第29章投影與視圖 29 1投影 課前預(yù)習1 下面四個幾何體中 從上往下看 其正投影不是圓的幾何體是 A B C D 2 下列圖形中 表示兩棵小樹在同一時刻陽光下的影子的圖形可能是 A B C D A A 3 人往路燈下行走的影子變化情況是 A 長 短 長B 短 長 短C 長 長 短D 短 短 長4 人在燈光下走動 當人遠離燈光時 其影子的長度將 A 變長 課堂精講知識點1平行投影定義 一般地 用光線照射物體 在某個平面 地面 墻壁等 上得到的影子叫做物體的投影 照射光線叫做投影線 投影所在的平面叫做投影面 太陽光線可看作平行的 由平行光線形成的投影叫做平行投影 1 等高的物體垂直地面放置時 如圖所示 同一時刻 在太陽光下 它們的影子一樣長 2 等長的物體平行于地面放置時 如圖所示 同一時刻 它們在太陽光下的影子一樣長 且影長等于物體本身的長度 3 物體在太陽光下的不同時刻 不僅影子的大小在改變 而且影子的方向也在改變 就我們生活在北半球而言 從早晨到傍晚 物體的影子由西向東繞物體沿順時針方向轉(zhuǎn)動 其影長的變化規(guī)律是 長 短 長 4 不同時刻 同一物體的影子長度不同 同一時刻 不同物體的影子長度與它們本身的高度成比例 即 例1 已知如圖 AB和DE是直立在地面上的兩根立柱 AB 5m 某一時刻AB在陽光下的投影BC 2m 1 請你畫出此時DE在陽光下的投影 2 在測量AB的投影時 同時測量出DE在陽光下的投影長為4m 請你計算DE的長 解析 1 連結(jié)AC 過點D作DF AC 則EF為所求 2 先證明Rt ABC Rt DEF 然后利用相似比計算出DE的長 解 1 如圖 EF為此時DE在陽光下的投影 2 AC DF ACB DFE Rt ABC Rt DEF 即 解得DE 10 m 即DE的長為10m 變式拓展1 如圖 在A時測得某樹的影長為4米 B時又測得該樹的影長為9米 若兩次日照的光線互相垂直 則樹的高度為米 6 知識點2中心投影定義 由同一點 點光源 發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影 這個 點 就是中心 相當于物理上學習的 點光源 1 等高的物體垂直地面放置時 如圖所示 在燈光下 離點光源近的物體它的影子短 離點光源遠的物體它的影子長 1 2 2 等長的物體平行予地面放置時 如圖所示 一般情況下 離點光源越近 影子越長 離點光源越遠 影子越短 但都大于物體本身的長度 3 點光源 物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上 根據(jù)其中兩個點的位置 就可以確定第三個點的位置 例2 2013秋 太原期末 如圖 夜晚路燈下有一排同樣高的旗桿 離路燈越近 旗桿的影子 A 越長B 越短C 一樣長D 隨時間變化而變化 解析 連接路燈和旗桿的頂端并延長交平面于一點 這點到旗桿的底端的距離是就是旗桿的影長 畫出相應(yīng)圖形 比較即可 解 由圖易得AB CD 那么離路燈越近 它的影子越短 答案 B 變式拓展2 如圖 晚上小亮在路燈下散步 在從A處走向B處的過程中 他在地上的影子 A 逐漸變短B 先變短后再變長C 逐漸變長D 先變長后再變短 B 知識點3正投影定義 投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影 注意 正投影是特殊的平行投影 它不可能是中心投影 同時 立體圖形的正投影可以歸結(jié)為點 線段及平面圖形的正投影 人們在實際制圖中 經(jīng)常采用正投影 正投影有如下一些性質(zhì) 1 如圖所示為不同位置放置時 直木棒AB在平面P上的正投影 當木棒AB平行于投影面P時 它的正投影是線段A1B1 木棒與它的投影的大小關(guān)系為AB A1B1 當木棒AB傾斜于投影面P時 它的正投影是線段A2B2 木棒與它的投影的大小關(guān)系為AB A2B2 當木棒AB垂直于投影面P時 它的正投影是一個點A3 2 如圖所示為不同位置放置時 長方形硬紙板ABCD在平面P上的正投影 平面P為所在平面 當紙板ABCD平行于投影面P時 ABCD的正投影與ABCD的形狀 大小一樣 當紙板ABCD傾斜于投影面P時 ABCD的正投影與ABCD的形狀 大小不完全一樣 當紙板ABCD垂直于投影面P時 ABCD的正投影成為一條線段 3 如圖所示 圓柱體的正投影是矩形ABCD 例3 把一個正五棱柱如圖擺放 當投射線由正前方射到后方時 