專題三 解析幾何江蘇新高考高考對本章內(nèi)容的考查多以“兩小一大”的形式出現(xiàn)，小題多考查雙曲線、拋物線、圓的方程與性質(zhì)，而大題主要考查直線與圓(如2013年、2016年)、直線與橢圓(如2014年、2015年、2017年)的位置關(guān)系、弦長問題及范圍問題等.第1課時解析幾何中的基本問題(基礎(chǔ)課)?？碱}型突破直線方程及兩直線位置關(guān)系必備知識1兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在2兩個距離公式(1)點(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離公式d.(2)兩平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離d.題組練透1已知點P(3,2)與點Q(1,4)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為_解析：由題意知直線l與直線PQ垂直，所以kl1.又直線l經(jīng)過PQ的中點(2,3)，所以直線l的方程為y3x2，即xy10.答案：xy102(2017·南京、鹽城二模)在平面直角坐標系xOy中，直線l1：kxy20與直線l2：xky20相交于點P，則當實數(shù)k變化時，點P到直線xy40的距離的最大值為_解析：由題意，kl1k，kl2，則kl1·kl2k·1(k0時，兩條直線也相互垂直)，并且兩條直線分別經(jīng)過定點：M(0,2)，N(2,0)兩條直線的交點在以MN為直徑的圓上并且kMN1，可得MN與直線xy40垂直點M到直線xy40的距離d3為最大值答案：33(2017·蘇州考前模擬)在平面直角坐標系中，已知兩點P(0,1)，Q(3,6)，在直線yx上取兩點M，N，使得MNa(其中a>0為定值)，則當PMNQ取得最小值時，點N的坐標為_解析：(1)設(shè)點A(1,0)，B(1a，a)，則ABMN，且ABMN，所以四邊形ABNM為平行四邊形，所以AMBN，又因為點P與A關(guān)于直線yx對稱，所以PMAM，所以PMNQAMNQBNNQ，所以當B，N，Q三點共線時，PMNQ取最小值為BQ.此時BQ方程為(a6)x(a2)y3a60，與直線yx聯(lián)立解得N.(2)若設(shè)A(1,0)，B(1a，a)，同理可得PMNQ最小值為，因為a>0，所以>，不合題意綜上，PMNQ取得最小值時點N的坐標為.答案：方法歸納求直線方程的兩種方法圓的方程必備知識1圓的標準方程當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2y2r2.2圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F>0，表示以為圓心，為半徑的圓題組練透1(2017·南通一模)已知圓C過點(2，)，且與直線xy30相切于點(0，)，則圓C的方程為_解析：設(shè)圓心為(a，b)，則解得a1，b0，r2.即所求圓的方程為(x1)2y24.答案：(x1)2y242(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_解析：因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓C的半徑r|CM|3，所以圓C的方程為(x2)2y29.答案：(x2)2y293與圓C：x2y22x4y0外切于原點，且半徑為2的圓的標準方程為_解析：由題意，所求圓的圓心在直線y2x上，所以可設(shè)所求圓的圓心為(a，2a)(a<0)，又因為所求圓與圓C：x2y22x4y0外切于原點，且半徑為2，所以2，可得a24，解得a2或a2(舍去)所以所求圓的標準方程為(x2)2(y4)220.答案：(x2)2(y4)220方法歸納圓的方程的兩種求法(1)幾何法通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程(2)代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系必備知識1過圓Ox2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.2過圓Ox2y2r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0xy0yr2.3判斷直線與圓的位置關(guān)系問題的兩種方法(1)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式來判斷位置關(guān)系：>0相交；0相切；<0相離(2)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d<r相交；dr相切；d>r相離4判斷兩圓位置關(guān)系時常用幾何法即通過判斷兩圓心距離O1O2與兩圓半徑R，r的關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系(1)外離：O1O2>Rr；(2)外切：O1O2Rr；(3)相交：Rr<O1O2<Rr；(4)內(nèi)切：O1O2Rr；(5)內(nèi)含：0O1O2<Rr.提醒利用兩圓組成的方程組解的個數(shù)，不能判斷內(nèi)切與外切、外離與內(nèi)含 題組練透1(2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知直線l：mxy2m10，圓C：x2y22x4y0，當直線l被圓C所截得的弦長最短時，實數(shù)m_.解析：由題意得，C(1,2)，直線l：m(x2)y10恒過定點A(2,1)，當直線l被圓C所截得的弦長最短時，直線lCA，因為直線l的斜率為m，直線CA的斜率為1，所以m×(1)1，即m1.答案：12(2016·全國卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若|AB|2，則圓C的面積為_解析：圓C：x2y22ay20化為標準方程為x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r，因為|AB|2，點C到直線yx2a，即xy2a0的距離d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為×224.