專題49 二項(xiàng)式定理（1）能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.（2）會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.一、二項(xiàng)式定理，這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，共有n+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù).二項(xiàng)展開式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：.注意：二項(xiàng)式系數(shù)是指，它是組合數(shù)，只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a， b的值有關(guān)如的展開式中，第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，而該項(xiàng)的系數(shù)是.當(dāng)然，某些特殊的二項(xiàng)展開式如，各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)稱性.與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式得到.（2）增減性與最大值.當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的，因此二項(xiàng)式系數(shù)在中間取得最大值.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和.已知.令，則.也就是說，的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為.（4）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即.三、必記結(jié)論（1）是第k1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)（2）通項(xiàng)公式中a，b的位置不能顛倒（3）通項(xiàng)公式中含有a，b，n，k，Tk1五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)就可以求出第五個(gè)，即“知四求一”.考向一 二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項(xiàng)求解,注意k的取值范圍（）.（1）第項(xiàng)：此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng).（2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程.（3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程.典例1 的展開式中,的系數(shù)為A60B-60C240D-240【答案】C【解析】的展開式中第項(xiàng)為,令r=4，可得的系數(shù)為典例2 若a=dx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則二項(xiàng)式(x-)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A-160B160C20D-20【答案】A【解析】由題意得a=dx=ln x=2,則二項(xiàng)式(x-)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng),所以其常數(shù)項(xiàng)為(-2)3=-160.典例3 已知關(guān)于x的二項(xiàng)式(ax-)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,常數(shù)項(xiàng)為112,則a的值為A1B±1C2D±2【答案】D1在二項(xiàng)式(x-)n的展開式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是A-56B-35C35D562若(x2-a)(x+)10的展開式中x6的系數(shù)為30,則a等于A B C1 D23已知在的展開式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).(1)求;(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).考向二 求二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式,對(duì)于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時(shí),令a,b等于多少時(shí), 應(yīng)視具體情況而定,一般取“1,或0”,有時(shí)也取其他值.（1）形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可（2）對(duì)形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可（3）若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5.典例4 若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+a11(x-2)11,則a1+a2+a11的值為A0B-5C5D255【答案】C典例5 已知(1-2x)n的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和是64,則n=;若(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|an|=. 【答案】6729【解析】由于二項(xiàng)式系數(shù)的和2n=64,所以n=6,所以(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a6x6,所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|an|=36=729.典例6 在二項(xiàng)式的展開式中,(1)若所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)(2)若前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列,求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和.n=8,在中，令x=1，得各項(xiàng)系數(shù)和為4若(x+)9的展開式的常數(shù)項(xiàng)為-672,則其所有項(xiàng)的系數(shù)和為.5若(2x-1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a6(x-1)6,則a1+a3+a5=.(用數(shù)字作答)考向三 整除問題利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時(shí)，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開.典例7 利用二項(xiàng)式定理證明2n+2·3n+5n4()能被25整除.n1時(shí)，2n+2·3n5n425.所以，當(dāng)時(shí)，2n+2·3n5n4能被25整除.6被49除所得的余數(shù)是A-14B0C14D351(1+x)7的展開式中x2的系數(shù)是A42B35C28D212二項(xiàng)式的展開式的第二項(xiàng)是A6x4 B6x4C12x4 D12x43若實(shí)數(shù)a=2-,則a10-2a9+22a8-+210=A32B-32C 1024D5124設(shè)二項(xiàng)式(x-)6的展開式的常數(shù)項(xiàng)為m,則dx的值為A BC D5已知x(x-)5的展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為30,則a=A B-C-6 D66若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則|a0 |-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=A243B27C1D-17在的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A135B105C30D158已知(+)5的展開式的第三項(xiàng)為10,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀為 A B C D9在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn中,若2a2+an-5=0,則自然數(shù)n的值是A10 B9C8D710若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a12(x+2)12,則log2(a1+a3+a5+a11)等于A27 B28C7 D811若(-x)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則(-x)n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_.12的展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和等于_.13已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+a7x7的展開式中x4的系數(shù)是-35,則a1+a2+a7=_. 