它的正投影是 解析 根據(jù)投影的性質(zhì)可得 該物體為五棱柱 則正投影應(yīng)為矩形 B 變式拓展3 如圖是用4個大小相同的立方體拼成的幾何體 它的正投影不可能是 A B C D D 隨堂檢測1 下列投影一定不會改變 ABC的形狀和大小的是 A 中心投影B 平行投影C 正投影D 當 ABC平行投影面時的平行投影2 圓形物體在陽光下的投影不可能是 A 圓形B 線段C 矩形D 橢圓形3 小剛走路時發(fā)現(xiàn)自己的影子越走越長 這是因為 A 從路燈下走開 離路燈越來越遠B 走到路燈下 離路燈越來越近C 人與路燈的距離與影子長短無關(guān)D 路燈的光越來越亮 C C B 4 如圖所示 右面水杯的杯口與投影面平行 投影線的方向如箭頭所示 它的正投影圖是 A B C D 5 為了測量水塔的高度 我們?nèi)∫恢窀?放在陽光下 已知2m長的竹竿投影長為1 5m 在同一時刻測得水塔的投影長為30m 則水塔高為m D 40 29 2三視圖29 2 1三視圖 1 課前預(yù)習1 下列幾何體的主視圖是三角形的是 A B C D 2 在下面的四個幾何體中 它們各自的左視圖與主視圖不相同的是 A B C D 正方體長方體圓柱圓錐 B B 3 請寫出一個三視圖都相同的幾何體 4 房地產(chǎn)開發(fā)商在介紹樓房室內(nèi)結(jié)構(gòu)時 宣傳單上標示的結(jié)構(gòu)圖是房間的視圖 5 畫出下面實物的三視圖 球 俯 解 三視圖如圖所示 課堂精講知識點1三視圖的有關(guān)概念 1 視圖 當我們從某一方向觀察一個物體時 所看到的平面圖形叫做物體的一個視圖 視圖可以看作物體在某一方向光線下的正投影 對于同一個物體 如果從不同方向觀察 所得到的視圖可能不同 2 正面 水平面和側(cè)面 用三個互相垂直的平面作為投影面 其中正對著我們的平面叫做正面 下方的平面叫做水平面 右邊的平面叫做側(cè)面 3 三視圖 一個物體在三個投影面內(nèi)進行正投影 在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖 叫做主視圖 在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖 叫做俯視圖 在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖 叫做左視圖 主視圖 俯視圖 左視圖叫做物體的三視圖 如圖所示 4 常見幾何體的三視圖如右表 例1 如圖 下列選項中不是正六棱柱三視圖的是 A B C D 解析 主視圖 左視圖 俯視圖是分別從物體正面 左面和上面看 所得到的圖形 正六棱柱三視圖分別為 三個左右相鄰的矩形 兩個左右相鄰的矩形 正六邊形 A 例2 如圖是由6個相同的小正方體搭成的幾何體 那么這個幾何體的俯視圖是 A B C D 解析 根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形判定則可 從上面可看到第一橫行左下角有一個正方形 第二橫行有3個正方形 第三橫行中間有一個正方形 C 變式拓展1 如圖是由5個大小相同的正方體擺成的立方體圖形 它的左視圖是 A B C D 2 下面的幾何體中 主視圖為三角形的是 A B C D B C 1 長對正 高平齊 可從兩個角度理解 一是數(shù)量關(guān)系 即主視圖與俯視圖的長相等 主視圖與左視圖的高相等 二是位置關(guān)系 即主視圖與俯視圖最左側(cè)在一條豎直線上 最右側(cè)也在一條豎直線上 主視圖與左視圖最高點 線段 在一條水平線上 最低點 線段 在一條水平線上 2 三視圖與投影的關(guān)系 某些物體的三視圖實際上是該物體在一定條件下所形成的正投影 某些物體的主視圖 左視圖 俯視圖可以看成一束平行光線分別從物體的正面 左面 上面照射 在垂直于這一方向的平面上所形成的正投影 3 畫三視圖的規(guī)定 看得見部分的輪廓線畫成實線 因被其他部分遮擋而看不見部分的輪廓線畫成虛線 例3 畫出圖中由幾個正方體組成的幾何體的三視圖 解析 主視圖有3列 每列小正方形數(shù)目分別為2 1 1 左視圖有3列 每列小正方形數(shù)目分別為1 2 1 俯視圖有3列 每行小正方形數(shù)目分別為3 1 1 答案 三視圖如下圖 變式拓展3 如圖 是由若干個完全相同的小正方體組成的一個幾何體 請畫出這個幾何體的三視圖 解 畫圖如下 隨堂檢測1 如圖 