答案：43若圓(x2a)2(ya3)24上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意，兩圓(x2a)2(ya3)24與x2y21相交于相異兩點，所以1<<3，即解得<a<0.答案：4(2017·揚州考前調(diào)研)已知圓C：x2y22ax2y20(a為常數(shù))與直線yx相交于A，B兩點，若ACB，則實數(shù)a_.解析：因為圓C的標準方程為(xa)2(y1)2a21，所以C(a,1)，r，因為圓C與直線yx相交于A，B兩點，且ACB，所以r，且a21>0，解得a5.答案：55(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，A(12，0)，B(0,6)，點P在圓O：x2y250上若·20，則點P的橫坐標的取值范圍是_解析：設(shè)P(x，y)，則·(12x，y)·(x，6y)x(x12)y(y6)20.又x2y250，所以2xy50，所以點P在直線2xy50的上方(包括直線上)又點P在圓x2y250上，由解得x5或x1，結(jié)合圖象，可得5x1，故點P的橫坐標的取值范圍是5，1答案：5，1方法歸納1.解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題的方法(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量.(2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題.2.求弦長問題的兩種方法(1)利用半徑r，弦心距d，弦長l的一半構(gòu)成直角三角形，結(jié)合勾股定理(2)若斜率為k的直線l與圓C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則圓錐曲線的基本量運算必備知識1橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e；(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e.2雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系題組練透1(2017·南京三模)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1的焦距為6，則所有滿足條件的實數(shù)m構(gòu)成的集合是_解析：由題意得，2m23m2，所以2m23m90，解得m或3，因為1是雙曲線的方程，所以m0，所以m.所以實數(shù)m構(gòu)成的集合是.答案：2.(2017·蘇北四市期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B1，B2分別為橢圓C：1(ab0)的右、下、上頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點若B2FAB1，則橢圓C的離心率是_解析：由題意得，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F(xiàn)(c,0)，所以(c，b)，(a，b)，因為B2FAB1，所以·0，即b2ac，所以c2aca20，e2e10，又橢圓的離心率e(0,1)，所以e.答案：3(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y21的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是_解析：由題意得，雙曲線的右準線x與兩條漸近線y±x的交點坐標為.不妨設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，故四邊形F1PF2Q的面積是F1F2·PQ×4×2.答案：24(2017·南通三模)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線y21(a>0)經(jīng)過拋物線y28x的焦點，則該雙曲線的離心率為_解析：因為雙曲線y21(a>0)經(jīng)過拋物線y28x的焦點坐標(2,0)，所以a2，在雙曲線中，b1，c，所以雙曲線的離心率是e.答案：5(2016·山東高考)已知雙曲線E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_解析：如圖，由題意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，2×3×2c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，兩邊同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(負值舍去)答案：26(2017·南京考前模擬)已知橢圓C：mx2y21(0m1)，直線l：yx1，若橢圓C上總存在不同的兩點A與B關(guān)于直線l對稱，則橢圓C的離心率e的取值范圍為_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點P(x0，y0)，A，B在橢圓C上，兩式相減，整理得，即kAB，故kAB·kOPm，又kAB1，kOPm，直線OP的方程為ymx，聯(lián)立方程得P，由點P在橢圓內(nèi)，m22<1，解得0<m<，離心率e.答案：方法歸納應用圓錐曲線的性質(zhì)的兩個注意點(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵(2)在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍 課時達標訓練1(2017·蘇州期末)在平面直角坐標系xOy中，已知過點M(1,1)的直線l與圓(x1)2(y2)25相切，且與直線axy10垂直，則實數(shù)a_.解析：因為點M(1,1)在圓(x1)2(y2)25上，圓心與點M的連線的斜率為，所以切線l的斜率為2，又因為切線l與直線axy10垂直，所以a.答案：2(2017·南通、泰州一調(diào))在平面直角坐標系xOy中，直線2xy0為雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為_解析：因為直線2xy0為雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線，所以2，所以e.