第第7課時(shí)相似三角形的綜合應(yīng)用課時(shí)相似三角形的綜合應(yīng)用考點(diǎn)考點(diǎn) 1 相似三角形的判定思路相似三角形的判定思路判判定定思思路路 有平行截線有平行截線 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，構(gòu)成的三角形與原三角（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似形相似有一有一對(duì)等對(duì)等角角 證另一對(duì)等角證另一對(duì)等角 證該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例證該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例 證第三邊也對(duì)應(yīng)成比例證第三邊也對(duì)應(yīng)成比例 證夾角相等證夾角相等 證有一對(duì)角是直角證有一對(duì)角是直角 判判定定思思路路 有兩邊對(duì)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例應(yīng)成比例 頂角相等頂角相等 一對(duì)底角相等一對(duì)底角相等 底和腰對(duì)應(yīng)成比例底和腰對(duì)應(yīng)成比例 已知直角已知直角 證一對(duì)銳角相等證一對(duì)銳角相等 證兩組對(duì)應(yīng)邊成比例證兩組對(duì)應(yīng)邊成比例已知等腰三角形已知等腰三角形考點(diǎn)考點(diǎn) 2 相似三角形考查比較有特點(diǎn)的題干特征或設(shè)問(wèn)特征相似三角形考查比較有特點(diǎn)的題干特征或設(shè)問(wèn)特征1. 題干特征：有平行線；有中位線題干特征：有平行線；有中位線(或兩邊中點(diǎn)或兩邊中點(diǎn))；已；已知線段比值知線段比值(或銳角三角函數(shù)值或銳角三角函數(shù)值)；已知線段比例關(guān)系；已知線段比例關(guān)系；有等角有等角(或角平分線或角平分線)；2. 設(shè)問(wèn)特征：直接證相似；求線段比值；證線段比設(shè)問(wèn)特征：直接證相似；求線段比值；證線段比例關(guān)系、線段乘積關(guān)系例關(guān)系、線段乘積關(guān)系(常通過(guò)觀察線段所在三角形將線段常通過(guò)觀察線段所在三角形將線段乘積關(guān)系轉(zhuǎn)換為線段比例關(guān)系乘積關(guān)系轉(zhuǎn)換為線段比例關(guān)系)；證線段倍數(shù)關(guān)系；求；證線段倍數(shù)關(guān)系；求兩三角形周長(zhǎng)、面積、中線、高線的比值兩三角形周長(zhǎng)、面積、中線、高線的比值考點(diǎn)考點(diǎn) 3相似三角形的常見(jiàn)模型相似三角形的常見(jiàn)模型模型模型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論A字字型型有一個(gè)公共角有一個(gè)公共角(第第1、2個(gè)圖個(gè)圖)或角或角有公共部分有公共部分(第第3個(gè)圖個(gè)圖，DAFBADDAFEAF)模型模型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論8字型字型有一組對(duì)頂角有一組對(duì)頂角母子型母子型1. 有一個(gè)公共角和公共角的一有一個(gè)公共角和公共角的一邊為公共邊邊為公共邊2. AC2ADAB(AC為公共邊為公共邊，AD、AB為有部分重合的邊為有部分重合的邊)模型模型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論雙垂直型雙垂直型(母子型母子型特殊形式特殊形式)1. 有一個(gè)公共角有一個(gè)公共角，角兩角兩邊有重合部分邊有重合部分2. 第第1個(gè)圖形個(gè)圖形AC2ADAB仍成立仍成立，且且CD2ADBD(射影射影定理定理)模型模型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論(以下三個(gè)以下三個(gè)模型是以模型是以等腰三角等腰三角形或者等形或者等邊三角形邊三角形為背景為背景)三個(gè)等角頂點(diǎn)在三個(gè)等角頂點(diǎn)在同一直線上同一直線上，稱稱一線三等角模型一線三等角模型，其中其中123，可根據(jù)可根據(jù)118045，218046得得56，可得圖中兩陰可得圖中兩陰影部分三角形相影部分三角形相似似模模型型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論結(jié)論推導(dǎo)結(jié)論推導(dǎo)，如第如第1個(gè)個(gè)圖形圖形，DDBAEEBCDBAEBC90，EBCD，EDBA，且一組直角相等且一組直角相等，用任意兩組等角用任意兩組等角即可證得三角形相即可證得三角形相似似三垂直常存在的圖形背景三垂直常存在的圖形背景 拓展訓(xùn)練1. (2017黔西南州黔西南州)如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)是反比例函數(shù)y (x0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OA，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作作OBOA，并且使，并且使OB2OA，連接，連接AB，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B也在某一反比例函數(shù)也在某一反比例函數(shù)y 圖象上移動(dòng)，則圖象上移動(dòng)，則k的值為的值為()A. 4 B. 4 C. 2 D. 2第第1題圖題圖1xkxA【解析解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)如解圖，過(guò)點(diǎn)A作作AMx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作作BNx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)N，BNOAMO90，NBOBON90，又，又OBOA，BONAOM90，NBOAOM，OAMBON， ，又，又OB2OA，ON2AM，BN2OM，點(diǎn)點(diǎn)A在反比例函數(shù)在反比例函數(shù)y (x0)的圖象上，的圖象上，OAAMOMBOONBN1xOMAM1，ONBN2AM2OM4.