黑龍江省大慶市2015屆高三年級第一次教學(xué)質(zhì)量檢測試題 理科數(shù)學(xué) 【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷，以基礎(chǔ)知識和基本技能為載體，以能力測試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：集合、不等式、復(fù)數(shù)、向量、三視圖、導(dǎo)數(shù)、簡單的線性規(guī)劃、直線與圓、圓錐曲線、立體幾何、數(shù)列、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、命題、概率等；考查學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力，是份較好的試卷. 第I卷 一． 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】（1）集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為 （A）或 （B） （C）或 （D） 【知識點(diǎn)】集合的交集A1 【答案解析】C解析：因?yàn)椋冤?m=-9或﹣3m=3，得m=3或m=﹣1,所以選C. 【思路點(diǎn)撥】理解集合的交集的含義是解題的關(guān)鍵. 【題文】（2）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則 （A） （B） （C） （D） 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)運(yùn)算L4 【答案解析】A解析：因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以2﹣b=0且2b+1≠0，得b=2，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是?？贾R點(diǎn)之一，應(yīng)熟練掌握. 【題文】（3）設(shè)等比數(shù)列中,前n項(xiàng)和為,已知,則 （A） （B）　　　 （C） （D） 【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)D3 【答案解析】A解析：因?yàn)?，則,所以 ，則選A. 【思路點(diǎn)撥】遇到等比數(shù)列的n項(xiàng)和之間的關(guān)系時，可考慮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行解答. 【題文】（4）函數(shù)的圖象可能是 （A）　　　 　　　（B）　　　　　?。–）　　　　　　 （D） 【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖像B8 【答案解析】B解析：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則排除A,C，又當(dāng)x＞0時，y=lnx為增函數(shù)，則排除D，所以選B. 【思路點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的圖像經(jīng)常結(jié)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性及特殊位置的函數(shù)值或函數(shù)值的符號等進(jìn)行判斷. 【題文】（5）三個學(xué)校分別有1名、2名、3名學(xué)生獲獎，這6名學(xué)生要排成一排合影，則同校 學(xué)生都排在一起的概率是 （A） （B） （C） （D） 【知識點(diǎn)】概率K2 【答案解析】C解析：此問題為古典概型求概率問題，所求事件的排法種數(shù)為，總的排法種數(shù)為,所以所求事件的概率為 ，則選C. 【思路點(diǎn)撥】古典概型問題只需求出事件包含的基本事件個數(shù)及總的基本事件個數(shù)，代入公式解答即可. 【題文】（6）執(zhí)行如右圖所示的程序框圖．若輸出的結(jié)果為，則輸入的正整 數(shù)的可能取值的集合是 （A） （B） （C） （D） 【知識點(diǎn)】程序框圖L1 【答案解析】C解析：依次執(zhí)行循環(huán)體的值為a=2a+3,i=1;a=2(2a+3)+3，i=2，此時跳出循環(huán)體，所以2a+3≤13且2(2a+3)+3＞13,得1＜a≤5,所以a的可能取值為2,3,4,5,則選C. 【思路點(diǎn)撥】解循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問題，可依次執(zhí)行循環(huán)體進(jìn)行解答.. 【題文】（7）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的 體積為 （A） （B） （C） （D） 【知識點(diǎn)】三視圖G2 【答案解析】B解析：由三視圖可知該幾何體左邊為半個圓錐，右邊為底面是正方形的四棱錐，所以其體積為 ，則選B. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積的關(guān)鍵是正確分析原幾何體的特征. 【題文】（8）已知兩個平面垂直，下列命題中： ①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線； ②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線； ③一個平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個平面； ④過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面. 