答案：3(2017·無錫期末)設(shè)P為有公共焦點F1，F(xiàn)2的橢圓C1與雙曲線C2的一個交點，且PF1PF2，橢圓C1的離心率為e1，雙曲線C2的離心率為e2，若3e1e2，則e1_.解析：設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，由定義知，不妨設(shè)P在第一象限，則所以PF1a1a2，PF2a1a2，因為PF1PF2，所以PFPFF1F，即(a1a2)2(a1a2)24c2，整理得2，又因為3e1e2，所以e1.答案：4(2017·南京考前模擬)在平面直角坐標系xOy中，M為圓C：(xa)2(y1)2上任意一點，N為直線l：axy30上任意一點，若以M為圓心，MN為半徑的圓與圓C至多有一個公共點，則正數(shù)a的最小值為_解析：因為圓M與圓C至多有一個公共點，所以MC，即，解得MN，又MN的最小值為，所以，解得a2，所以正數(shù)a的最小值為2.答案：25以雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點F為圓心，a為半徑的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線相切，則該雙曲線的離心率為_解析：由題設(shè)知，雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為(xc)2y2a2，因為漸近線與圓相切，故由點到直線的距離公式得a，則ab，ca，故離心率e.答案：6(2017·南京學情調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，若直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)216相交于A，B兩點，且ABC為直角三角形，則實數(shù)a的值是_解析：由題意知ABC為等腰直角三角形，且ACBC4，AB4，圓心C到直線axy20的距離d2，2，解得a1.答案：17(2017·泰州中學月考)直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M，N兩點，若MN2，則k的取值范圍是_解析：由圓的方程知圓心(2,3)，半徑r2，圓心到直線ykx3的距離d，MN222，解得4k2k21，即k.答案：8已知點P是圓C：x2y24x6y30上的一點，直線l：3x4y50.若點P到直線l的距離為2，則符合題意的點P有_個解析：由題意知圓C的標準方程為(x2)2(y3)216，所以圓心(2,3)到直線l的距離d(4,6)，故滿足題意的點P有2個答案：29若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距依次成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為_解析：由題意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，所以e或e1(舍去)答案：10(2017·全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點若MAN60°，則C的離心率為_解析：雙曲線的右頂點為A(a,0)，一條漸近線的方程為yx，即bxay0，則圓心A到此漸近線的距離d.又因為MAN60°，圓的半徑為b，所以b·sin 60°，即，所以e.答案：11若拋物線y28ax(a>0)的準線經(jīng)過雙曲線y21的一個焦點，則橢圓y21的離心率e_.解析：拋物線y28ax(a>0)的準線方程為x2a，雙曲線y21的焦點坐標為(±，0)，則2a，得a2，所以橢圓的離心率e.答案：12設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則PMPF1的最大值為_解析：由橢圓定義知PMPF1PM2×5PF2，而PMPF2MF25，所以PMPF12×5515.答案：1513(2017·蘇州張家港暨陽中學月考)已知圓O：x2y21，圓M：(xa)2(ya4)21.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得APB60°，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：如圖，圓O的半徑為1，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得APB60°，則APO30°，在RtPAO中，PO2，又圓M的半徑等于1，圓心坐標M(a，a4)，POminMO1，POmaxMO1，MO，由121，解得2a2.答案：14在平面直角坐標系xOy中，若直線l：4x3y20上至少存在一點，使得以該點為圓心、1為半徑的圓與以(4,0)為圓心，R為半徑的圓C有公共點，則R的最小值是_解析：由題意，直線4x3y20上至少存在一點A，以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，即ACmin1R，因為ACmin即為點C到直線4x3y20的距離，為，所以R的最小值是.答案：1(2017·南京考前模擬)在平面直角坐標系xOy中，M為直線x3上一動點，以M為圓心的圓記為圓M，若圓M截x軸所得的弦長恒為4.過點O作圓M的一條切線，切點為P，則點P到直線2xy100的距離的最大值為_解析：設(shè)M(3，t)，P(x0，y0)，因為OPPM，所以·0，可得xy3x0ty00，又圓M截x軸所得的弦長為4，所以4t2(x03)2(y0t)2，整理得xy6x02ty050，由得xy5，即點P在圓x2y25上，于是P到直線2xy100距離的最大值為3.答案：32在平面直角坐標系xOy中，已知過原點O的動直線l與圓C：x2y26x50相交于不同的兩點A，B，若點A恰為線段OB的中點，則圓心C到直線l的距離為_解析：先將圓C化為標準方程得(x3)2y24，則圓心C(3,0)，半徑r2，設(shè)過原點O的動直線l的方程為ykx，因為點A恰為線段OB的中點，設(shè)A(a，ka)，B(2a,2ka)，得(1k2)a26a50.取AB的中點D，則D，如圖，連結(jié)CD，則CDAB，.