點(diǎn)點(diǎn)B在反比例在反比例函數(shù)函數(shù)y 的圖象上，的圖象上，|k|ONBN4，k4，反反比例函數(shù)比例函數(shù)y 的圖象在第二象限，的圖象在第二象限，k4.第第1題解圖題解圖kxkx2. (2017河池河池)如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，中，AB ，E是是BC的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，AEBD于點(diǎn)于點(diǎn)F，則，則CF的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是_第第2題圖題圖22【解析解析】四邊形四邊形ABCD是矩形，是矩形，ABEBCD90，BAEBEA90，AEBD，BEAFBE90，BAECBD，ABEBCD， ，即，即 ，解得，解得BE1，BC2，如解，如解圖，過(guò)點(diǎn)圖，過(guò)點(diǎn)F作作FGBC，AB ，BE1，AE ，ABBEBCCD 222BEBE 2223ABBEBAEEBF，ABEBFE， ，即即 ，解得，解得FE ，F(xiàn)GAB，EF AE，GF AB ，EG BE ，GC ，由勾股，由勾股定理得，定理得，CF .第第2題解圖題解圖BEAEFEBE 13FE 3313132313134322242333. (2016陜西陜西)已知一次函數(shù)已知一次函數(shù)y2x4的圖象分別交的圖象分別交x軸、軸、y軸軸于于A、B兩點(diǎn)若這個(gè)一次函數(shù)的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)的兩點(diǎn)若這個(gè)一次函數(shù)的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)圖象在第一象限交于點(diǎn)C，且，且AB2BC，則這個(gè)反比例函數(shù)，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為的表達(dá)式為_(kāi)6xy【解析解析】根據(jù)題意畫出圖象如解圖，過(guò)點(diǎn)根據(jù)題意畫出圖象如解圖，過(guò)點(diǎn)C作作CDy軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)D，分別令，分別令y0，x0，得，得x2，y4，由題意知點(diǎn)，由題意知點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，則，則OB4，OA2，CDOA，CDBAOB， ，AB2BC， ， ， ，解得，解得CD1，BD2，OD6，點(diǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，6)，設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y ，6 ，解得，解得k6，反比例函數(shù)的表達(dá)反比例函數(shù)的表達(dá)式為式為y .CDBDBCAOBOAB12BCAB 12CDAO 12BDBO kx1k6x第第3題解圖題解圖一題多解：如解圖，過(guò)點(diǎn)一題多解：如解圖，過(guò)點(diǎn)C作作CDx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(a，b)，則，則CDb，ODa，由題，由題意知點(diǎn)意知點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，則，則OB4，OA2，又又CDOB，AOBADC， ，AB2BC， ， ，解得，解得a1，b6.設(shè)反比例函數(shù)的表設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為達(dá)式為y ，6 ，解得，解得k6，反比例函數(shù)反比例函數(shù)的表達(dá)式為的表達(dá)式為y .OBOAABDCDAAC23ABAC 42223 bakx1k6x第第3題解圖題解圖4. (2015崇左崇左)一塊材料的形狀是銳角三角形一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊，邊BC120 mm，高，高AD80 mm，將它加工成正方形零件如圖，將它加工成正方形零件如圖，使正方形的一邊在使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上上第第4題圖題圖(1)求證：求證：AEFABC；(2)求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)；求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)；(3)如果把它加工成矩形零件如圖，問(wèn)這個(gè)矩形的最大面如果把它加工成矩形零件如圖，問(wèn)這個(gè)矩形的最大面積是多少？積是多少？