其中正確命題的個數(shù)有 （A） 　（B） 　 （C） （D） 【知識點(diǎn)】兩面垂直的性質(zhì)G5 【答案解析】A解析：①若一個平面內(nèi)已知直線垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線，則該直線與另一個平面垂直，顯然錯誤；②因?yàn)橐粋€平面有無數(shù)條垂線，所以對于一個平面內(nèi)已知直線在另一個平面內(nèi)一定有的無數(shù)條直線和它垂直，則說法正確；③一個平面內(nèi)的任意一條直線不一定垂直于另一個平面，所以錯誤；④過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，因?yàn)樵摯咕€不一定在平面內(nèi)，所以此垂線不一定垂直于另一個平面，說法錯誤，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】理解直線與平面垂直的概念，掌握兩個平面垂直的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵. 【題文】（9）已知函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，則的單調(diào)遞增區(qū)間是 （A） （B） （C） （D）無法確定 【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)C3 【答案解析】C解析：結(jié)合正弦曲線的特征可知2,4中間位置是最大值位置，4,8中間位置是最小值位置，其最小正周期為8﹣2=6，所以在[3,6]上單調(diào)遞減，在[0,3]上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，所以選C. 【思路點(diǎn)撥】熟悉正弦曲線的函數(shù)特征是解題的關(guān)鍵. 【題文】（10）命題，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【知識點(diǎn)】命題的否定及真假的判斷A3 【答案解析】D解析：因?yàn)槭钦婷}，則，命題p為假命題，顯然當(dāng)a=0時為真，所以排除B，C，當(dāng)a＜0時，命題p是假命題，則排除A，所以選D. 【思路點(diǎn)撥】可從命題與命題的否定之間的真假關(guān)系進(jìn)行判斷，適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用排除法可減少計(jì)算量. 【題文】（11）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為 （A） （B） （C） （D） 【知識點(diǎn)】拋物線H7 【答案解析】B解析：不妨設(shè)A點(diǎn)在X軸上邊，設(shè)A,B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（a,b）、（c,d）,因?yàn)椋詀+1=5,得a=4，b=4，又bd=﹣4，所以d=﹣1，則△AOB的面積為,所以選B. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到圓錐曲線上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)距離關(guān)系時，經(jīng)常利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，本題還應(yīng)注意結(jié)論：過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為 . 【題文】（12）已知函數(shù) ，下列是關(guān)于函數(shù) 的零點(diǎn)個數(shù)的4個判斷： ① 當(dāng)時，有3個零點(diǎn)； ② 當(dāng)時，有2個零點(diǎn)； ③ 當(dāng)時，有4個零點(diǎn)； ④ 當(dāng)時，有1個零點(diǎn)； 則正確的判斷是 （A） ①④ （B）②③ （C）①② （D）③④ 【知識點(diǎn)】函數(shù)與方程B9 【答案解析】D解析：分四種情況討論．（1）x＞1時，log2x＞0， ∴y=f（f（x））+1=log2（log2x）+1，此時的零點(diǎn)為 ;（2）0＜x＜1時，log2x＜0，∴y=f（f（x））+1=klog2x+1，則k＞0時，有一個零點(diǎn)，k＜0時，沒有零點(diǎn)，（3）若x＜0，kx+1≤0時，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，則k＞0時，有一個零點(diǎn)，k＜0時，沒有零點(diǎn)，（4）若x＜0，kx+1＞0時，y=f（f（x））+1=log2（kx+1）+1，則k＞0時，有一個零點(diǎn)，k＜0時，沒有零點(diǎn)，綜上可知，當(dāng)k＞0時，有4個零點(diǎn)；當(dāng)k＜0時，有1個零點(diǎn)，故選D 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與對應(yīng)的方程的根的關(guān)系解答即可. 第II卷 二．填空題：本大題共4小題，每小題5分. 【題文】（13）由曲線所圍成圖形的面積是____________. 【知識點(diǎn)】定積分B13 【答案解析】解析：因?yàn)閮汕€的交點(diǎn)為(0,0)，(1,1)，所以兩曲線圍成的面積為 . 【思路點(diǎn)撥】求兩曲線圍成的圖形面積問題，可利用定積分的幾何意義轉(zhuǎn)化為定積分問題解答. 【題文】（14）已知向量夾角為，且，則=____________. 【知識點(diǎn)】向量的模與數(shù)量積F3 【答案解析】解析：因?yàn)?解得. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到向量的模與向量之間的關(guān)系問題，通常利用性質(zhì) 進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 【題文】（15）若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_____________. 【知識點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)H6 【答案解析】(1,2]解析：雙曲線的漸近線方程為y=±bx，則有，解得，則 ，得1＜e≤2,. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到直線與圓的位置關(guān)系問題，通常利用圓心到直線的距離進(jìn)行解答. 