聯(lián)立，解得a，k±，則D，CD，即圓心C到直線l的距離為.答案：3(2017·山東高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.聯(lián)立消去x，得a2y22pb2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以雙曲線的漸近線方程為y±x.答案：y±x4已知橢圓1(a>b>0)，點A，B1，B2，F(xiàn)依次為其左頂點、下頂點、上頂點和右焦點，若直線AB2與直線B1F的交點恰在橢圓的右準線上，則橢圓的離心率為_解析：如圖，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F(xiàn)(c,0)，設(shè)點M.由kkAM，得，所以yMb.由kkFM，得，所以yM.從而b，整理得2e2e10.解得e.答案：第2課時直線與圓(能力課)常考題型突破隱形圓問題例1(2017·蘇北四市期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2y24x0及點A(1,0)，B(1,2)(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，MNAB，求直線l的方程；(2)在圓C上是否存在點P，使得PA2PB212？若存在，求點P的個數(shù)；若不存在，說明理由解(1)因為圓C的標準方程為(x2)2y24，所以圓心C(2,0)，半徑為2.因為lAB，A(1,0)，B(1,2)，所以直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為xym0，則圓心C到直線l的距離為d.因為MNAB2，而CM2d22，所以42，解得m0或m4，故直線l的方程為xy0或xy40.(2)假設(shè)圓C上存在點P，設(shè)P(x，y)，則(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，即x2(y1)24，因為|22|< <22，所以圓(x2)2y24與圓x2(y1)24相交，所以點P的個數(shù)為2.方法歸納1有些時候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程),從而最終可以利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題2如何發(fā)現(xiàn)隱形圓(或圓的方程)是關(guān)鍵，常見的有以下策略：(1)利用圓的定義(到定點的距離等于定長的點的軌跡)確定隱形圓；(2)動點P 對兩定點A，B張角是90°(kPA·kPB1)確定隱形圓；(3)兩定點A，B，動點P滿足·確定隱形圓；(4)兩定點A，B，動點P滿足PA2PB2是定值確定隱形圓；(5)兩定點A，B，動點P滿足PAPB(0，1)確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)；(6)由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓變式訓練如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍解：(1)由題設(shè)，圓心C是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，得1，解得k0或k，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點M(x，y)，因為MA2MO，所以2，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點C的橫坐標a的取值范圍為.圓中的定點、定值問題例2已知圓M的方程為x2(y2)21，直線l的方程為x2y0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B.(1)若APB60°，求點P的坐標；(2)若P點的坐標為(2,1)，過P作直線與圓M交于C，D兩點，當CD時，求直線CD的方程；(3)求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標解(1)設(shè)P(2m，m)，因為APB60°，AM1，所以MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0或m，故所求點P的坐標為P(0,0)或P.(2)易知直線CD的斜率存在，可設(shè)直線CD的方程為y1k(x2)，由題知圓心M到直線CD的距離為，所以，解得k1或k，故所求直線CD的方程為xy30或x7y90.(3)證明：設(shè)P(2m，m)，MP的中點Q，因為PA是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，故其方程為(xm)22m22，化簡得x2y22ym(2xy2)0，此式是關(guān)于m的恒等式，故解得或所以經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點(0,2)或.方法歸納(1)與圓有關(guān)的定點問題最終可化為含有參數(shù)的動直線或動圓過定點.解這類問題關(guān)鍵是引入?yún)?shù)求出動直線或動圓的方程.(2)與圓有關(guān)的定值問題，可以通過直接計算或證明，還可以通過特殊化，先猜出定值再給出證明.變式訓練1已知點P(2,2)，圓C：x2y28y0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點(1)求M的軌跡方程；(2)當OPOM時，求證：POM的面積為定值解：(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則(x，y4)，(2x,2y)由題設(shè)知·0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)證明：由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓由于OPOM，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONPM.因為ON的斜率為3，所以l的斜率為，故l的方程為yx.