(1)證明：證明：四邊形四邊形EFHG為正方形，為正方形，BCEF，AEFABC；(2)解：解：四邊形四邊形EFHG為正方形，為正方形，EFBC，EGBC，又又ADBC，EGAD，設(shè)設(shè)EGEFx，則，則KDx，BC120 mm，AD80 mm，AK80 x，AEFABC， ，即即 ，解得解得x48，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是48 mm；EFAKBCAD 8012080 xx (3)解：設(shè)解：設(shè)EGKDm，則，則AK80m，AEFABC， ，即，即 ，EF120 m，S矩形矩形EFHGEGEFm(120 m) m2120m (m40)22400，故當(dāng)故當(dāng)m40時(shí)，矩形時(shí)，矩形EFHG的面積最大，最大面積為的面積最大，最大面積為2400 mm2.EFAKBCAD 8012080EFm 323232325. (2014柳州柳州)如圖，正方形如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為1，AB邊上有一動(dòng)邊上有一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P，連接，連接PD，將線段，將線段PD繞點(diǎn)繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到線后，得到線段段PE，且，且PE交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)F，連接，連接DF，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作作EQAB交交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.(1)求線段求線段PQ的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；(2)問(wèn)：點(diǎn)問(wèn)：點(diǎn)P在何處時(shí)，在何處時(shí)，PFDBFP，并說(shuō)明理由，并說(shuō)明理由第第5題圖題圖解：解：(1)四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，A90，ADPAPD90，PE是是PD繞點(diǎn)繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的，得到的，DPE90，DPPE，APDEPQ90，ADPEPQ.EQAB，PQE90A.又又DPEP，ADP QPE(AAS)，PQAD1；(2)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P為為AB的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)時(shí)，PFDBFP.理由如下：理由如下：ADPBPF，APBF，ADPBPF， ，設(shè)設(shè)APx，則，則BP1x， ，BFx(1x)PFDBFP，BFPAPD，ADAPBPBF 11xxBF PFDAPD， ， ，DP2x21，AD21，AP2x2，PF2 (x21)x2.又又PF2BP2BF2(1x)2x2(1x)2(1x)2(x21)，(x21)x2(1x)2(x21)，解得，解得x ，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P為為AB的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)時(shí)，PFDBFP.DPFPDAPA 2222 DPPFADAP222 DPAPAD126. 如圖，如圖，AB為為 O的直徑，直線的直徑，直線CD切切 O于點(diǎn)于點(diǎn)D，AMCD于點(diǎn)于點(diǎn)M，BNCD于點(diǎn)于點(diǎn)N.(1)求證：求證：ADCABD；(2)求證：求證：AD2AMAB；(3)若若AM ，sinABD ，求線段求線段BN的長(zhǎng)的長(zhǎng)第第6題圖題圖18535(1)證明：如解圖，連接證明：如解圖，連接OD，CD是是 O的切線，的切線，ODCD，ADCADO90，AB是是 O的直徑，的直徑，ADB90，ADOODB90，ADCODB，又又OBOD，ODBABD，ADCABD；第第6題解圖題解圖(2)證明：證明：AMCD，AMDADB90，又又MDADBA，AMDADB， ，即，即AD2AMAB；AMADADAB (3)解：解：在在RtABD中，中，sinABD ，設(shè)設(shè)AD3x，AB5x，又又AD2AMAB，AM ，(3x)2 5x，解得解得x2或或x0(舍去舍去)，AB10，AMCD，ODCD，BNCD，35ADAB 185185AMODBN，O是是AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，D是是MN的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AMBN2OD，BN2ODAMABAM10 .185325教材母題教材母題(人教九下人教九下44頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題14)如圖，在如圖，在ABC中，中，AB8，AC6，BC9.如果動(dòng)點(diǎn)如果動(dòng)點(diǎn)D以每秒以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)B出發(fā)沿出發(fā)沿BA向點(diǎn)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(不與不與B、A重合重合)，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作作DEBC，交，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E，記，記x秒時(shí)秒時(shí)DE的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度為為y，寫出，寫出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式教材母題圖教材母題圖解：依題意得，解：依題意得，BD2x，則，則AD82x，DEBC，ADEABC， ， ，y x9(0 x4)ADDEABBC 8289xy 94【還能這樣考還能這樣考】1. 如圖，在如圖，在RtABC中，中，A90，AB8，AC6.