3 1 2復(fù)數(shù)的幾何意義 自主學(xué)習(xí)新知突破 1 了解復(fù)數(shù)的幾何意義 2 理解復(fù)數(shù)的模的概念 會(huì)求復(fù)數(shù)的模 1 平面向量可以用坐標(biāo)表示 試想復(fù)數(shù)能用坐標(biāo)表示嗎 提示 可以 因復(fù)數(shù)z a bi a b R 與有序?qū)崝?shù)對(duì) a b 唯一確定 由 a b 與平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 從而復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間一一對(duì)應(yīng) 2 已知復(fù)數(shù)z a bi a b R 問題1 在復(fù)平面內(nèi)作出點(diǎn)Z 提示 可以 因復(fù)數(shù)z a bi a b R 與有序?qū)崝?shù)對(duì) a b 唯一確定 由 a b 與平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 從而復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間一一對(duì)應(yīng) 提示1 如右圖 提示2 有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面 x軸叫做 y軸叫做 實(shí)軸上的點(diǎn)都表示 除 外 虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù) 復(fù)平面的定義 實(shí)軸 虛軸 實(shí)數(shù) 原點(diǎn) 1 復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)與復(fù)數(shù)的關(guān)系 1 復(fù)平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的實(shí)部 點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的虛部 2 表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上 實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù) 它們是一一對(duì)應(yīng)的 表示純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上 但虛軸上的點(diǎn)不都表示純虛數(shù) 如原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)0 1 復(fù)數(shù)z a bi a b R 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 2 復(fù)數(shù)z a bi a b R 平面向量 復(fù)數(shù)的幾何意義 Z a b 復(fù)數(shù)的模 2 復(fù)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離設(shè)復(fù)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)P Q所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1 z2 則 PQ z2 z1 運(yùn)用以上性質(zhì) 可以通過數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)問題 1 對(duì)于復(fù)平面 下列命題中的真命題是 A 虛數(shù)集和各個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的B 實(shí) 虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的C 實(shí)部是負(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的集合與第二 三象限的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的D 實(shí)軸上側(cè)的點(diǎn)的集合與虛部為正數(shù)的復(fù)數(shù)的集合是一一對(duì)應(yīng)的 解析 A中純虛數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在象限內(nèi) B中的點(diǎn)應(yīng)在第三象限 C中若復(fù)數(shù)z為負(fù)實(shí)數(shù) 則在x軸負(fù)半軸上 故選D 答案 D 答案 B 答案 1 2i或 1 2i 4 當(dāng)實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí) 復(fù)數(shù)z x2 x 6 x2 2x 15 i 1 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在實(shí)軸上 2 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第四象限 3 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在直線x y 3 0上 合作探究課堂互動(dòng) 復(fù)數(shù)的幾何意義 求當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí) 復(fù)數(shù)z m2 8m 15 m2 3m 28 i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 1 位于第四象限 2 位于x軸的負(fù)半軸上 思路點(diǎn)撥 求解復(fù)數(shù)問題常用的解題技巧 1 代數(shù)化 由復(fù)平面內(nèi)適合某種條件的點(diǎn)的集合來求其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí) 通常是由其對(duì)應(yīng)關(guān)系列出方程 組 或不等式 組 或混合組 求得復(fù)數(shù)的實(shí)部 虛部的值或范圍 來確定所求的復(fù)數(shù) 2 幾何化 利用復(fù)數(shù)的向量表示 充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 轉(zhuǎn)化成幾何問題 滲透數(shù)形結(jié)合思想就是其中技巧之一 可簡化解題步驟 使問題變得直觀 簡捷 易解 1 已知復(fù)數(shù)z a2 1 2a 1 i 其中a R 當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足下列條件時(shí) 求a的值 或取值范圍 1 在實(shí)軸上 2 在第三象限 3 在拋物線y2 4x上 復(fù)數(shù)的模的求法 計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí) 應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部 然后再利用模的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算 兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小 但它們的模可以比較大小 復(fù)數(shù)的模的幾何意義 設(shè)z C 則滿足條件 z 3 4i 的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形 思路點(diǎn)撥 根據(jù) z 的幾何意義確定圖形 方法二 設(shè)z x yi x y R 則 z 2 x2 y2 3 4i 5 由 z 3 4i 得x2 y2 25 點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心 以5為半徑的圓 復(fù)數(shù)的模的幾何意義是表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 這可以類比實(shí)數(shù)的絕對(duì)值 也可類比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來加深理解 3 1 復(fù)數(shù)z x 3 i y 2 x y R 且 z 2 則點(diǎn) x y 的軌跡是 2 求適合條件2 z 3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上表示的圖形 解析 1 z 2 x 3 2 y 2 2 4 即點(diǎn) x y 的軌跡是以 3 2 為圓心 2為半徑的圓 2 如圖是以原點(diǎn)O為圓心 半徑分別為2個(gè)單位長和3個(gè)單位長的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán) 但不包括大圓圓周 答案 1 以 3 2 為圓心 2為半徑的圓 設(shè)z為純虛數(shù) 且 z 1 1 i 求復(fù)數(shù)z 錯(cuò)解 由 z 1 1 i 得z 1 1 i 當(dāng)z 1 1 i時(shí) z i 當(dāng)z 1 1 i 時(shí) z 2 i 因?yàn)閦為純虛數(shù) 所以z 2 i應(yīng)舍去 綜上得z i 錯(cuò)因 造成這種錯(cuò)誤的主要原因是實(shí)數(shù)絕對(duì)值概念的負(fù)遷移所致 當(dāng)x R時(shí) x a a 0 才有x a 而當(dāng)x C時(shí) 這一性質(zhì)不再成立 解決這類等式問題 一般要設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 化復(fù)數(shù)問題為實(shí)數(shù)問題