第77講 軌跡方程的求法【知識(shí)要點(diǎn)】 一、“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義 在直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解（純粹性）；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上（完備性）.那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.二、求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟：建設(shè)限代化（1） 建立直角坐標(biāo)系：利用垂直性和對(duì)稱(chēng)性建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（2） 設(shè)點(diǎn)：用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（不要把其它的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成）；（3） 列出動(dòng)點(diǎn)滿足的限制條件：用坐標(biāo)表示條件,列出方程；（4） 代點(diǎn)坐標(biāo)到方程；（5） 化簡(jiǎn)：化方程為最簡(jiǎn)形式；（6） 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)?zāi)承┨厥恻c(diǎn)是否滿足題意，把不滿足的點(diǎn)排除，把滿足的點(diǎn)補(bǔ)充上來(lái).（可以省略）三、求軌跡方程的四種主要方法 ：軌跡四法 待代直參 （1）待定系數(shù)法：通過(guò)對(duì)已知條件的分析，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)滿足某個(gè)曲線（圓、圓錐曲線）的定義，然后設(shè)出曲線的方程，求出其中的待定系數(shù)，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（2）代入法：如果點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起的，可以先用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入點(diǎn)滿足的方程，即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（3）直接法：直接把已知的方程和條件化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（4）參數(shù)法：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即，再消參. 四、軌跡和軌跡方程 軌跡和軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，軌跡表示的曲線的簡(jiǎn)單特征的描述，而求軌跡方程只求那個(gè)方程即可，不需描述曲線的特征.【方法講評(píng)】 方法一直接法使用情景已知中或圖形中有動(dòng)點(diǎn)滿足的方程.解題步驟直接把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的方程化簡(jiǎn)即可. 【例1】線段與互相垂直平分于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 【解析】 【點(diǎn)評(píng)】（1）這種題目由于已知中沒(méi)有直角坐標(biāo)系，所以首先要根據(jù)垂直性和對(duì)稱(chēng)性建立直角坐標(biāo)系，由于建立坐標(biāo)系的方法有多種，所以求出的軌跡方程有多種，但是都是對(duì)的；（2）這道題是直接用坐標(biāo)化簡(jiǎn)已知中的得到的軌跡方程，運(yùn)用的是直接法. 【例2】 已知圓： ，由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，并且，求點(diǎn)的軌跡. 【點(diǎn)評(píng)】（1）這道題運(yùn)用的是直接法，但是它是把已知條件轉(zhuǎn)化得到的一個(gè)等式，不是現(xiàn)存的等式.（2）軌跡和軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，軌跡包含軌跡方程和對(duì)軌跡方程表示的曲線的簡(jiǎn)單特征的描述，而求軌跡方程只求那個(gè)方程即可，不需描述曲線的特征.所以本題要描述軌跡的基本特征. 【反饋檢測(cè)1】在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，動(dòng)點(diǎn)滿足:直線與直線的斜率之積為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡的左右頂點(diǎn)，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在x軸上），連交的軌跡于點(diǎn)，連并延長(zhǎng)交的軌跡于點(diǎn)，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若成立，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 【反饋檢測(cè)2】一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn). （1）求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程式；（2）若過(guò)點(diǎn)（）的兩條直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)，且 ,求的值. 方法二待定系數(shù)法使用情景通過(guò)已知條件的分析可以得到動(dòng)點(diǎn)滿足某種曲線（圓、圓錐曲線）的定義.解題步驟（1）分析出動(dòng)點(diǎn)滿足的方程；（2）證明動(dòng)點(diǎn)滿足某曲線（圓、圓錐曲線）的定義；（3）設(shè)出該曲線的待定系數(shù)方程；（4）求出待定系數(shù)，即得所求的軌跡方程.【例3】 已知?jiǎng)訄AP與兩定圓和都外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程 【點(diǎn)評(píng)】（1）此道題通過(guò)對(duì)已知的分析得到，即動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差是一個(gè)常數(shù)，與雙曲線的定義相符，所以其軌跡是雙曲線的一支，利用的是待定系數(shù)法；（2）利用待定系數(shù)法求軌跡方程時(shí)，一定要比較全面地分析條件和曲線的定義，看是曲線的全部，還是曲線的部分，此題也不是雙曲線的全部，是雙曲線的一支. 【例4】已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到點(diǎn)到直線的距離小4；（）求點(diǎn)的軌跡的方程；（）若曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:對(duì)稱(chēng)，求直線的方程.【解析】（1）結(jié)合圖形知，點(diǎn)不可能在軸的左側(cè)，即到點(diǎn)的距離等于到直線的距離的軌跡是拋物線，為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的軌跡方程是： （2）設(shè)則 相減得 又的斜率為4則 中點(diǎn)的坐標(biāo)為， 即經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意【點(diǎn)評(píng)】（1）本題的第一問(wèn)利用的就是待定系數(shù)法，通過(guò)對(duì)動(dòng)點(diǎn)的分析，發(fā)現(xiàn)它滿足拋物線的定義,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線.(2)第二小問(wèn)利用了點(diǎn)差法，可以提高解題效率.【反饋檢測(cè)3】已知垂直平分線與交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)且斜率為（）的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn),，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為.求證:為定值. 方法三代入法使用情景某被動(dòng)點(diǎn)之所以在運(yùn)動(dòng)，是因?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)在某曲線上運(yùn)動(dòng)引起的.解題步驟（1）先利用被動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入它滿足的方程化簡(jiǎn). 【例5】已知拋物線和點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，當(dāng)點(diǎn)在該拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程 【點(diǎn)評(píng)】點(diǎn)之所以在動(dòng)，就是因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)，所以點(diǎn)是被動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)，這種情景，應(yīng)該利用代入法求軌跡方程. 【反饋檢測(cè)4】 已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求的重心的軌跡方程 方法四消參法使用情景如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)的變化引起的.解題步驟（1）選參設(shè)參；（2）用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即；（3）消去參數(shù)，化簡(jiǎn). 【例6】已知曲線（1）證明:當(dāng)時(shí)，曲線是一個(gè)圓；（2）求證圓心在一條定直線上. 【點(diǎn)評(píng)】（1）此題求圓心在一定直線上，就是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線；（2）圓心的運(yùn)動(dòng)主要是因?yàn)閰?shù)引起的，所以選用消參法解答.【反饋檢測(cè)5】 已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點(diǎn)，使有向線段滿足，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程 高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第77講:軌跡方程的求法參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】（1）；（2）直線恒過(guò)定點(diǎn) 【反饋檢測(cè)2答案】（1）；（2）.【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】由雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為得.所以兩式相乘得而點(diǎn)在雙曲線上，所以即故，即.（2）設(shè)，則由知，.將代入得，即，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，即.同理，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，消去得，即，從而，即.【反饋檢測(cè)3答案】（1）;（2）. （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)（1,0），且斜率為（）的直線方程為，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn), 將直線方程代入橢圓： ，整理得：， 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，且. 直線的方程為，直線的方程為，令，得點(diǎn)，點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐 直線的斜率為. 將代入上式得，. 所以為定值. 【反饋檢測(cè)4答案】 【反饋檢測(cè)5答案】【反饋檢測(cè)5詳細(xì)解析】如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)，則由題意，得由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為兩式相乘，消去，得這就是所求點(diǎn)的軌跡方程10