命題角度1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題1.已知函數(shù)（1）求函數(shù)圖象上所有點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角范圍；（2）若，討論的單調(diào)性【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，切線(xiàn)的傾斜角（2），令，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根為，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根為，且所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式【方法點(diǎn)晴】解答此類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò)解決含參數(shù)問(wèn)題及不等式問(wèn)題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：（1）利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（2）將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題處理2.已知函數(shù)在處有極值10.（）求實(shí)數(shù)， 的值；（）設(shè)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】（）， ; （）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（） ， 在處有極值10，所以且；（）求導(dǎo)得函數(shù)在R上的單調(diào)性，再討論函數(shù)定義域在哪個(gè)區(qū)間即可.試題解析：（）定義域?yàn)椋?，在處有極值10.且.即解得： 或當(dāng)， 時(shí)， ，當(dāng)， 時(shí)， ，在處處有極值10時(shí)， ， .（）由（）可知，其單調(diào)性和極值分布情況如表：1+0-0+增極大減極小增當(dāng)且，即時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng) ，即時(shí)， 在區(qū)間上的單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；點(diǎn)睛：研究函數(shù)極值，首先研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可確定極值；導(dǎo)數(shù)為正時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí)單調(diào)遞減，若函數(shù)單調(diào)性確定，定義域不定時(shí)，只需討論定義域與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系即可.3.已知函數(shù)（）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性【答案】（I）；（II）；（III）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（）求出當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線(xiàn)方程；（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出的零點(diǎn)或，分別對(duì)兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系作為分類(lèi)討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.試題解析：解：（）當(dāng)時(shí)， ，切線(xiàn)的斜率，又， 在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即（）令，得或，當(dāng)時(shí)， 恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ，由，得或；由，得單調(diào)遞增區(qū)間為， ；單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)時(shí)， ，由，得或；由，得單調(diào)增區(qū)間為， ，單調(diào)減區(qū)間為綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)增區(qū)間為， ，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)增區(qū)間為， ，單調(diào)減區(qū)間為4.設(shè)函數(shù)， 的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行.（1）求的值；（2）若函數(shù)（），且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析：(1) 根據(jù)切線(xiàn)的斜率，求出b的值即可;（2）求出的導(dǎo)數(shù)， 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造求最值即可.試題解析：(1)由題意知，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為3，所以，又，即，所以. (2)由（1）知，所以，若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則在上恒成立， 即，所以. 令， 則，由，得， ，得，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則， 無(wú)最大值，在上不恒成立，故在不可能是單調(diào)減函數(shù). 若在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則在上恒成立，即，所以，由前面推理知， 的最小值為， ，故的取值范圍是.點(diǎn)晴:本題主要考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問(wèn)題. 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，等價(jià)于在上恒成立，通過(guò)變量分離可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，先構(gòu)造即可.4.已知函數(shù).（）討論的單調(diào)性；（）設(shè)，若對(duì)， ，求的取值范圍.【答案】（）見(jiàn)解析；（） 【解析】試題分析：（）求出的定義域?yàn)?，求?dǎo)數(shù)，若，若，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后推出函數(shù)的單調(diào)性；（）不妨設(shè)，而，由（）知， 在上單調(diào)遞增，從而， 等價(jià)于， ，令，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果.（）不妨設(shè)，而，由（）知， 在上單調(diào)遞增，.從而， 等價(jià)于， ，令，則，因此，等價(jià)于在上單調(diào)遞減，對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，由，得函數(shù)單調(diào)遞增， 得函數(shù)單調(diào)遞減；考查恒成立問(wèn)題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段通過(guò)分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合單調(diào)性求出或即得解.5.