第二章有理數(shù)在上面的天氣預(yù)報電視屏幕上，我們看到，這一天上海的最低溫度是-5C, 讀作負(fù)5,表示零下5。這里，出現(xiàn)了一種新數(shù)一一負(fù)數(shù).我們將會看到，除了表示溫度以外，還有許多量需要用負(fù)數(shù)來表示.有了負(fù) 數(shù)，數(shù)的家族引進(jìn)了新的成員，將變得更加絢麗多彩，更加便于應(yīng)用.本章將與你一起認(rèn)識負(fù)數(shù)，把數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)，并研究有理數(shù)的大小 比擬和運(yùn)算.§ 2.1正數(shù)和負(fù)數(shù)我們知道，為了表示物體的個數(shù)或事物的順序，產(chǎn)生了數(shù)1, 2, 3,;為 了表示“沒有”，引入了數(shù)0；有時分配、測量的結(jié)果不是整數(shù)，需要用分?jǐn)?shù)（小 數(shù)）表示.總之，數(shù)是為了滿足生產(chǎn)和生活的需要而產(chǎn)生開展起來的.1 .相反意義的量在日常生活中，常會遇到這樣的一些量：例1汽車向東行駛3公里和向西行駛2公里；例2溫度是零上10和零下5；例3收入500元和支出237元；例4水位升高5. 5米和下降3. 6米等等.這里出現(xiàn)的每一對量，雖然有著不同的具體內(nèi)容，但有著一個共同特點(diǎn)，它 們都是具有相反意義的量，向東和向西、零上和零下；收入和支出；升高和下降 都具有相反的音義、這些例子,出現(xiàn)的每一對量，有什么共同特點(diǎn)？你能再舉出幾個日常生活中的具有相反意義的量嗎？2 .正數(shù)與負(fù)數(shù)對于相反意義的量，只用原來的那些數(shù)很難區(qū)分量的相反意義.例如，零上 5用5表示，那么零下5就不能仍用同一個數(shù)5來表示.想一想怎樣表示具有相反意義的量呢？能否從天氣預(yù)報的電視屏幕上出現(xiàn)的標(biāo)記 中，得到一些啟發(fā)呢？在天氣預(yù)報的電視屏幕上我們發(fā)現(xiàn)，零下5c可以用-5C來表示.一般地， 對于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過去學(xué)過的 數(shù)表示，把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，用過去學(xué)過的數(shù)（零除外）前面放上一 個“-"（讀作負(fù)）號來表示.就拿溫度為例，通常規(guī)定零上為正，于是零下為負(fù)，零上10C就用10C表 示，零下5c用-5來表示.在例1中，如果規(guī)定向東為正，那么向西為負(fù).汽車向東行駛3公里記作3 公里，向西2公里應(yīng)記作-2公里.在例3中，如果規(guī)定收入為正，收入500元記作500元，支出237元應(yīng)記作 什么？在例4中，如果升高5. 5米記作5. 5米,下降3. 6米記作什么？ 在這些討論中，出現(xiàn)了哪些新數(shù)？為了表示具有相反意義的量，我們引進(jìn)了象-5,-2,-237,-3.6這樣的數(shù)， 這是一種新數(shù)，叫做負(fù)數(shù)（negative number）.過去學(xué)過的那些數(shù)（零除外），如 10, 3, 500, 5. 5等，叫做正數(shù)（positive number）.正數(shù)前面有時也可放上一個"+ 號，如5可以寫成+5, +5和5是一樣的.注意：0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).練習(xí).將你所舉出的具有相反意義的量用正數(shù)或負(fù)數(shù)來表示.1 .在中國地形圖上，在珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地處都 標(biāo)有說明它們的高度的數(shù)，如下圖.這個數(shù)通常稱為 海拔高度，它是相對于海平面來說的.請說出圖中所示 的數(shù)8848和T55表示的實(shí)際意義。海平面的高度用什 么數(shù)表示？2 .以下各數(shù)中，哪些是正數(shù)?哪些是負(fù)數(shù)？22+6； -21； 54； 0； ； -3.14； 0.001； -9997.“一個數(shù)，如果不是正數(shù)，必定就是負(fù)數(shù).”這句話對不對?為什么？3.有理數(shù)想一想引進(jìn)了負(fù)數(shù)以后，我們學(xué)過的數(shù)有哪些?引進(jìn)了負(fù)數(shù)以后，我們學(xué)過的數(shù)就有：正整數(shù)，如1, 2, 3,零：0;負(fù)整數(shù)，如T,-2, -3,.;正分?jǐn)?shù)，如L 烏，4.5（即4'）；372負(fù)分?jǐn)?shù)，如一'24，-0.3（即上），一士.27105正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)（integers）,正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)（fractions）.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)（rational rwmbers）.有如下分類表：正整數(shù)整數(shù)j零有理數(shù) 1 I負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)，正有理數(shù)（正整數(shù)正分?jǐn)?shù)有理零負(fù)整數(shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)有理把一些數(shù)放在一起，就組成一個數(shù)的集合，簡稱數(shù)集（sei of numbers）.