所示的陰影部分(包括邊界)，因為向量(x，1)，(2，y)，所以z·2xy.當(dāng)z2xy過點A(1，)時，z2xy取得最小值，且zmin2×(1).故選A.答案：A交匯點三平面向量與“充分必要條件”相交匯典例3(2015·高考北京卷)設(shè)a，b是非零向量“a·b|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：設(shè)向量a，b的夾角為，則a·b|a|·|b|cos .若a·b|a|b|，則cos 1，因為0，所以0，所以ab，即“a·b|a|b|”“ab”；若ab，則0或，所以a·b|a|b|或a·b|a|b|，所以“a·b|a|b|”/ “ab”，故“a·b|a|b|”是“ab”的充分而不必要條件故選A.答案：A類題通法平面向量與“充分必要條件”相交匯問題的破解方法：“以小推大法”，即準(zhǔn)確理解充分條件、必要條件及充要條件的含義，利用平面向量的有關(guān)概念、公式、定理(有時要利用數(shù)形結(jié)合思想)等，判斷小范圍和大范圍之間的關(guān)系演練沖關(guān)4已知直線m，n的方向向量分別為a，b，則“mn”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：mnab；反之，當(dāng)ab時，直線m，n可能重合，所以“mn”是“ab”的充分不必要條件故選A.答案：A交匯點四平面向量與解析幾何相交匯典例4(2017·大慶質(zhì)檢)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使()·0(O為坐標(biāo)原點)，則F1PF2的面積是()A4 B3C2 D1解析：()·()·2·0，PF1PF2，F(xiàn)1PF290°.設(shè)|PF1|m，|PF2|n，則mn4，m2n212，2mn4，SF1PF2mn1，故選D.答案：D類題通法破解平面向量與“解析幾何”相交匯問題的常用方法有兩種：一是“轉(zhuǎn)化法”，即把平面向量問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，利用平面向量的數(shù)量積、共線、垂直等的坐標(biāo)表示進行轉(zhuǎn)化，再利用解析幾何的相關(guān)知識給予破解；二是“特值法”，若是選擇題，?？捎萌√厥庵档姆椒▉砜焖倨平庋菥殯_關(guān)5(2017·廣州模擬)已知以F為焦點的拋物線y24x上的兩點A，B滿足2，則弦AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析：設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，2，1xA2(xB1)，又xAxB1，xA2，xB，弦AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為11.答案：- 10 -