已知函數(shù)（）（）試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求整數(shù)的最大值.（可能要用的數(shù)據(jù)： ， ， ）.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）6試題解析:解：（） 在上為增函數(shù)，且，故在上為增函數(shù)，又， ，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).（）在上恒成立，當(dāng)時(shí)顯然成立,當(dāng)時(shí)，可得在上恒成立， 令，則， ，由（）可知： 在上為增函數(shù)，故在上有唯一零點(diǎn)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故時(shí)， 有最小值， . 又，則，有，所以， ，令，則最小值，因，則的最小值大約在之間，故整數(shù)的最大值為6.6.已知函數(shù)，（其中為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)， 為常數(shù)).（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】試題分析: (1)對(duì) 求導(dǎo),令 ,即可求出 ;(2)將代入中,求導(dǎo)后,分別令 ,求出的范圍,得到單調(diào)增區(qū)間,減區(qū)間;(3)由已知有 恒成立,且 ,得出 ,令 ,由 ,求出 的范圍. 試題解析:（1） （3） 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 恒成立. 設(shè)則， ， 答： 的取值范圍是.點(diǎn)睛:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用,屬于中檔題.求函數(shù)在某區(qū)間為增函數(shù),一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于或等于零問(wèn)題.第三問(wèn)另解: 得出 恒成立, ,分離出常數(shù) ,即 ,當(dāng) 時(shí), 有最大值為11.所以 .8. 已知函數(shù)，其中均為實(shí)數(shù)， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（I）求函數(shù)的極值；（II）設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 取得極大值，無(wú)極小值；（2）.【解析】試題分析：（1）由題對(duì) 得，研究其單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)， 取得極大值，無(wú)極小值；（2）由題當(dāng)時(shí)， ，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，故又構(gòu)造函數(shù)，可知在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè) 則，則在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上的最大值，試題解析：（1）由題得， ，令，得，列表如下：1大于00小于0極大值當(dāng)時(shí)， 取得極大值，無(wú)極小值；（2）當(dāng)時(shí)， ，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上為增函數(shù)，設(shè)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，設(shè)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，設(shè)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上的最大值，實(shí)數(shù)的最小值為點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)的綜合應(yīng)用，屬難題.解題時(shí)要認(rèn)真研究題意，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)賓研究其性質(zhì)以達(dá)到解決問(wèn)題的目的9. 已知函數(shù)， (為常數(shù))（）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（）當(dāng)函數(shù)在處取得極值,求函數(shù)的解析式；（)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）； （）g(x)= (xR) ;(3) ，).【解析】試題分析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn),運(yùn)用點(diǎn)斜式方程即可得到切線(xiàn)方程;(2)求得的導(dǎo)數(shù),根據(jù)題意可得, ,解方程即可得到所求解析式;(3)若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間依題存在使， 即存在使,運(yùn)用參數(shù)分離,求得右邊的最小值,即可得到所求范圍.試題解析：（）由 ()，可得 ()，f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程是，即，所求切線(xiàn)方程為；（）又g(x)= 可得，且g(x)在x=2處取得極值-2，可得解得，所求g(x)= (xR) (3)， ()依題存在使，即存在使，不等式等價(jià)于 (min)由基本不等式知，) 存在，不等式(*)成立，所求，)10.已知函數(shù)，其中（1）若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)在點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)在上為增函數(shù)，求證：【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)根據(jù)求得 ，再求 ，導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是和 ，分 三種情況討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 ，當(dāng) ，即 ，當(dāng)時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，求所設(shè)函數(shù)的最值，即可求得結(jié)果.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上遞增，在上遞減； （2）由題意可得對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立， 設(shè)， 則，在上遞增， 又，【點(diǎn)睛】討論函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)這道題比較常見(jiàn)的類(lèi)型，一般求導(dǎo)后，判斷函數(shù)的類(lèi)型，有沒(méi)有恒成立的類(lèi)型，求函數(shù)的極值點(diǎn)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)和定義域的關(guān)系，得到不同情況下的單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)數(shù)的第二問(wèn)，對(duì)于恒成立的類(lèi)型也比較常見(jiàn)，可通過(guò)參變分離后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解.- 15 -