湖南師大附中2018屆高三月考試卷(六)數(shù)學(文科) 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共8頁。時量120分鐘。滿分150分。第卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(1)復數(shù)z1i，為z的共軛復數(shù)，則zz3(C)(A)2i (B)i (C)i (D)2i(2)若a，b為實數(shù)，則“0<ab<1”是“|ab|<1”的(A)(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分又不必要條件(3)設alog3，b，c2，則(A)(A)abc (B)cba(C)cab (D)bac【解析】由函數(shù)的性質得到alog3<0，b(0，1)，c21，所以，abc.(4)為調查某市中學生平均每人每天參加體育鍛煉時間x(單位：分鐘)，按鍛煉時間分下列四種情況統(tǒng)計：010分鐘；1120分鐘；2130分鐘；30分鐘以上有10 000名中學生參加了此項活動，下圖是此次調查中某一項的流程圖，其輸出的結果是6200，則平均每天參加體育鍛煉時間在020分鐘內的學生的頻率是(D)(A)3 800 (B)6 200 (C)0.62 (D)0.38(5)在某次測量中得到A樣本數(shù)據(jù)如下：43，50，45，55，60，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本每個數(shù)都增加3得到，則A、B兩樣本的下列數(shù)字特征對應相同的是(C)(A)眾數(shù) (B)中位數(shù)(C)方差 (D)平均數(shù)(6)數(shù)列an滿足a11，log3an1log3an1，它的前n項和為Sn，則滿足Sn>1 000的最小n值是(C)(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【解析】因為a11，log3an1log3an1 (nN*)，所以an13an，Sn，則滿足Sn>1000的最小n值是7.(7)某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則ab的最大值為(C)(A)2 (B)2 (C)4 (D)2【解析】設長方體長、寬、高分別為m、n、x.由已知，m2n2x27，m2x26得n1，又x21a2，m21b2，所以：(ab)2a2b22abx2m22n22ab82ab82，由此解得：ab4，當且僅當ab時取“”故ab的最大值為4.(8)已知函數(shù)f(x)Acos x(A0，0)的最小正周期為2，且f1，則函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個單位后所得圖象的函數(shù)解析式為(A)(A)y2sin x (B)ysin x(C)y2cos x (D)ycos x【解析】由最小正周期為2，得2，則，又f1，所以Acos1，A2，所以f(x)2cos x，將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個單位后得到y(tǒng)2cos2cos2sin x的圖象(9)過拋物線y24x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是原點，若AOB的面積為 ，則直線AB的斜率為(C)(A)2 (B)2 (C)±2 (D)【解析】設直線AB的傾斜角為，由SABC得sin ，所以tan ±2.(10)若函數(shù)f(x)x3x2在區(qū)間(a，a4)上存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍是(C)(A)(6，2) (B)(6，3)(C)(6，3 (D)(6，2【解析】函數(shù)f(x)x3x2在(，2)，(0，)上是增函數(shù)，在(2，0)上是減函數(shù)令f(x)f(2)，得x2或x1.結合圖像可知：解得a(6，3(11)已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)g(x)ff(x)1的零點個數(shù)是(D)(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個【解析】設f(M)0，得M2或M1.當M1時，由f(x)11得log2(x)2或x22，即得x0或x；當M2時，由f(x)12得f(x)1，即log2(x)1或x21，即x2或x3.(12)在平面直角坐標系xOy中，A、B為不等式組所表示的區(qū)域上任意兩個動點， M的坐標為(3，1)，則·的最大值為(B)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，·()·(3x2y2)(3x1y1)，由于A、B為不等式組所表示的區(qū)域上任意兩個動點，故要求·的最大值即求目標函數(shù)z3xy的最大值與最小值的差，作出不等式所表示的平面區(qū)域如圖，可知目標函數(shù)最大值和最小值分別為6和3，·的最大值為3.選擇題答題卡題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案CAADCCCACCDB第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第(13)(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答第(22)(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本題共4小題，每小題5分(13)已知集合A3，a2，B0，b，1a，且AB1，則AB_0，1，2，3_【解析】A3，a2，集合B0，b，1a，且AB1，a21，解得：a1或a1，當a1時，1a110，不合題意，舍去；當a1時，1a1(1)2，此時b1，A3，1，集合B0，1，2，則AB0，1，2，3故答案為：0，1，2，3(14)已知正實數(shù)x，y滿足xy2xy4，則xy的最小值為_23_【解析】正實數(shù)x，y滿足xy2xy4，y(0x2)xyxx(x1)32323，當且僅當x1時取等號xy的最小值為23.故答案為：23.(15)折紙已經成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段已知在折疊“愛心”的過程中會產生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內的概率為_【解析】設正方形ABCD的邊長為2，則由題意，多邊形AEFGHID的面積為55×2×212，陰影部分的面積為2×2××24，向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內的概率為，故答案為.