【題文】（16）設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為1，則的最小值為____________. 【知識點(diǎn)】簡單的線性規(guī)劃、基本不等式E5 E6 【答案解析】8解析：滿足約束條件表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D三角形ABO表示的區(qū)域，，顯然當(dāng)動直線z=ax+2by經(jīng)過點(diǎn)B時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值1，聯(lián)立方程 得B點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），則有a+2b=1，而 所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立. . 【思路點(diǎn)撥】本題是簡單的線性規(guī)劃與不等式的綜合應(yīng)用，掌握常見的基本不等式的變式是解題的關(guān)鍵. 三. 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 【題文】（17）（本小題滿分10分）在中，分別是角的對邊. 已知，. （Ⅰ）若，求角的大?。? （Ⅱ）若，求邊的長. 【知識點(diǎn)】解三角形C8 【答案解析】（Ⅰ） （Ⅱ）4 解析：（I）由正弦定理 ，得 ，解得，……2分 由于 為三角形內(nèi)角， ，則 ， ……4分 所以， ………5分 （II）依題意， ，即，整理得 7分 又 ，所以. ………10分 另解： 由于 ,所以，解得 , ………7分 由于 ，所以， ………8分 由 ，所以 . 由勾股定理 ，解得. ………10分. 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查的是正弦定理和余弦定理，注意結(jié)合條件特征恰當(dāng)?shù)倪x擇定理進(jìn)行解答. 【題文】（18）（本小題滿分12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【知識點(diǎn)】等比數(shù)列、數(shù)列求和D3 D4 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：解：（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知，且， 又因?yàn)椤?、成等差?shù)列， 所以， ………2分 即， 化簡得，從而，解得　， 又，故， …………4分 . …………6分 （II）由（I）知，， 則 ， ① ， ② …………8分 ①-②得： ， 所以. …………12分. 【思路點(diǎn)撥】在等比數(shù)列綜合題中，若無性質(zhì)特征，一般利用其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公比的方程組進(jìn)行解答；對于數(shù)列求和問題，一般先確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，再確定求和思路. 【題文】（19）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，且 平面，，為的中點(diǎn)，． （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）若，求二面角的余弦值． 【知識點(diǎn)】直線與平面平行、二面角G4 G11 【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ） 解析： (Ⅰ)證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接， 因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危渣c(diǎn)為的中點(diǎn)， 又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線， 所以∥， ………3分 又因?yàn)槠矫?，平面? 所以∥平面. …………6分 (Ⅱ)因?yàn)槠矫妫?，所以平面? 又因?yàn)椋詢蓛纱怪保? 故可以建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)， ………8分 則，，，，， 所以，，， 因?yàn)槠矫?故平面的一個法向量為， 設(shè)平面的法向量為，則 即， 令，則，可取， …………10分 從而， 故所求二面角的余弦值為. …………12分. 【思路點(diǎn)撥】證明直線與平面平行一般利用直線與平面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為線線平行證明；求二面角一般通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角解答. 【題文】（20）（本小題滿分12分）某市為了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個班進(jìn)行鉛球測試，成績在8.0米(精確到0.1米)以上的為合格. 把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖)，已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小組的頻數(shù)是7 . （Ⅰ）求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)； （Ⅱ）用此次測試結(jié)果估計(jì)全市畢業(yè)生的情況. 若從今年的高中畢業(yè)生中隨機(jī)抽取兩 名，記表示兩人中成績不合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望； （III）經(jīng)過多次測試后，甲成績在8～10米之間，乙成績在9.5～10.5米之間，現(xiàn)甲、乙各投擲一次，求甲比乙投擲遠(yuǎn)的概率. 