直線與圓的位置關(guān)系 一 復(fù)習提問 1 點和圓的位置關(guān)系有幾種 2 大漠孤煙直 長河落日圓 是唐朝詩人王維的詩句 它描述了黃昏日落時分塞外特有的景象 如果我們把太陽看成一個圓 地平線看成一條直線 那你能根據(jù)直線與圓的公共點的個數(shù)想象一下 直線和圓的位置關(guān)系有幾種 觀察三幅太陽落山的照片 地平線與太陽的位置關(guān)系是怎樣的 a 地平線 你發(fā)現(xiàn)這個自然現(xiàn)象反映出直線和圓的位置關(guān)系有哪幾種 1 3 2 2 如圖 在紙上畫一條直線L 把鑰匙環(huán)看作一個圓 在紙上移動鑰匙環(huán) 你能發(fā)現(xiàn)在鑰匙環(huán)移動的過程中 它與直線L的公共點的個數(shù)嗎 直線和圓公共點 這時我們說直線和圓 這條直線叫做圓的這個點叫如圖1 直線和圓公共點 這時我們說直線和圓 如圖3 直線和圓公共點 這時我們說直線和圓 這條直線叫做圓的 這個點叫做如圖2 如圖1 如圖2 如圖3 有兩個 相交 割線 只有一個 相切 切線 切點 沒有 相離 交點 1 直線和圓有兩個公共點時 叫做直線和圓相交 這時直線叫做圓的割線 2 直線和圓有唯一公共點時 叫做直線和圓相切 這時直線叫做圓的切線 唯一的公共點叫做切點 3 直線和圓沒有公共點時 叫做直線和圓相離 直線和圓的位置關(guān)系 1 直線與圓相離 相切 相交的定義 直線和圓的位置關(guān)系是用直線和圓的公共點的個數(shù)來定義的 即直線與圓沒有公共點 只有一個公共點 有兩個公共點時分別叫做直線和圓相離 相切 相交 相離 相交 相切 切點 切線 割線 快速判斷下列各圖中直線與圓的位置關(guān)系 l l O2 l L 2 連結(jié)直線外一點與直線所有點的線段中 最短的是 1 直線外一點到這條直線垂線段的長度叫點到直線的距離 垂線段 a A D 2 直線l和 O相切 2 用圓心到直線的距離和圓半徑的數(shù)量關(guān)系 來揭示圓和直線的位置關(guān)系 1 直線l和 O相離 3 直線l和 O相交 d r d r d r 總結(jié) 判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有 種 1 根據(jù)定義 由 的個數(shù)來判斷 2 根據(jù)性質(zhì) 由 的關(guān)系來判斷 在實際應(yīng)用中 常采用第二種方法判定 兩 直線與圓的公共點 圓心到直線的距離d與半徑r r d d d 直線與圓的位置關(guān)系判定方法 無 切線 割線 直線名稱 無 切點 交點 公共點名稱 d r d r d r 圓心到直線距離d與半徑r關(guān)系 0 1 2 公共點個數(shù) 相離 相切 相交 直線和圓的位置關(guān)系 相交 相切 相離 d 5cm d 5cm d 5cm 三 練習與例題 0cm 2 1 0 切線長定理 如圖 過 O外一點P有兩條直線PA PB與 O相切 A B P O 在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上 這點和切點間的線段的長 叫做切線長 切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線 它們的切線長相等 圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角 平分切點所成的兩弧 垂直平分切點所成的弦 例1 已知 如圖 PA PB是 O的兩條切線 A B為切點 直線OP交 O于點D E 交AB于C 1 寫出圖中所有的垂直關(guān)系 2 寫出圖中所有的全等三角形 3 如果PA 4cm PD 2cm 求半徑OA的長 A O C D P B E 解 1 OA PA OB PB OP AB 2 OAP OBP OCA OCB ACP BCP 3 設(shè)OA xcm 則PO PD x 2 x cm 在Rt OAP中 由勾股定理 得 PA2 OA2 OP2 即42 x2 x 2 2 解得x 3cm 所以 半徑OA的長為3cm 思考 如圖 一張三角形的鐵皮 如何在它上面截下一塊圓形的用料 并且使圓的面積盡可能大呢 I D 內(nèi)切圓和內(nèi)心的定義 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點 叫做三角形的內(nèi)心 例2 ABC的內(nèi)切圓 O與BC CA AB分別相切于點D E F 且AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求AF BD CE的長 解 設(shè)AF x cm 則AE x cm CD CE AC AE 13 xBD BF AB AF 9 x 由BD CD BC可得 13 x 9 x 14 解得x 4 AF 4 cm BD 5 cm CE 9 cm 練習P106 1 2 記憶 1 Rt ABC中 C 90 a 3 b 4 則內(nèi)切圓的半徑是 1 1 在Rt ABC中 B 90 A的平分線交BC于D 以D為圓心 