又OMOP2，O到l的距離d為，所以PM2，所以POM的面積為SPOMPM·d.2已知圓C：x2y29，點A(5,0)，直線l：x2y0.(1)求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；(2)在直線OA上(O為坐標原點)，存在定點B(不同于點A)滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點B的坐標解：(1)設(shè)所求直線方程為y2xb，即2xyb0.因為直線與圓C相切，所以3，解得b±3.所以所求直線方程為2xy±30.(2)法一：假設(shè)存在這樣的點B(t,0)當點P為圓C與x軸的左交點(3,0)時，；當點P為圓C與x軸的右交點(3,0)時，.依題意，解得t5(舍去)或t.下面證明點B對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)設(shè)P(x，y)，則y29x2，所以.從而為常數(shù)法二：假設(shè)存在這樣的點B(t,0)，使得為常數(shù)，則PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，將y29x2代入，得x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290對x3,3恒成立，所以解得或(舍去)故存在點B對于圓C上任一點P，都有為常數(shù).與直線或圓有關(guān)的最值或范圍問題例3(2016·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2,4)(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍解圓M的標準方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0y07，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)因為直線lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因為BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為A(2,4)，T(t,0)，所以因為點Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.將代入，得(x1t4)2(y13)225.于是點P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點，所以55 55，解得22t22.因此，實數(shù)t的取值范圍是22，22 方法歸納1與圓有關(guān)的最值問題的幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題(2)形如taxby形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題2與圓有關(guān)的參數(shù)范圍問題常見思路(1)直接利用條件，畫出幾何圖形，結(jié)合圖形用幾何法求參數(shù)的范圍(2)根據(jù)位置關(guān)系列不等式組，用代數(shù)法求參數(shù)范圍(3)構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，借助函數(shù)思想求參數(shù)的范圍變式訓練(2017·鎮(zhèn)江調(diào)研)已知圓O：x2y24交y軸正半軸于點A，點B，C是圓O上異于點A的兩個動點(1)若B與A關(guān)于原點O對稱，直線AC和直線BC分別交直線y4于點M，N，求線段MN長度的最小值；(2)若直線AC和直線AB的斜率之積為1，求證：直線BC與x軸垂直解：(1)由題意，直線AC和直線BC的斜率一定存在且不為0，且A(0,2)，B(0，2)，ACBC.設(shè)直線AC的斜率為k，則直線BC的斜率為，所以直線AC的方程為ykx2，直線BC的方程為yx2，故它們與直線y4的交點分別為M，N(6k,4)所以MN4，當且僅當k±時取等號，所以線段MN長度的最小值為4.(2)證明：易知直線AC和直線AB的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線AC的方程為ykx2，則直線AB的方程為yx2.由解得C，同理可得B.因為B，C兩點的橫坐標相等，所以BCx軸課時達標訓練1已知以點C(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標原點(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y2x4與圓C交于點M，N，若OMON，求圓C的方程解：(1)證明：因為圓C過原點O，所以O(shè)C2t2.設(shè)圓C的方程是(xt)22t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，所以SOABOA·OB××|2t|4，即OAB的面積為定值(2)因為OMON，CMCN，所以O(shè)C垂直平分線段MN.因為kMN2，所以kOC.所以t，解得t2或t2.當t2時，圓心C的坐標為(2,1)，OC，此時C到直線y2x4的距離d<，圓C與直線y2x4相交于兩點當t2時，圓心C的坐標為(2，1)，OC，此時C到直線y2x4的距離d>.圓C與直線y2x4不相交，所以t2不符合題意，舍去所以圓C的方程為(x2)2(y1)25.2.如圖，已知圓x2y21與x軸交于A，B兩點，P是該圓上任意一點，AP，PB的延長線分別交直線l：x2于M，N兩點(1)求MN的最小值；(2)求證：以MN為直徑的圓恒過定點，并求出該定點的坐標解：(1)設(shè)M(2，t1)，N(2，t2)，則由A(1,0)，B(1,0)，且AMBN，得·0，即(3，t1)·(1，t2)0，所以3t1t20，即t1t23.所以MNt1t2t1(t2)22 .當且僅當t1，t2時等號成立故MN的最小值為2.(2)證明：由(1)得t1t23.以MN為直徑的圓的方程為(x2)2(yt1)(yt2)0，即(x2)2y2(t1t2)yt1t20，也即(x2)2y2(t1t2)y30.