【知識點(diǎn)】頻率分布直方圖、離散隨機(jī)變量的分布列、期望，幾何概型I2 K6 K3 【答案解析】（Ⅰ）50人（Ⅱ）E(X)=（Ⅲ） 解析： (Ⅰ)第6小組的頻率為1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　 　 ∴此次測試總?cè)藬?shù)為(人). ∴第4、5、6組成績均合格，人數(shù)為(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) .……………4分 (Ⅱ)=0,1,2,此次測試中成績不合格的概率為,∴～. ，， .　　　　　　　　 所求分布列為 X 0 1 2 P ………6分 …………8分 (Ⅲ)設(shè)甲、乙各投擲一次的成績分別為、米，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)? ， 事件“甲比乙投擲遠(yuǎn)的概率”滿足的區(qū)域?yàn)?，如圖所示. ∴由幾何概型. 則甲比乙投擲遠(yuǎn)的概率是. ………12分 【思路點(diǎn)撥】求離散隨機(jī)變量的分布列和期望一般先確定隨機(jī)變量的取值，再依次計(jì)算各個取值的概率即可得其分布列和期望，求概率時先分清是幾何概型還是古典概型，再利用相應(yīng)公式計(jì)算. 【題文】（21）（本小題滿分12分）已知,其中. (Ⅰ)求的單調(diào)遞減區(qū)間； (Ⅱ)若在上的最大值是,求的取值范圍. 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用B12 【答案解析】(Ⅰ) 當(dāng)時,的單調(diào)遞增減區(qū)間是, ； 當(dāng)時,的單調(diào)遞增減區(qū)間是, ； 當(dāng)時，的單調(diào)遞增減區(qū)間是. (Ⅱ) 解析：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)椋? 令 得， ①當(dāng)時, , 與的變化情況如下表 0 0 0 減 增 減 所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,； …………2分 ②當(dāng)時, ，， 故的單調(diào)遞減區(qū)間是 ； ………4分 ③當(dāng)時, ， 與的變化情況如下表 0 0 0 減 增 減 所以的單調(diào)遞增減區(qū)間是, . 綜上,當(dāng)時,的單調(diào)遞增減區(qū)間是, ； 當(dāng)時,的單調(diào)遞增減區(qū)間是, ； 當(dāng)時，的單調(diào)遞增減區(qū)間是. …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ① 當(dāng)時,在的最大值是 但,所以不合題意； …9分 ② 當(dāng)時,在上單調(diào)遞減， ，可得在上的最大值為,符合題意. 在上的最大值為0時,的取值范圍是. …12分 【思路點(diǎn)撥】求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意問題，1、先確定函數(shù)的定義域，在其定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，2、確定導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和符號時應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)解答，當(dāng)不確定時要注意討論，3、當(dāng)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)大小不定時要對零點(diǎn)的大小進(jìn)行討論. 【題文】（22）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切. (Ⅰ)求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)是橢圓上關(guān)于 軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié) 交橢圓于另一點(diǎn)，證明：直線與軸相交于定點(diǎn)； （III）在 (Ⅱ)的條件下，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求 的取值范圍. 【知識點(diǎn)】圓錐曲線綜合應(yīng)用H8 【答案解析】(Ⅰ) （Ⅱ）略（III） 解析：（I）由題意知 而以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸為半徑的圓的方程為， 故由題意可知 故橢圓C的方程為 ……3分 （II）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 由 ……① …… 4分 設(shè)點(diǎn)，則， 直線的方程為， 令得， 將代入整理得， 得 ② ……………………5分 由①得， 代入②整得，得 所以直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q（1，0） ……7分 （III）①當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時，其方程為， 解得，此時； …8分 ② 當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時， 設(shè)直線的方程為,且在橢圓上， 由得 ， 計(jì)算得，， 所以 則 ……………………10分 因?yàn)?，所以? . 所以的取值范圍是. ……12分 . 【思路點(diǎn)撥】求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程通常用待定系數(shù)法，一般遇到直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，通常聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系再利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為待定的系數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答.