思想方法訓練3　數(shù)形結(jié)合思想 能力突破訓練 1.若i為虛數(shù)單位,圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z,則復數(shù)對應的點位于復平面內(nèi)的(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.方程sinx的實數(shù)解的個數(shù)是(　　) A.2 B.3 C.4 D.以上均不對 3.若x∈{x|log2x=2-x},則(　　) A.x2>x>1 B.x2>1>x C.1>x2>x D.x>1>x2 4.若函數(shù)f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在區(qū)間(-∞,b]上取得最小值3-4a時所對應的x的值恰有兩個,則實數(shù)b的值等于(　　) A.2± B.2-或6-3 C.6±3 D.2+或6+3 5.已知函數(shù)f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是(　　) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 6.已知函數(shù)f(x)=與g(x)=x3+t,若f(x)與g(x)圖象的交點在直線y=x的兩側(cè),則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A.(-6,0] B.(-6,6) C.(4,+∞) D.(-4,4) 7.“a≤0”是“函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 8.在平面直角坐標系xOy中,若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個交點,則a的值為　　　　　.  9.函數(shù)f(x)=2sin xsin-x2的零點個數(shù)為　　　　　.  10.若不等式≤k(x+2)-的解集為區(qū)間[a,b],且b-a=2,則k=　　　　　.  11.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=　　　　　.  12.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分圖象如圖所示. (1)求f(x)的解析式; (2)設g(x)=,求函數(shù)g(x)在x∈上的最大值,并確定此時x的值. 思維提升訓練 13.已知函數(shù)f(x)=函數(shù)g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函數(shù)y=f(x)-g(x)恰有4個零點,則b的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 14.設函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 15.在平面上,過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影,由區(qū)域中的點在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB,則|AB|= (　　) A.2 B.4 C.3 D.6 16.(2017北京,理14)三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖所示,其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù),點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù),i=1,2,3. (1)記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是　　　　　;  (2)記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù),則p1,p2,p3中最大的是　　　　　.  17.設函數(shù)f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它們的圖象在x=1處的切線互相平行. (1)求b的值; (2)若函數(shù)F(x)=且方程F(x)=a2有且僅有四個解,求實數(shù)a的取值范圍. 參考答案 思想方法訓練3　數(shù)形結(jié)合思想 能力突破訓練 1.D　解析由題圖知,z=2+i,則i,則對應的點位于復平面內(nèi)的第四象限.故選D. 2.B　解析在同一坐標系內(nèi)作出y=sin與y=x的圖象,如圖,可知它們有3個不同的交點. 3.A　解析設y1=log2x,y2=2-x,在同一坐標系中作出其圖象,如圖,由圖知,交點的橫坐標x>1,則有x2>x>1. 4.D　解析結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象(圖略)知,3-4a=-a2,即a=1或a=3. 當a=1時,-b2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+;當a=3時,-b2+12b-27=-9(b>9),解得b=6+3,故選D. 5.C　解析 作出f(x)的大致圖象.由圖象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨設a<b<c, 則-lga=lgb=-c+6. ∴l(xiāng)ga+lgb=0,∴ab=1,∴abc=c. 由圖知10<c<12,∴abc∈(10,12). 6.B　 解析如圖,由題知,若f(x)=與g(x)=x3+t圖象的交點位于y=x兩側(cè),則有解得-6<t<6. 7.C　解析當a=0時,f(x)=|x|在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當a<0,x>0時,f(x)=(-ax+1)x=-ax,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當a>0時,函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|的圖象大致如圖. 函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上有增有減,從而“a≤0”是“函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增”的充要條件,故選C. 8.