由得或故以MN為直徑的圓恒過定點(2，0)和(2，0)3已知直線l：4x3y100，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方(1)求圓C的方程；(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)圓心C(a,0)，則2a0或a5(舍去)所以圓C的方程為x2y24.(2)當直線ABx軸時，x軸平分ANB.當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x軸平分ANB，則kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以當點N為(4,0)時，能使得ANMBNM總成立4在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x3)2(y1)24和圓C2：(x4)2(y5)24.(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，求所有滿足條件的點P的坐標解：(1)由于直線x4與圓C1不相交，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d.l被圓C1截得的弦長為2，d 1.又由點到直線的距離公式得d，k(24k7)0，解得k0或k，直線l的方程為y0或7x24y280.(2)設(shè)點P(a，b)滿足條件，由題意分析可得直線l1，l2的斜率均存在且不為0，不妨設(shè)直線l1的方程為ybk(xa)，則直線l2的方程為yb(xa)圓C1和圓C2的半徑相等，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|.13kakb±(5k4abk)，即(ab2)kba3或(ab8)kab5. k的取值有無窮多個，或解得或故這樣的點只可能是點P1或點P2，.5.如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(0,1)，且被x軸分成的兩段弧長之比為21，過點H(0，t)的直線l與圓C相交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O.(1)求圓C的方程；(2)當t1時，求直線l的方程；(3)求直線OM的斜率k的取值范圍解：(1)因為位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(0,1)，所以圓心C在直線y1上又圓C與x軸的交點分別為A，B，由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為21，得ACB.所以CACB2，圓心C的坐標為(2,1)所以圓C的方程為(x2)2(y1)24.(2)當t1時，由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ymx1.由消去y，得(m21)x24x0，解得或不妨令M，N(0,1)因為以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過O(0,0)，所以··(0,1)0，解得m2±，故所求直線l的方程為y(2)x1或y(2)x1.(3)設(shè)直線OM的方程為ykx，由題意，知2，解得k.同理得，解得k或k>0.由(2)知，k0也滿足題意所以k的取值范圍是.6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(3,4)，B(9,0)，C，D分別為線段OA，OB上的動點，且滿足ACBD.(1)若AC4，求直線CD的方程；(2)證明：OCD的外接圓恒過定點(異于原點O)解：(1)因為A(3,4)，所以O(shè)A5.又因為AC4，所以O(shè)C1，所以C.由BD4，得D(5,0)，所以直線CD的斜率k.所以直線CD的方程為y(x5)，即x7y50.(2)證明：設(shè)C(3m,4m)(0<m1)，則OC5m.所以ACOAOC55m.因為ACBD，所以O(shè)DOBBD5m4，所以點D的坐標為(5m4,0)設(shè)OCD的外接圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則有解得D(5m4)，E10m3，F(xiàn)0，所以O(shè)CD的外接圓的方程為x2y2(5m4)x(10m3)y0，整理得x2y24x3y5m(x2y)0.令解得或(舍去)所以O(shè)CD的外接圓恒過定點(2，1)第3課時橢圓(能力課)?？碱}型突破直線與橢圓的位置關(guān)系例1(2015·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3.(1)求橢圓的標準方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC2AB，求直線AB的方程解(1)由題意，得且c3，解得a，c1，則b1，所以橢圓的標準方程為y21.(2)當ABx軸時，AB，又CP3，不合題意當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，則x1,2，C的坐標為，且AB.若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意從而k0，故直線PC的方程為y，則P點的坐標為，從而PC.因為PC2AB，所以，解得k±1.此時直線AB的方程為yx1或yx1.方法歸納直線與橢圓的位置關(guān)系的解題思路首先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點的問題用“點差法”解決往往會更簡單變式訓練(2017·廣州模擬)定圓M：(x)2y216，動圓N過點F(，0)且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程；(2)設(shè)點A，B，C在E上運動，A與B關(guān)于原點對稱，且ACCB，當ABC的面積最小時，求直線AB的方程解：(1)因為點F(，0)在圓M：(x)2y216內(nèi)，所以圓N內(nèi)切于圓M.因為NMNF4FM，所以點N的軌跡E是以M(，0)，F(xiàn)(，0)為焦點的橢圓，且2a4，c，所以b1.所以軌跡E的方程為y21.(2)當AB為長軸(或短軸)時，依題意知，點C就是橢圓的上、下頂點(或左、右頂點)，此時SABC·OC·AB2.