(16)函數(shù)yf(x)圖象上不同兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)處的切線的斜率分別是kA、kB，規(guī)定(A，B)叫做曲線yf(x)在點A、B之間的“平方彎曲度”設曲線yexx上不同兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21，則(A，B)的取值范圍是_【解析】yexx的導數(shù)為yex1，kAex11，kBex21，(A，B)，x1x21，可得x1x2，ex1ex2，可令tex1ex2，可設f(t)，t0，f(t)，當0t時，f(t)0，f(t)遞增；當t時，f(t)0，f(t)遞減則當t處f(t)取得極大值，且為最大值.則(A，B).故答案為：.三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟(17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列an中，a12，且2anan11(n2，nN)()求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項公式；()設bnn(an1)，數(shù)列bn的前n項和為Sn，求證：1Sn4.【解析】()an11(an11), 2分又a1110，數(shù)列an1是首項為1，公比為的等比數(shù)列. 4分an1，得an1.5分()bnn(an1)n，設Sn1則Sn8分得：Sn12，Sn44，10分Sn4<4，又bnn>0，數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，故SnS11，1Sn4. 12分(18)(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC60°，E、F分別是BC、PC的中點()證明：AE平面PAD；()取AB2，在線段PD上是否存在點H，使得EH與平面PAD所成最大角的正切值為，若存在，請求出H點的位置，若不存在，請說明理由【解析】()證明：由四邊形ABCD為菱形，ABC60°，可得ABC為正三角形，E為BC的中點，AEBC.又BCAD，因此AEAD.PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD，PAADA，AE平面PAD; 4分()設線段PD上存在一點H，連接AH，EH.由()知AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角. 6分在RtEAH中，AE，當AH最短時，即當AHPD時，EHA最大，此時tanEHA，因此AH. 10分線段PD上存在點H，當DH時，使得EH與平面PAD所成最大角的正切值為. 12分(19)(本小題滿分12分)如圖，在ABC中，M是邊BC的中點，cosBAM，tanAMC.()求角B的大??；()若角BAC，BC邊上的中線AM的長為，求ABC的面積【解析】()由cosBAM，得：sinBAM，tanBAM. 2分又AMCBAMB，tan Btan(AMCBAM)；5分又B(0，)，B.6分()由()知B.角BAC，C.則ABBC.8分設MBx，則AB2x.在ABM中由余弦定理，得AM2AB2MB22AB·BMcos B，10分即7x221.解得：x.故得ABC的面積SABC×4x2×sin3. 12分(20)(本小題滿分12分)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，連接橢圓四個頂點的四邊形面積為2.()求橢圓C的方程；()A、B是橢圓的左右頂點，P是橢圓上任意一點，橢圓在P點處的切線與過A、B且與x軸垂直的直線分別交于C、D兩點，直線AD、BC交于Q，是否存在實數(shù)，使xPxQ恒成立，并說明理由【解析】()由題意e，2ab2解得a，b，故橢圓C的方程為15分()設切線方程為ykxm，與橢圓聯(lián)立消元得x26kmx3m260直線與橢圓相切，36k2m240化簡得m223k2，7分且xP，8分又點A(，0)，D(，km)，直線AD方程為y9分同理直線BC方程為y10分解得xQ11分存在1，使xPxQ恒成立.12分(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f.()求函數(shù)f的極值點；()設g，若函數(shù)g在內有兩個極值點x1、x2，求證：g·g<.【解析】()f，1分若0<a<2，由f0得x2，xa；由f>0，可得0<x<a或x>2，即函數(shù)f在，上為增函數(shù)；由f<0，可得a<x<2，即函數(shù)f在上為減函數(shù)，所以函數(shù)f在上有極大值點xa，極小值點x2.3分若a2，則f在上大于等于零恒成立，故函數(shù)f在上單調遞增，無極值點.4分若a>2，由f0得x2，xa；由f>0可得x<2或x>a，所以函數(shù)f在，上為增函數(shù)；由f<0，可得2<x<a，所以函數(shù)f在上為減函數(shù)，所以函數(shù)f在上有極大值點x2，極小值點xa.6分()g，則g.7分記h2x2x2，由題意可知方程h0即2x2x20在上有兩個不等實數(shù)根x1，x2.所以 解得：a>2.9分gg.11分a>2，gg<.12分請考生在第(22)(23)兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號(22)(本小題滿分10分)選修44：坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，曲線C：2acos (a>0)，l：cos，C與l有且僅有一個公共點()求a；()O為極點，A，B為C上的兩點，且AOB，求的最大值【解析】()由cos x，sin y，2x2y2可將曲線C、直線l的極坐標方程化為直角坐標方程分別為y2a2，l的方程為：xy30，由已知得aa1.5分()因為曲線C為圓，由圓的對稱性，設AOx，則2cos 2cos，3cos sin 2sin2，所以當時，的最大值為2.10分(23)(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)， ()解不等式f(x)9；()若不等式f(x)<2xa的解集為A，B，且滿足BA，求實數(shù)a的取值范圍【解析】()f(x)9可化為9，或，或；2分2<x4，或1x2，或2x<1; 4分不等式的解集為2，4；5分()易知B(0，3)；6分所以BA，又<2xa在x(0，3)恒成立；7分<xa1在x(0，3)恒成立；8分xa1<2x4<xa1在x(0，3)恒成立；9分a510分9第頁