第07講：導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理【知識要點】 在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和高考中，我們經(jīng)常會遇到不等式的雙變量的存在性和任意性問題，學(xué)生由于對于這類問題理解不清，很容易和不等式的恒成立問題混淆，面對這類問題總是感到很棘手，或在解題中出現(xiàn)知識性錯誤. 1、雙存在性問題“存在，存在，使得成立”稱為不等式的雙存在性問題，存在，存在，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個函數(shù)值小.，即.（見下圖1）“存在，存在，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個函數(shù)值大，即.（見下圖2）2、雙任意性問題“任意，對任意的，使得成立” 稱為不等式的雙任意性問題. 任意，對任意的，使得成立，即在區(qū)間任意一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個函數(shù)值都要小，即. “任意，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)任意一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個函數(shù)值都要大,即.3、存在任意性問題“存在，對任意的，使得成立” 稱為不等式的存在任意性問題. 存在，對任意的，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個函數(shù)值都要小，即. （見下圖3）“存在，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個函數(shù)值都要大，即.（見下圖4）【方法講評】題型一雙存在性問題使用情景不等式中的兩個自變量屬性都是存在性的.解題理論存在，存在，使得成立” 稱為不等式的雙存在性問題，存在，存在，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個函數(shù)值小，即.“存在，存在，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個函數(shù)值大，即.【例1】已知函數(shù).（）討論的單調(diào)性；（）當時，設(shè)，若存在，使，求實數(shù)的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)，）當時，,當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間.當時，的減區(qū)間為.當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為. （）由（）可知在上的最大值為， ，令，得.時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增， 所以在上的最小值為， 由題意可知，解得, 所以.【點評】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題，關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系，所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解（見前面的知識要點），也可以這樣記憶，雙存在性問題兩邊的最值相反.【反饋檢測1】設(shè)函數(shù)，（1）若是函數(shù)的一個極值點，試求出關(guān)于的關(guān)系式（用表示）,并確定的單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）的條件下，設(shè)，函數(shù)，若存在使得成立，求的取值范圍.題型二雙任意性問題使用情景不等式的兩個自變量屬性都是任意的.解題理論“任意，對任意的，使得成立” 稱為不等式的雙任意性問題. 任意，對任意的，使得成立，即在區(qū)間任意一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個函數(shù)值都要小，即. “任意，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)任意一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個函數(shù)值都要大,即.【例2】已知函數(shù)若不等式對所有，都成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】則對所有的，都成立，令，是關(guān)于的一次函數(shù)，因為，所以【點評】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題，關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系，所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解（見前面的知識要點），也可以這樣記憶，雙任意性問題，兩邊的最值相反. 【反饋檢測2】已知函數(shù)，.（）討論的單調(diào)性；（）對于任意，任意，總有，求的取值范圍. 題型三存在任意性使用情景不等式的兩個自變量一個屬性是存在性的，一個是任意性的.解題理論“存在，對任意的，使得成立”稱為不等式的存在任意性問題. 存在，對任意的，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個函數(shù)值都要小，即.“存在，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個函數(shù)值都要大，即.【例3】（2010高考山東理數(shù)第22題）已知函數(shù).()當時，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.（1）當時，當,函數(shù)單調(diào)遞減；當，函數(shù)單調(diào)遞增.(2)當時，由，即，解得.當時，恒成立，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)遞減.當時，當,函數(shù)單調(diào)遞減；當，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當時，恒成立，此時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.（）當時，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意，有又已知存在，使，所以，（）又當時，與（）矛盾；當時，也與（）矛盾；當時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點評】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題，關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系，所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解（見前面的知識要點），也可以這樣記憶，存在任意性問題，兩邊的最值相同. 【反饋檢測3】已知函數(shù).（）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）已知，函數(shù).若對任意，都存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.高中數(shù)學(xué)熱點難點突破技巧第07講：導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理參考答案【反饋檢測1答案】（1）；（2） .令，得或 是極值點，即 當即時，由得或由得當即時，由得或由得綜上可知：當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）由（1）知，當a>0時，在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又，函數(shù)在區(qū)間0，4上的值域是，即又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是，存在使得成立只須僅須<1【反饋檢測2答案】（）當時，遞減區(qū)間為，不存在增區(qū)間；當時，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間；（）.遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間；綜上：當時，遞減區(qū)間為，不存在增區(qū)間；當時，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間；（）令，由已知得只需即若對任意，恒成立，即令，則設(shè)，則在遞減，即在遞減即的取值范圍為【反饋檢測3答案】（I）詳見解析；（II）.【反饋檢測3詳細解析】當時，或，在上遞增，在和上遞減；，在上遞減.(II)由（2）知在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增，內(nèi)單調(diào)遞減，又，故有，只需在0,2上最小值小于等于-1即可. 即時最小值，不合題意，舍去；即時最小值；即時最小值；綜上所述：.10