14的二項(xiàng)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)為_.15已知(+)n展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和與其各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為128,則n的值為_.16(x2+2x-3y)5的展開式中,x5y的系數(shù)為_.17設(shè)(5x-)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若M-N=240,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).18求8912除以11的余數(shù).19在二項(xiàng)式(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和;(2)各項(xiàng)系數(shù)之和;(3)各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和.20在二項(xiàng)式的展開式中,(1)寫出其中含的項(xiàng);(2)如果第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,求的值.21已知a>0,b>0,m0,n0,若二項(xiàng)式(axm+bxn)12的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)恰好是常數(shù)項(xiàng),且2m+n=0,求的取值范圍.1（2016四川理科）設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項(xiàng)為A15x4 B15x4C20i x4 D20i x42（2017新課標(biāo)全國理科）展開式中的系數(shù)為A15B20C30D353（2017新課標(biāo)全國理科）的展開式中的系數(shù)為A BC40D804（2017浙江理科）已知多項(xiàng)式，則=_，=_5（2017山東理科）已知的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，則 .6（2016新課標(biāo)全國理科）的展開式中，x3的系數(shù)是 .（用數(shù)字填寫答案）變式拓展1【答案】A2【答案】D【解析】依題意,注意到(x+)10的展開式的通項(xiàng)公式是Tr+1=·x10-r·()r=·x10-2r,(x+)10的展開式中含x4(當(dāng)r=3時(shí)),x6(當(dāng)r=2時(shí))項(xiàng)的系數(shù)分別為,因此由題意得-a=120-45a=30,由此解得a=2,故選D3【解析】(1)=.由第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)得時(shí),即得.(2)由已知得,則有.,，即得展開式中的有理項(xiàng)為.4【答案】-1【解析】(x+)9的展開式的通項(xiàng)Tr+1=·x9-r·()r=·x9-3r·ar,令9-3r=0,得r=3,故·a3=-672,得a=-2.令x=1,則(x+)9=(1-2)9=-1,故(x+)9的所有項(xiàng)的系數(shù)和為-1.5【答案】3646【答案】B【解析】由題可得，=+，所以被49整除，所以余數(shù)為0.故選B考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】D【解析】(1+x)7的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=xr,令r=2,得x2的系數(shù)為=21.2【答案】D【解析】展開式的通項(xiàng)公式,令,可得展開式的第二項(xiàng)為=.選D3【答案】A【解析】因?yàn)?a-2)10=a10-2a9+22a8-+210,a=2-,所以a10-2a9+22a8-+210=(-)10=32.4【答案】C【解析】二項(xiàng)式(x-)6的展開式的常數(shù)項(xiàng)為m=x2(-)4=15, 所以dx=3xdx=cos 3x=cos-(cos 0)=,故選C5【答案】C6【答案】D【解析】由題意得|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1-2)5=-1.7【答案】A【解析】因?yàn)樵诘恼归_式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，即2n=64，所以n=6，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為8【答案】D【解析】由題意得()5-2()2=10,故xy=1(x>0),得y=(x>0).故選D9【答案】C10【答案】C【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+a12=28,令x=-3,得a0-a1+a2-a3+a12=0,將所得兩式作差得2(a1+a3+a11)=28,所以a1+a3+a11=27,所以log2(a1+a3+a11)=7.11【答案】70【解析】依題意得 2n=256,解得n=8,所以Tr+1=()8-r·(-x)r=(-1)rx2r-8,令2r-8=0,則r=4,所以T5=(-1)4=70,所以(-x)n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為70.12【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)為的系數(shù)與的系數(shù)之和等于.故填.13【答案】114【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)為,令,的二項(xiàng)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)為.15【答案】7【解析】令x=1,得(+)n的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為(1+3)n=4n,又(+)n的展開式中的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n, 所以=128,所以2n=128,解得n=7.16【答案】-480【解析】方法一：,其展開式的通項(xiàng)Tr+1=(-3y)r，r=0,1,2,3,4,5,欲求的展開式中x5y的系數(shù),只需令r=1,則(-3y)1展開式中,x5y的系數(shù)為-323=-480.方法二：要得到x5y的系數(shù),第一步,從5個(gè)小括號(hào)(x2+2x-3y)中取一個(gè)二次項(xiàng)x2；第二步,從余下四個(gè)小括號(hào)(x2+2x-3y)中取三個(gè)一次項(xiàng)2x；第三步,從余下一個(gè)小括號(hào)(x2+2x-3y)中取一個(gè)一次項(xiàng)-3y，即×23×(-3)=-480.17【解析】依題意得,M=4n=(2n)2,N=2n,于是有(2n)2-2n=240,(2n+15)(2n-16)=0,2n=16=24,解得n=4.要使二項(xiàng)式系數(shù)最大,則k=2,故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T3=(5x)2·(-)2=150x3.18【解析】8912(188)12.由于上式除第一項(xiàng)外，各項(xiàng)都能被88整除，也就都能被11整除，故8912除以11的余數(shù)是1.20【解析】(1)展開式的通項(xiàng),令10-k=2得k=6.含的項(xiàng)是=.(2)=，3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10,r=1或r=（舍去）.r=1.又a>0,b>0,則,所以.直通高考1【答案】A【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，則，故展開式中含的項(xiàng)為，故選A【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考的內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可二項(xiàng)式可以寫為，則其通項(xiàng)為，則含的項(xiàng)為2【答案】C【解析】因?yàn)?，所以展開式中含的項(xiàng)為，展開式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為，選C【名師點(diǎn)睛】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問題，用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng)，分析含的項(xiàng)共有幾項(xiàng)，進(jìn)行相加即可.這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況，尤其是兩個(gè)二項(xiàng)展開式中的不同.3【答案】C故選C【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.4【答案】16，4【解析】由二項(xiàng)式展開式可得通項(xiàng)公式為：，分別取和可得，取，可得【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題 二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）；（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用5【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，解得【名師點(diǎn)睛】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，確定二項(xiàng)式系數(shù)或確定二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，是二項(xiàng)式定理問題中的基本問題，往往要綜合運(yùn)用二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計(jì)算能力等.6【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)為(，1，2，5)，令得，所以的系數(shù)是.【名師點(diǎn)睛】確定二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)通常是先寫出通項(xiàng),再確定r的值,從而確定指定項(xiàng)系數(shù).19