第37講 數(shù)列通項(xiàng)的求法二（構(gòu)造法）【知識(shí)要點(diǎn)】一、數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.即.不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.不是每一個(gè)數(shù)列只有一個(gè)通項(xiàng)公式.二、構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)類型一：已知，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng).類型二：已知數(shù)列，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng).類型三：已知，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比或等差數(shù)列求通項(xiàng).類型四：已知，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng).類型五：已知，一般利用倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng).類型六：已知，一般利用取對(duì)數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列.【方法講評(píng)】類型一構(gòu)造法一使用情景已知解題步驟一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng).【例1】已知數(shù)列滿足=1，= ()，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【點(diǎn)評(píng)】（1）已知，一般可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，其公比為（2）注意數(shù)列的首項(xiàng)為，不是對(duì)新數(shù)列的首項(xiàng)要弄準(zhǔn)確.【反饋檢測(cè)1】已知數(shù)列中，=2，= ，求的通項(xiàng)公式.類型二構(gòu)造法二使用情景已知數(shù)列解題步驟一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng).【例2 】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則.【點(diǎn)評(píng)】本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，其中要用到待定系數(shù)法，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【反饋檢測(cè)2】 在數(shù)列中，=6 ，求通項(xiàng)公式.類型三構(gòu)造法三使用情景已知解題步驟一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比或等差數(shù)列求通項(xiàng).【例3 】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【點(diǎn)評(píng)】（1）本題的一個(gè)關(guān)鍵是先要把變成,這樣才便于后面構(gòu)造數(shù)列,否則不方便構(gòu)造. （2）換元之后原等式變成，即型，又可以利用前面的構(gòu)造方法構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng).【反饋檢測(cè)3】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【例4】 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【點(diǎn)評(píng)】（1）本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）已知，有時(shí)可以構(gòu)造等比數(shù)列，有時(shí)可以構(gòu)造等差數(shù)列，本題是構(gòu)造等比數(shù)列，此時(shí)的系數(shù)和指數(shù)函數(shù)的底數(shù)相同.【反饋檢測(cè)4】數(shù)列滿足且.求、； 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及；若不存在，說(shuō)明理由.類型四構(gòu)造法四使用情景已知解題步驟一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng).【例5】 數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】比較系數(shù)得 若取【點(diǎn)評(píng)】（1）遞推式為時(shí)，可以設(shè)，其待定系數(shù)求出，從而得到一個(gè)等比數(shù)列.（2）這種特征的構(gòu)造一般要結(jié)合其它方法才能得出結(jié)果.此題就結(jié)合了累差法.【反饋檢測(cè)5】在數(shù)列中，當(dāng)， 求通項(xiàng)公式.類型五構(gòu)造法五使用情景已知解題步驟一般利用倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng).【例6】已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】取倒數(shù) 【點(diǎn)評(píng)】（1）形如遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有型.（2）對(duì)于形如的也可以在方程的兩邊同時(shí)除以，再構(gòu)造等差數(shù)列. 【反饋檢測(cè)6】 已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)公式.類型六構(gòu)造法六使用情景已知解題步驟一般利用取對(duì)數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列.【例7】若數(shù)列中，=3且（是正整數(shù)），求它的通項(xiàng)公式是. 【反饋檢測(cè)7】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【反饋檢測(cè)8】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意.都有 ,. (e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828） (1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和； (3)試探究是否存在整數(shù)，使得對(duì)于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第37講：數(shù)列通項(xiàng)的求法二（構(gòu)造法）參考答案【反饋檢測(cè)1答案】=【反饋檢測(cè)2答案】【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】 式可化為： 比較系數(shù)可得：=-6， 式為是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為.即 故.【反饋檢測(cè)3答案】【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】在原等式兩邊同除以，得【反饋檢測(cè)4答案】（1）=5；（2）=.【反饋檢測(cè)5答案】【反饋檢測(cè)5詳細(xì)解析】式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化為：則是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結(jié)果有：.【反饋檢測(cè)6答案】【反饋檢測(cè)6詳細(xì)解析】將兩邊取倒數(shù)得：，這說(shuō)明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.【反饋檢測(cè)7答案】【變式演練7詳細(xì)解析】因?yàn)椋?在式兩邊取常用對(duì)數(shù)得設(shè)所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則.【反饋檢測(cè)8答案】（1），；（2）；（3）時(shí)，原不等式恒成立. （2）由（1）知， 所以，由-得， 所以. （3）由，得，由可得，即使得對(duì)于任意且，不等式恒成立等價(jià)于使得對(duì)于任意且，不等式恒成立. . （或用導(dǎo)數(shù)求在上的最大值.）解得,所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為,所以時(shí)，原不等式恒成立. 11