下列四個幾何體中 它們各自的三視圖 主視圖 左視圖 俯視圖 有兩個相同 而另一個不同的幾何體是 A B C D B 2 如圖 由6個相同的小正方體搭成的立體圖形 若由圖 變到圖 不改變的是 A 主視圖B 左視圖C 俯視圖D 左視圖和俯視圖 A 3 一個正方體切去拐角后得到形狀如圖的幾何體 其俯視圖是 A B C D C 4 2015 臺州一模 如圖的幾何體的左視圖是 A B C D B 5 畫出下列幾何體的主視圖 左視圖與俯視圖 解 如圖所示 29 2三視圖 第2課時 課前預(yù)習1 如圖 三視圖描述的實物形狀是 A 棱柱B 棱錐C 圓柱D 圓錐 D 2 下列三視圖所對應(yīng)的直觀圖是 A B C D C 3 如圖是一個幾何體的三種視圖 根據(jù)圖中標注的數(shù)據(jù)可求得該幾何體的側(cè)面積為 A 2B 4C 2 D 4 4 2014 廣東模擬 一個底面水平放置的圓柱的主視圖是面積為1的長方形 這個圓柱的側(cè)面積S 5 如圖 由四個小正方體組成的幾何體中 若每個小正方體的棱長都是1 則從上面看到的該幾何體的形狀圖的面積是 C 3 課堂精講知識點根據(jù)三視圖描述物體原來的形狀及計算展開圖的面積觀察三視圖 并綜合考慮各視圖所表示的意思以及視圖間的聯(lián)系 可以想象出三視圖所表示的立體圖形的形狀 這是由視圖轉(zhuǎn)化為立體圖形的過程 由立體圖形可以確定三視圖和展開圖 立體圖形的三視圖和展開圖是平面圖形 立體圖形 三視圖和展開圖中 三者知其一 我們就能確定另外兩種圖形 即三者之間可以互相轉(zhuǎn)化 歸納 由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度 可以通過如下途徑進行分析 1 根據(jù)主視圖 俯視圖和左視圖想象幾何體的前面 上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長 寬 高 2 根據(jù)實線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線 3 熟記一些簡單的幾何體的三視圖會對復(fù)雜幾何體的想象有幫助 4 利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖的互逆過程 反復(fù)練習 不斷總結(jié)方法 注意 由視圖描述物體的形狀要對三視圖進行綜合分析 想象 僅僅一個方向的視圖只能反映物體的部分信息 由三視圖想象幾何體的形狀 首先 例1 某工廠要加工一批茶葉罐 設(shè)計者給出了茶葉罐的三視圖 如圖 請你按照三視圖確定制作每個密封罐所需鋼板的面積 單位 mm 解析 首先利用幾何體的三視圖確定該幾何體的形狀 然后計算其表面積 應(yīng)分別根據(jù)主視圖 俯視圖和左視圖想象幾何體的前面 上面和左側(cè)面 然后綜合起來考慮整體圖形 解 由三視圖可知茶葉罐的形狀為圓柱體 并且茶葉罐的底面直徑2R為100mm 高H為150mm 每個密封罐所需鋼板的面積即為該圓柱體的表面積 S表面積 2 R2 2 RH 2 502 2 50 150 20000 mm2 答 制作每個密封罐所需鋼板的面積20000 mm2 變式拓展1 2015 鄄城縣一模 如圖所示某幾何體的三視圖 則這個幾何體是 A 三棱錐B 圓柱C 球D 圓錐2 2015 平南縣二模 一個長方體的三視圖如圖 若其俯視圖為正方形 則這個長方體的表面積為 A 66B 48C 48 36D 57 D A 隨堂檢測1 2015 房山區(qū)一模 右圖是某幾何體的三視圖 該幾何體是 A 圓柱B 正方體C 圓錐D 長方體2 有一個底面為正三角形的直三棱柱 三視圖如圖所示 則這個直棱柱的側(cè)面積為 A 24B 8C 12D 24 8 D A 3 如圖是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖 則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是 A 4個B 5個C 6個D 7個4 如圖 這是一個長方體的主視圖和俯視圖 由圖示數(shù)據(jù) 單位 cm 可以得出該長方體的體積是cm3 A 18 5 一個立體圖形的三視圖如圖所示 請你根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)求出這個立體圖形的表面積為 8