若動(dòng)若動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)D從點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速度為每為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒秒2個(gè)單位長(zhǎng)度過(guò)點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度過(guò)點(diǎn)D作作DEBC交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為動(dòng)的時(shí)間為x秒，秒，AE的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為y.(1)求出求出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；的取值范圍；(2)當(dāng)當(dāng)x為何值時(shí)，為何值時(shí)，BDE的面積的面積S有最大值，最大值為多少？有最大值，最大值為多少？第第1題圖題圖 解：解：(1)DEBC，ADEABC， ，AB8，AC6，AD82x，AEy. ，y x6(0 x4)；(2)S BDAE 2x( x6) x26x (x2)26，當(dāng)當(dāng)x2時(shí)，時(shí)，S有最大值，且最大值為有最大值，且最大值為6.ADAEABAC 8286xy 3212123232322. 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC5，BC8，點(diǎn)，點(diǎn)D為為BC邊邊上一動(dòng)點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)不與點(diǎn)B，C重合重合)，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D 作射線作射線DE交交AB于點(diǎn)于點(diǎn)E，使使ADEB.設(shè)設(shè)CDx，BEy，求，求y與與x的函數(shù)解析式，的函數(shù)解析式，并求并求BE的取值范圍的取值范圍第第2題圖題圖解：解：EDCBEDBADEADC，且且ADEB，BEDADC，ABAC，BC，BDECAD， ，BEBDCDAC CDx，BEy，BD8x，AC5， ，y x(8x) (x4)2 (0 x8)，0 x8，當(dāng)當(dāng)x4時(shí)，時(shí)，y取最大值取最大值 ，0y ，即，即0BE .85yxx 15151651651651653. 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC5，BC8，點(diǎn)，點(diǎn)E為為AB邊邊上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，BE3，點(diǎn)，點(diǎn)D為為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)不與點(diǎn)B，C重合重合)，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D 作射線作射線DF交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)F，使，使EDFB，設(shè)，設(shè)BDx，CFy，求，求y與與x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式第第3題圖題圖解：解：EDCBEDBFDEFDC，且，且FDEB，BEDFDC，ABAC，BC，BDECFD， ，BDx，CFy，CD8x，BE3， ，y x(8x) (x4)2 . BEBDCDCF 38xxy 13131634. 已知在梯形已知在梯形ABCD中，中，ADBC，ADBC，且，且AD5，ABDC2.點(diǎn)點(diǎn)P在在AD邊上移動(dòng)邊上移動(dòng)(點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)A、D不重合不重合)，且滿足，且滿足BPEA，PE交直線交直線BC于點(diǎn)于點(diǎn)E，同時(shí)交直線，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)于點(diǎn)Q，設(shè)，設(shè)APx，CQy.(1)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q在線段在線段DC上時(shí)，求上時(shí)，求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)解析式；的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q在線段在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，的延長(zhǎng)線上時(shí)，求求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式第第4題圖題圖解：解：(1)如解圖，當(dāng)點(diǎn)如解圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段在線段DC上時(shí)，上時(shí)，BPDABPABPEDPQ，且，且BPEA，ABPDPQ，ABCD，AD，第第4題解圖題解圖ABPDPQ， ，APx，CQy，AD5，ABDC2，PD5x，DQ2y， ，即，即2(2y)x(5x)，y x2 x2；ABAPPDDQ 252xxy 1252(2)如解圖，當(dāng)點(diǎn)如解圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，的延長(zhǎng)線上時(shí)，BPDABPABPEDPQ，且，且BPEA，ABPDPQ，ABCD，AD，ABPDPQ，第第4題解圖題解圖 ，APx，CQy，AD5，ABDC2，PD5x，DQ2y， ，即，即2(2y)x(5x)，y x2 x2.ABAPPDDQ 252xxy 1252