-　解析 在同一坐標系中畫出y=2a和y=|x-a|-1的圖象如圖.由圖可知,要使兩函數(shù)的圖象只有一個交點,則2a=-1,a=- 9.2　解析f(x)=2sinxsin-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2. 如圖,在同一平面直角坐標系中作出y=sin2x與y=x2的圖象,當x≥0時,兩圖象有2個交點,當x<0時,兩圖象無交點, 綜上,兩圖象有2個交點,即函數(shù)的零點個數(shù)為2. 10　 解析令y1=,y2=k(x+2)-,在同一個坐標系中作出其圖象,如圖. k(x+2)-的解集為[a,b],且b-a=2, 結(jié)合圖象知b=3,a=1,即直線與圓的交點坐標為(1,2),∴k= 11.-8　解析因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),即f(4-x)=f(x). 因此,函數(shù)圖象關于直線x=2對稱且f(0)=0, 由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x). 又因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù), 所以f(x)在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù),如圖所示(草圖), 方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,不妨設x1<x2<x3<x4. 由對稱性知x1+x2=-12,x3+x4=4, 所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 12.解(1)由題圖知A=2,,則=4,得ω= 又f=2sin =2sin=0, ∴sin=0. ∵0<φ<,-<φ-, ∴φ-=0,即φ=, ∴f(x)的解析式為f(x)=2sin (2)由(1)可得f =2sin =2sin, g(x)==4=2-2cos ∵x,∴-3x+, ∴當3x+=π,即x=時,g(x)max=4. 思維提升訓練 13.D　解析由f(x)=得f(x)= f(2-x)= 所以f(x)+f(2-x)= 因為函數(shù)y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4個零點, 所以函數(shù)y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個不同的交點. 畫出函數(shù)y=f(x)+f(2-x)的圖象,如圖. 由圖可知,當b時,函數(shù)y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個不同的交點.故選D. 14.D　解析設g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),則不等式f(x)<0即為g(x)<h(x). 因為g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1), 當x<-時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減; 當x>-時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增. 所以g(x)的最小值為g 而函數(shù)h(x)=a(x-1)表示經(jīng)過點P(1,0),斜率為a的直線. 如圖,分別作出函數(shù)g(x)=ex(2x-1)與h(x)=a(x-1)的大致圖象. 顯然,當a≤0時,滿足不等式g(x)<h(x)的整數(shù)有無數(shù)多個. 函數(shù)g(x)=ex(2x-1)的圖象與y軸的交點為A(0,-1),與x軸的交點為D 取點C 由圖可知,不等式g(x)<h(x)只有一個整數(shù)解時,須滿足kPC≤a<kPA. 而kPC=,kPA==1, 所以a<1.故選D. 15.C　解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示. 作出直線x+y-2=0. 設直線x-3y+4=0與x+y=0的交點為C,直線x=2與直線x+y=0的交點為D. 過C作CA⊥直線x+y-2=0于點A, 過D作DB⊥直線x+y-2=0于點B, 則區(qū)域中的點在直線x+y-2=0上的投影為AB. ∵直線x+y-2=0與直線x+y=0平行,∴|CD|=|AB|. 由C點坐標為(-1,1). 由D點坐標為(2,-2). ∴|CD|==3,即|AB|=3故選C. 16.(1)Q1　(2)p2　解析 (1)連接A1B1,A2B2,A3B3,分別取線段A1B1,A2B2,A3B3的中點C1,C2,C3,顯然Ci的縱坐標即為第i名工人一天平均加工的零件數(shù),由圖可得點C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1. (2)設某工人上午、下午加工的零件數(shù)分別為y1,y2,工作時間分別為x1,x2,則該工人這一天中平均每小時加工的零件數(shù)為p==kOC(C為點(x1,y1)和(x2,y2)的中點),由圖可得,故p1,p2,p3中最大的是p2. 17.解函數(shù)g(x)=bx2-lnx的定義域為(0,+∞). (1)f'(x)=3ax2-3a?f'(1)=0,g'(x)=2bx-g'(1)=2b-1,依題意2b-1=0,得b= (2)當x∈(0,1)時,g'(x)=x-<0,當x∈(1,+∞)時,g'(x)=x->0. 所以當x=1時,g(x)取得極小值g(1)= 當a=0時,方程F(x)=a2不可能有且僅有四個解. 當a<0,x∈(-∞,-1)時,f'(x)<0,當x∈(-1,0)時,f'(x)>0, 所以當x=-1時,f(x)取得極小值f(-1)=2a, 又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖①所示. 從圖象可以看出F(x)=a2不可能有四個解. 當a>0,x∈(-∞,-1)時,f'(x)>0,當x∈(-1,0)時,f'(x)<0, 所以當x=-1時,f(x)取得極大值f(-1)=2a. 又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖②所示. 從圖象看出方程F(x)=a2有四個解,則<a2<2a, 所以實數(shù)a的取值范圍是 圖① 圖② - 11 -