DB長為半徑作 D 試說明 AC是 D的切線 F 3 AB是 O的直徑 AE平分 BAC交 O于點E 過點E作 O的切線交AC于點D 試判斷 AED的形狀 并說明理由 基礎(chǔ)題 1 既有外接圓 又內(nèi)切圓的平行四邊形是 2 直角三角形的外接圓半徑為5cm 內(nèi)切圓半徑為1cm 則此三角形的周長是 3 O邊長為2cm的正方形ABCD的內(nèi)切圓 E F切 O于P點 交AB BC于E F 則 BEF的周長是 E F H G 正方形 22cm 2cm 4 已知 三角形ABC內(nèi)接于 O 過點A作直線EF 1 圖甲 AB為直徑 要使得EF是 O切線 還需添加的條件 只需寫出三種情況 2 圖乙 AB為非直徑的弦 CAE B 求證 EF是 O的切線 CAE B AB FE BAC CAE 90 H 5 小紅家的鍋蓋壞了 為了配一個鍋蓋 需要測量鍋蓋的直徑 鍋邊所形成的圓的直徑 而小紅家只有一把長20cm的直尺 根本不夠長 怎么辦呢 小紅想了想 采取以下方法 首先把鍋平放到墻根 鍋邊剛好靠到兩墻 用直尺緊貼墻面量得MA的長 即可求出墻的直徑 請你利用圖乙 說明她這樣做的道理 1 已知直角梯形ABCD中 AD BC AB BC 以腰DC的中點E為圓心的圓與AB相切 梯形的上底AD與底BC是方程x2 10 x 16 0的兩根 求 E的半徑r F 想一想 圓的外切四邊形的兩組對邊有什么關(guān)系 說明你的結(jié)論的正確性 A B C D O L M N P 熱身練習1 O的半徑為3 圓心O到直線l的距離為d 若直線l與 O沒有公共點 則d為 A d 3B d 3C d 3D d 32 圓心O到直線的距離等于 O的半徑 則直線和 O的位置關(guān)系是 A 相離B 相交C 相切D 相切或相交3 判斷 若直線和圓相切 則該直線和圓一定有一個點 4 等邊三角形ABC的邊長為2 則以A為圓心 半徑為1 73的圓與直線BC的位置關(guān)系是 以A為圓心 為半徑的圓與直線BC相切 A C 相離 練習1如圖 AB是 O的直徑 點D在AB的延長線上 BD OB 點C在圓上 CAB 300 求證 DC是 O的切線 方法引導(dǎo)當已知直線與圓有公共點 要證明直線與圓相切時 可先連結(jié)圓心與公共點 再證明連線垂直于直線 這是證明切線的一種方法 1 定義法 和圓有且只有一個公共點的直線是圓的切線 2 數(shù)量法 d r 和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線 3 判定定理 經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 即 若直線與圓的一個公共點已指明 則連接這點和圓心 說明直線垂直于經(jīng)過這點的半徑 若直線與圓的公共點未指明 則過圓心作直線的垂線段 然后說明這條線段的長等于圓的半徑 直線與圓的位置關(guān)系總復(fù)習 備課人 周愛武2010 1 8 3 直線和圓有2個交點 則直線和圓 直線和圓有1個交點 則直線和圓 直線和圓有沒有交點 則直線和圓 相交 相切 相離 1 根據(jù)直線和圓相切的定義 經(jīng)過點A用直尺近似地畫出 O的切線 例 在Rt ABC中 C 90 AC 3cm BC 4cm 以C為圓心 r為半徑的圓與AB有怎樣的關(guān)系 為什么 1 r 2cm 2 r 2 4cm 3 r 3cm D 解 過C作CD AB于D 在Rt ABC中 根據(jù)三角形面積公式有 CD AB AC BC 即圓心C到AB的距離d 2 4cm 1 當r 2cm時 有d r 因此 C和AB相離 2 當r 2 4cm時 有d r 因此 C和AB相切 3 當r 3cm時 有d r 因此 C和AB相交 練習 B組 1 如圖 在Rt ABC中 C 90 AB 5cm AC 3cm 以C為圓心的圓與AB相切 則這個圓的半徑是cm 2 如圖 已知 AOB 30 M為OB上一點 且OM 5cm 以M為圓心 r為半徑的圓與直線OA有怎樣的位置關(guān)系 為什么 r 2cm r 4cm r 2 5cm 3 直線L和 O有公共點 則直線L與 O A 相離 B 相切 C 相交 D 相切或相交 12 5 相離 相交 相切 D 在 O中 經(jīng)過半徑OA的外端點A作直線L OA 則圓心O到直線L的距離是多少 直線L和 O有什么位置關(guān)系 思考 O A OA 相切 L 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 幾何應(yīng)用 OA L L是 O的切線 A B l O 圓O與直線l相切 則過點A的直徑AB與切線l有怎樣的位置關(guān)系 垂直 例1直線AB經(jīng)過 O上的點C 并且OA OB CA CB 求證 直線AB是 O的切線 證明 連接OC OA OB CA CB OAB是等腰三角形 OC是底邊AB上的中線 OC AB AB是 O的切線 O A L 思考 將上頁思考中的問題反過來 如果L是 O的切線 切點為A 那么半徑OA與直線L是不是一定垂直呢 一定垂直 