當直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)其斜率為k，直線AB的方程為ykx，聯(lián)立方程可取x，y，所以O(shè)A2xy.由ACCB知，ABC為等腰三角形，O為AB的中點，OCAB，所以直線OC的方程為yx，由得x，y，所以O(shè)C2.SABC2SOAC|OA|·|OC|·.由于，所以SABC，當且僅當14k2k24，即k±1時等號成立，此時ABC面積的最小值是.因為2，所以ABC面積的最小值為，此時直線AB的方程為yx或yx.定點、定值問題例2(2017·南京考前模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，過橢圓C：1(ab0)內(nèi)一點A(0,1)的動直線l與橢圓相交于M，N兩點，當l平行于x軸和垂直于x軸時，l被橢圓C所截得的線段長均為2.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在與點A不同的定點B，使得對任意過點A的動直線l都滿足？若存在，求出定點B的坐標；若不存在，請說明理由解 (1)當l垂直于x軸時，2b2，從而b.當l平行于x軸時，點(，1)在橢圓C上，所以1，解得a2.所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)存在與點A不同的定點B滿足.當l平行于x軸時，AMAN，所以BMBN，從而點B在y軸上，設(shè)B(0，t)；當l垂直于x軸時，不妨設(shè)M(0，)，N(0，)由可得，解得t1(舍去)或t2，即B(0,2)下面證明對任意斜率存在且不為0的動直線l都滿足.設(shè)直線l的方程為ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立消去y，得(12k2)x24kx20，所以x1x2，x1x2.因為，要證，只要證，只要證x(1k2)x2kx21)x(1k2)·x2kx11)，即證2kxx22kxx1xx0，即證(x1x2)2kx1x2(x1x2)0.因為2kx1x2(x1x2)2k×0，所以.所以存在與點A不同的定點B(0,2)，使得對任意過點A的動直線l都滿足.方法歸納 圓錐曲線中定點與定值問題的求解思路(1)定點問題的兩種求解方法引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動直線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點由特殊到一般法，根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)(2)定值問題的基本求解方法先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題變式訓練1.(2017·南通、泰州一調(diào))如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，焦點到相應準線的距離為1.(1)求橢圓的標準方程；(2)若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線y于點Q，求的值解：(1)由題意得解得所以橢圓的方程為y21.(2)由題意知OP的斜率存在當OP的斜率為0時，OP，OQ，所以1.當OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP的方程為ykx.由得(2k21)x22，解得x2，所以y2，所以O(shè)P2.因為OPOQ，所以直線OQ的方程為yx.由得xk，所以O(shè)Q22k22.所以1.綜上，可知1.2已知橢圓y21的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點(1)當直線AM的斜率為1時，求點M的坐標；(2)當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由解：(1)直線AM的斜率為1時，直線AM的方程為yx2，代入橢圓方程并化簡得5x216x120.解得x12，x2，所以M.(2)設(shè)直線AM的斜率為k，直線AM的方程為yk(x2)，聯(lián)立方程化簡得(14k2)x216k2x16k240.則xAxM，xMxA2.同理，可得xN.由(1)知若存在定點，則此點必為P.證明如下：因為kMP，同理可計算得kPN.所以直線MN過x軸上的一定點P.范圍、最值問題例3(2017·鎮(zhèn)江期末)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且點在橢圓C上(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線l交橢圓C于P，Q兩點，線段PQ的中點為H，O為坐標原點，且OH1，求POQ面積的最大值解(1)由已知得解得故橢圓C的方程是y21.(2)設(shè)直線l與x軸的交點為D(n,0)，直線l：xmyn，與橢圓的交點為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立方程得(4m2)y22mnyn240，則y1y2，y1y2，所以，所以，即H，由OH1，得n2，則SPOQOD|y1y2|n|y1y2|，令Tn2(y1y2)2n2(y1y2)24y1y212×16×，設(shè)t4m2(t4)，則，當且僅當t，即t12時，SPOA取最大值，此時SPOQ× 1，所以POQ面積的最大值為1.方法歸納解決范圍或最值問題的三種常用方法變式訓練1(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(a>b>0)過點P，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l過橢圓C的右焦點交橢圓于A，B兩點，記ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值解：(1)由1，得a24，b23.所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為xmy1，直線l與橢圓C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x得，(3m24)y26m