所有的 有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集.類似地，所有的整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集, 所有的正數(shù)組成的數(shù)集叫做正數(shù)集，所有的負(fù)數(shù)組成的數(shù)集叫做負(fù)數(shù)集，如此等 等.例5把以下各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的正整數(shù)正整數(shù)正整數(shù)正整數(shù)95%負(fù)整數(shù)練習(xí)L請說出兩個正整數(shù)，兩個負(fù)整數(shù)，兩個正分?jǐn)?shù)，兩個負(fù)分?jǐn)?shù).它們都是有理數(shù) 嗎？2 .有理數(shù)集中有沒有這樣的數(shù)，它既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)？如有，這樣的數(shù)有 幾個？3 .下面兩個圓圈分別表示正數(shù)集合和整數(shù)集合,請在這兩個圓圈內(nèi)填入六個數(shù), 其中有三個數(shù)既在正數(shù)集合內(nèi)，又在整數(shù)集合內(nèi).這三個數(shù)應(yīng)填在哪里？你能說 出這兩個圓圈的重疊局部表示什么數(shù)的集合嗎？習(xí)題2.1.以下各數(shù)，哪些是整數(shù)，哪些是分?jǐn)?shù)？哪些是正數(shù),哪些是負(fù)數(shù)？1, -0. 10, - , -789, 325, 0, -20, 10. 10, 1000. 1 8.把以下各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的圈子里:3.下面的大括號表示一些數(shù)的集合，把第1、2兩題中的各數(shù)填入相應(yīng)的大括號 里：正整數(shù)集：負(fù)整數(shù)集：正分?jǐn)?shù)集：負(fù)分?jǐn)?shù)集：4?請接著寫出后面的三個數(shù)，你能說出第100個數(shù)、第2000個數(shù)、第2001個數(shù)是什么嗎？(1)1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, _1, , , ； 據(jù)現(xiàn)在的考證，至遲在公元前一世紀(jì)，但其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周 代。九章算術(shù)采用問題集的形式，全書246個問題，分成方田、粟米、衰分、 少廣、商功、均輸、贏缺乏、方程、勾股等九章，其中所包含的數(shù)學(xué)成就是十分 豐富的。(2)1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, , ,.(3)-1, 1,-1 1, -1, 1 -1,23 45 67閱讀材料一 一中國人最早使用負(fù)數(shù)一一九章算術(shù)和我國古代的“正負(fù)術(shù)”九章算術(shù)是中國古典數(shù)學(xué)最重要的一部著作。9這部著作的成書年代，根引進(jìn)和使用負(fù)數(shù)是九章算術(shù)的一項(xiàng)突出的貢獻(xiàn)。在九章算術(shù)的“方程術(shù)” 中，當(dāng)用遍乘直除算法消元時，可能出現(xiàn)減數(shù)大于被減數(shù)的情形，為此，就需要 引進(jìn)負(fù)數(shù)九章算術(shù)在方程章中提出了如下的“正負(fù)術(shù)”：“同名相除，異名 相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入 負(fù)之這實(shí)際上就是正負(fù)術(shù)的加減運(yùn)算法那么?！巴薄ⅰ爱惷狈謩e指同號、異號；“相 益”、“相除”分別指兩數(shù)的絕對值相加、相減。前四句說的是正負(fù)數(shù)和零的減法 法那么，后四句說的是正負(fù)數(shù)和零的加法法那么。用符號表示，設(shè)a>b>0,這八句 話可以表示為：(±a) (±b) = ± (ab)；(±a) ( U b) = ± (a+b)；0a=a；0 (a) = +a；(±a) + ( u b) = ± (ab), (±b) + ( u a) = u (ab)；(±a) + (±b) = 土 (ab)；0 + a= +a；0+ (a) = a。不難看出，所有這些是與我們所學(xué)的有理數(shù)加減法法那么是完全一致的。九章算術(shù)以后，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽對負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就作了很自然的解 釋：“兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，并主張在籌算中用紅籌代表正數(shù)，黑籌 代表負(fù)數(shù)。在國外，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)和使用要比我國遲好幾百年，直到七世紀(jì)時印度數(shù)學(xué)家 才開始使用負(fù)數(shù)。而在歐洲，直到十六世紀(jì)韋達(dá)的著作還拒絕使用負(fù)數(shù)。