切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于過切點的半徑 拓展應(yīng)用 1 在Rt ABC中 B 90 A的平分線交BC于D 以D為圓心 DB長為半徑作 D 試說明 AC是 D的切線 F 2 AB是 O的弦 C是 O外一點 BC是 O的切線 AB交過C點的直徑于點D OA CD 試判斷 BCD的形狀 并說明你的理由 3 AB是 O的直徑 AE平分 BAC交 O于點E 過點E作 O的切線交AC的延長線于點D 試判斷 AED的形狀 并說明理由 6 如圖 O切PB于點B PB 4 PA 2 則 O的半徑多少 7 如圖 PA PC分別切圓O于點A C兩點 B為圓O上與A C不重合的點 若 P 50 則 ABC 8 如圖 AP 50 PA PC DE都為 O的切線 則 DOE為 變式 改變切線 的位置 則 DOE 65 65 歸納 只要 AP 的大小不變 DOE也不變 9 如圖 已知PA PB分別切 O于A B兩點 如果 P 60 PA 2 那么AB的長為 2 變式1 CD也與 O相切 切點為E 交PA于C點 交PB于D點 則 PCD的周長為 4 變式2 改變切點E的位置 在劣弧 上 則 PCD的周長為 變式 若PA 則 PCD的周長為 變式 若PA a 則 PCD的周長為 2a 教與學P179頁第17題 10 如圖 已知正方形紙片ABCD的邊長為8 O的半徑為2 圓心O在正方形的中心上 將紙片按圖示方式折疊 使EA 恰好與 O相切于點A EFA 與 O除切點外無重疊部分 延長FA 交CD邊于點G 則A G的長 例4 如圖 直角坐標系中 A 2 0 B 8 0 以AB為直徑作半 P交y軸于M 以AB為一邊作正方形ABCD 1 直接寫出C M兩點的坐標 2 連CM 試判斷直線CM與 P的位置關(guān)系 并證明你的結(jié)論 思考 如圖 一張三角形的鐵皮 如何在它上面截下一塊圓形的用料 并且使圓的面積盡可能大呢 I D 內(nèi)切圓和內(nèi)心的定義 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點 叫做三角形的內(nèi)心 例3 ABC的內(nèi)切圓 O與BC CA AB分別相切于點D E F 且AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求AF BD CE的長 解 設(shè)AF x cm 則AE x cm CD CE AC AE 13 xBD BF AB AF 9 x 由BD CD BC可得 13 x 9 x 14 解得x 4 AF 4 cm BD 5 cm CE 9 cm 練習P106 1 2 記憶 1 Rt ABC中 C 90 a 3 b 4 則內(nèi)切圓的半徑是 1 1 在Rt ABC中 B 90 A的平分線交BC于D 以D為圓心 DB長為半徑作 D 試說明 AC是 D的切線 F 數(shù)量法 d r 和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線 2 AB是 O的弦 C是 O外一點 BC是 O的切線 AB交過C點的直徑于點D OA CD 試判斷 BCD的形狀 并說明你的理由 基礎(chǔ)題 1 既有外接圓 又內(nèi)切圓的平行四邊形是 2 直角三角形的外接圓半徑為5cm 內(nèi)切圓半徑為1cm 則此三角形的周長是 正方形 22cm 4 已知 三角形ABC內(nèi)接于 O 過點A作直線EF 1 圖甲 AB為直徑 要使得EF是 O切線 還需添加的條件 只需寫出三種情況 2 圖乙 AB為非直徑的弦 CAE B 求證 EF是 O的切線 CAE B AB FE BAC CAE 90 H 5 小紅家的鍋蓋壞了 為了配一個鍋蓋 需要測量鍋蓋的直徑 鍋邊所形成的圓的直徑 而小紅家只有一把長20cm的直尺 根本不夠長 怎么辦呢 小紅想了想 采取以下方法 首先把鍋平放到墻根 鍋邊剛好靠到兩墻 用直尺緊貼墻面量得MA的長 即可求出鍋蓋的直徑 請你利用圖乙 說明她這樣做的道理 切線和圓只有一個公共點 切線和圓心的距離等于半徑 切線垂直于過切點的半徑 經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點 經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心 切線的性質(zhì) 切線的性質(zhì) 可歸納為 已知直線滿足a 過圓心 b 過切點 c 垂直于切線中任意兩個 便得到第三個結(jié)論 1 已知直角梯形ABCD中 AD BC AB BC 以腰DC的中點E為圓心的圓與AB相切 梯形的上底AD與底BC是方程x2 10 x 16 0的兩根 求 E的半徑r F 三角形的內(nèi)切圓 1 三角形的內(nèi)切圓的圓心是 的交點 2 三角形的內(nèi)心的性質(zhì) 4 直角三角形的內(nèi)切圓半徑 外接圓半徑分別等于 3 若三角形的面積是s 周長是c 則它的內(nèi)切圓半徑等于 想一想 圓的外切四邊形的兩組對邊有什么關(guān)系 說明你的結(jié)論的正確性 A B C D O L M N P