第93講 極坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題的處理【知識要點】一、在平面內(nèi)取一個定點為極點，引一條射線為叫做極軸，再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.對于平面內(nèi)的點，設(shè)， ，稱、為點的極徑、極角，有序數(shù)對就叫做的極坐標(biāo).二、直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.平面內(nèi)任意一點的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為和，則由三角函數(shù)的定義可以得到： （求點的直角坐標(biāo)的公式），（求點的極坐標(biāo)的公式,求極角時要先定位后定量）.表示過原點且傾斜角為的直線, 表示過原點且傾斜角為的向上的射線.三、參數(shù)方程的定義：一般地，在平面直角坐標(biāo)中，如果曲線上任一點的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù)，反過來，對于的每個允許值，由函數(shù)式所確定的點都在曲線上，那么方程叫做曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)是參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的叫普通方程四、常見曲線的參數(shù)方程：（1）圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）；（2）橢圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）；（3）雙曲線的參數(shù)方程 （為參數(shù)）；（4）拋物線參數(shù)方程 為參數(shù)）；（5）過定點、傾斜角為的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）.當(dāng)動點在定點上方時,. 當(dāng)動點在定點下方時,.【方法講評】方法一轉(zhuǎn)化法解題步驟先把已知條件都化成直角坐標(biāo)，再利用解析幾何的知識解答.【例1】【2017課標(biāo)3，理科22】在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cos+sin)=0，M為l3與C的交點，求M的極徑.【點評】本題就是轉(zhuǎn)化法解答極坐標(biāo)與參數(shù)方程問題的典型例子.第2問直接把條件化成直角坐標(biāo)再解答，比較直接，解題效率也比較高. 【反饋檢測1】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線和公共弦的長度方法二用極坐標(biāo)解決解析幾何問題解題步驟把已知條件化成極坐標(biāo)，再利用極坐標(biāo)的知識解答.【例2】【2017課標(biāo)II，理22】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足,求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點的極坐標(biāo)為，點在曲線上，求面積的最大值.（2）設(shè)點的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知,當(dāng)時，S取得最大值，所以O(shè)AB面積的最大值為. 【點評】(1)本題的兩問，如果用直角坐標(biāo)來解答，思路難找，計算量大，解題效率低. 如果用極坐標(biāo)來解答，問題就簡單了很多. (2)怎么聯(lián)想到利用極坐標(biāo)解答呢？因為已知里面有信息，譬如，第1問中，就是點的極徑，就是點的極徑，并且點的極角相同，所以用極坐標(biāo)解答就自然了，所以我們要注意觀察已知的信息. 第2小問的觀察和思維類似. 【反饋檢測2】在直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線為參數(shù)）， 以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若射線分別交于兩點， 求的最大值 方法三用圓錐曲線參數(shù)方程解決解析幾何的問題解題步驟先把某些已知條件化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程的知識解答.【例3】【2017課標(biāo)1，理22】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為.（1）若，求與的交點坐標(biāo)；（2）若上的點到的距離的最大值為，求.從而與的交點坐標(biāo)為，.【點評】(1)本題就是利用圓錐曲線解決解析幾何問題的典型例子.本題如果把已知條件都化成直角坐標(biāo)再解答，計算量比較復(fù)雜，解題效率比較低. 但是如果利用圓錐參數(shù)方程設(shè)點的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)的知識來解答，計算量小，解題效率高了很多. (2)圓錐曲線的參數(shù)方程的一個重要作用就是設(shè)點.所以一般情況下，設(shè)點有三種方式，一是利用直角坐標(biāo)設(shè)點，這是最普遍的一種.二是利用參數(shù)方程設(shè)點，三是利用極坐標(biāo)設(shè)點，大家要注意靈活選用.【反饋檢測3】（2016年全國III高考）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為 .（I）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（II）設(shè)點P在上，點Q在上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).方法四用直線參數(shù)方程解決解析幾何的問題解題步驟先把某些已知條件化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程的知識解答.【例4】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于點，若點的坐標(biāo)為，求.【點評】（1）直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是這樣的：如果點在定點的上方，則點對應(yīng)的參數(shù)就表示點到點的距離,即.如果點在定點的下方，則點對應(yīng)的參數(shù)就表示點到點的距離的相反數(shù)，即.（2）由 直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得：如果求直線上兩點間的距離,不管兩點在哪里，總有.【反饋檢測4】在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為，點以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系（1）求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的值【反饋檢測5】在直角坐標(biāo)系中，直線過，傾斜角為（）以為極點，軸非負半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線與曲線交于、兩點，且，求直線的斜率高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第93講：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題的處理參考答案【反饋檢測1答案】（1）,；（2）.【反饋檢測2答案】（1）(cossin)4，2cos；（2）(1).【反饋檢測2詳細解析】（1）C1：(cossin)4，C2的普通方程為(x1)2y21，所以2cos （2）設(shè)A(1，)，B(2，)，則1，22cos， ×2cos(cossin)(cos2sin21)cos(2)1， 當(dāng)時，取得最大值(1) 【反饋檢測3答案】(1)；（2）最小值為，此時的坐標(biāo)為.【反饋檢測3詳細解析】(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為，因為是直線，所以|PQ|的最小值，即為P到的距離的最小值, .當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，最小值為此時P的直角坐標(biāo)為.【反饋檢測4答案】（1），；（2）.【反饋檢測5答案】（1），；（2）.【反饋檢測5詳細解析】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由，得，曲線的直角坐標(biāo)方程為 （2）把，代入得，設(shè)，兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為與，則，易知與異號，又，消去與，得，即9