第39講 數(shù)列求和的方法【知識要點】一、數(shù)列的求和要有通項意識，先要對通項特征進行分析（數(shù)列的通項決定了數(shù)列的求和方法），再確定數(shù)列求和的方法.二、數(shù)列常用的求和方法有六種：求和六法 一公二錯三分四裂五倒六并，最后一定要牢記，公比為1不為1.1、公式法：如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前項和的公式來求和.對于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：常見的數(shù)列的前項和：， =,，等.2、錯位相減法：若數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯位相減法.若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令 ,則兩式錯位相減并化簡整理即得.3、分組求和法：有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.4、裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法.適用于類似（其中是各項不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：，特別地當時， ，特別地當時 5、倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前項和的公式的推導方法.如果一個數(shù)列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和.這一種求和的方法稱為倒序相加法.6.并項求和法.有些數(shù)列的通項里有，這種數(shù)列求和時，一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論.【方法講評】方法一公式法使用情景如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前項和的公式來求和.對于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.解題步驟直接代入公式即可. 【例1】已知等比數(shù)列中，,公比,又分別是某等差數(shù)列的第項，第項，第項.(1)求；(2)設,求數(shù)列的前項和.【解析】（1）依題意有，即,，即2.,.故.【點評】（1）利用公式法求數(shù)列的前項和，一般先求好數(shù)列前項和公式的各個基本量，再代入公式.（2）第2問注意要分類討論，因為與7的大小關系不能確定.【反饋檢測1】已知是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（）求數(shù)列的通項；（）求數(shù)列的前項和. 方法二錯位相減法使用情景已知數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯位相減法.解題步驟若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令，則 兩式相減并整理即得.【例2】 已知函數(shù) ，是數(shù)列的前項和，點（，）（）在曲線上.（）求數(shù)列的通項公式；（）若，且是數(shù)列的前項和. 試問是否存在最大值？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由.（）因為 所以 得 .整理得， 策略二 利用商值比較法由式得.因為所以，即. 所以所以存在最大值.策略三 利用放縮法由式得，又因為是數(shù)列的前項和，所以. 所以所以存在最大值.【反饋檢測2】數(shù)列的通項是關于的不等式的解集中正整數(shù)的個數(shù)，（1）求數(shù)列的通項公式； （2）若，求數(shù)列的前項和；（3）求證：對且恒有方法三分組求和法使用情景有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列.解題步驟可以將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.【例3】已知數(shù)列的前項和為，且滿足（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，其前項和為，試求滿足的最小正整數(shù)（2）設 【點評】（1）數(shù)列求和時，要分成兩個數(shù)列求和，其中一個是數(shù)列通項是，它用錯位相減來求和，另外一個數(shù)列是，它是一個等差數(shù)列，直接用公式法求和.（2）解不等式時，直接用代值試驗解答就可以了.【反饋檢測3】已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.方法四裂項相消法使用情景類似（其中是各項不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.解題步驟把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前項的和變成首尾若干少數(shù)項之和. 【例4】 已知等差數(shù)列滿足：，.的前項和為. （）求 及；（）令（）,求數(shù)列的前項和.【解析】（）設等差數(shù)列的公差為，因為，所以有，解得，所以；=.（）由（）知，所以bn=，【點評】利用裂項相消時，注意消了哪些項，保留了哪些項.如，.為了確定保留了哪些項，最好前后多寫一些項.【反饋檢測4】 設數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和. 【反饋檢測5】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且().() 求的值及數(shù)列的通項公式； () 記數(shù)列的前項和為,求證:().方法五倒序相加法使用情景如果一個數(shù)列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和.解題步驟可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和.【例5 】 已知數(shù)列的前項和，函數(shù)對有，數(shù)列滿足.（1）分別求數(shù)列、的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，若存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立，求的取值范圍【解析】（1） -得 即 要使得不等式恒成立,對于一切的恒成立,即 令,則當且僅當時等號成立,故 所以為所求. 【點評】如果一個數(shù)列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可以利用倒序相加法求和.【例6】求證：【點評】如果一個數(shù)列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可以利用倒序相加法求和.【反饋檢測6】已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.方法六并項求和法使用情景有些數(shù)列的通項里有，這種數(shù)列求和時，一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論.解題步驟一般把項數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分類討論. 【例7】求和：【解析】當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，【點評】（1）如果數(shù)列的通項里有，這種數(shù)列求和時，一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論.把兩項合成一項來求和. (2)這種情況最好先計算偶數(shù)的情況，再計算奇數(shù)的情況.討論奇數(shù)情況時，為了減少計算量，提高計算效率，可以利用，而可以利用前面計算出來的偶數(shù)的結論（因為是偶數(shù)），只要把偶數(shù)情況下表達式中所有的都換成即可.【反饋檢測7】已知數(shù)列的首項為，前項和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第39講：數(shù)列求和的方法參考答案【反饋檢測1答案】（1）；（2）.【反饋檢測1詳細解析】（）由題設知公差，由，成等比數(shù)列得，解得， 故的通項.()由（）知，由等比數(shù)列前項和公式得.【反饋檢測2答案】（1）；（2）；（3）見解析.（3） 由知于是故當且時為增函數(shù) 綜上可知 . （2）由（1）知，故數(shù)列的前項和【反饋檢測4答案】（1）；（2）.【反饋檢測4詳細解答】（1）因為， 所以當時， 當時， ，得，所以因為，適合上式，所以；（2）由（1）得，所以，所以【反饋檢測5答案】（1）， ；（2）見后面解析.【反饋檢測5詳細解析】()當時,解得或(舍去) 當時,相減得即,又,所以,則,所以是首項為,公差為的等差數(shù)列,故 證法二:當時,當時,先證,即證顯然成立.所以所以, 綜上,對任意,均有成立.【反饋檢測6答案】（1）；（2）.【反饋檢測7答案】（1）；（2）【反饋檢測7詳細解析】（1）（1）由已知得， 當時，（2）由可得當為偶數(shù)時，綜上， 16