高考大題增分專項三高考中的數(shù)列 從近五年高考試題分析來看 高考數(shù)列解答題主要題型有 等差 等比數(shù)列的綜合問題 證明一個數(shù)列為等差或等比數(shù)列 求數(shù)列的通項及非等差 等比數(shù)列的前n項和 證明數(shù)列型不等式 命題特點是試題題型規(guī)范 方法可循 難度穩(wěn)定在中檔 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 突破策略一公式法對于等差 等比數(shù)列 求其通項及求前n項的和時 只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 例1已知等差數(shù)列 an 和等比數(shù)列 bn 滿足a1 b1 1 a2 a4 10 b2b4 a5 1 求 an 的通項公式 2 求和 b1 b3 b5 b2n 1 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 因為a2 a4 10 所以2a1 4d 10 解得d 2 所以an 2n 1 2 設(shè)等比數(shù)列 bn 的公比為q 因為b2b4 a5 所以b1qb1q3 9 解得q2 3 所以b2n 1 b1q2n 2 3n 1 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 對點訓(xùn)練1 2018山東淄博一模 已知 an 是公差為3的等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 求數(shù)列 bn 的前n項和Sn a1 4 an 是首項為4 公差為3的等差數(shù)列 an 4 n 1 3 3n 1 2 由 1 及anbn 1 nbn bn 1 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 突破策略二轉(zhuǎn)化法無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和 通過變形 整理后 能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列 進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 例2在數(shù)列 an 中 a1 1 數(shù)列 an 1 3an 是首項為9 公比為3的等比數(shù)列 1 求a2 a3 解 1 數(shù)列 an 1 3an 是首項為9 公比為3的等比數(shù)列 an 1 3an 9 3n 1 3n 1 a2 3a1 9 a3 3a2 27 a2 12 a3 63 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 對點訓(xùn)練2設(shè) an 是公比大于1的等比數(shù)列 Sn為數(shù)列 an 的前n項和 已知S3 7 且a1 3 3a2 a3 4成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求數(shù)列 bn 的前n項和Tn 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 突破策略一定義法用定義法證明一個數(shù)列是等差數(shù)列 常采用的兩個式子an an 1 d n 2 和an 1 an d 前者必須加上 n 2 否則n 1時a0無意義 用定義法證明一個數(shù)列是等比數(shù)列也常采用兩個式子 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 例3已知數(shù)列 an 滿足an 1 2an n 1 且a1 1 1 求證 數(shù)列 an n 為等比數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的前n項和Sn 所以數(shù)列 an n 是首項為2 公比為2的等比數(shù)列 2 解 由 1 得an n 2 2n 1 2n 故an 2n n 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 對點訓(xùn)練3 2018江蘇淮安一模節(jié)選 已知數(shù)列 an 其前n項和為Sn 滿足a1 2 Sn nan an 1 其中n 2 n N R 1 若 0 4 bn an 1 2an n N 求證 數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 證明 1 若 0 4 則Sn 4an 1 n 2 所以an 1 Sn 1 Sn 4 an an 1 即an 1 2an 2 an 2an 1 所以bn 2bn 1 又由a1 2 a1 a2 4a1 得a2 3a1 6 a2 2a1 2 0 即bn 0 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 2 若a2 3 由a1 a2 2 a2 a1 得5 6 2 即 n 1 an 1 n 2 an 2an 1 0 所以nan 2 n 1 an 1 2an 0 兩式相減得nan 2 2 n 1 an 1 n 2 an 2an 2an 1 0 所以n an 2 2an 1 an 2 an 1 2an an 1 0 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 因為a1 2a2 a3 0 所以an 2 2an 1 an 0 即數(shù)列 an 是等差數(shù)列 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 突破策略二遞推相減化歸法對已知數(shù)列an與Sn的關(guān)系 證明 an 為等差或等比數(shù)列的問題 解題思路為 由an與Sn的關(guān)系遞推出n為n 1時的關(guān)系式 兩關(guān)系式相減后 進行化簡 整理 最終化歸為用定義法證明 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 例4已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn Sn m 1 man對任意的n N 都成立 其中m為常數(shù) 且m 1 1 求證 數(shù)列 an 是等比數(shù)列 2 記數(shù)列 an 的公比為q 設(shè)q f m 若數(shù)列 bn 滿足 3 在 2 的條件下 設(shè)cn bn bn 1 數(shù)列 cn 的前n項和為Tn 求證 Tn 1 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 證明 1 當(dāng)n 1時 a1 S1 1 Sn m 1 man Sn 1 m 1 man 1 n 2 由 得an man 1 man n 2 即 m 1 an man 1 a1 0 m 1 an 1 0 m 1 0 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 對點訓(xùn)練4設(shè)數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且 3 m Sn 2man m 3 n N 其中m為常數(shù) 且m 3 1 求證 an 是等比數(shù)列 證明 1 由 3 m Sn 2man m 3 得 3 m Sn 1 2man 1 m 3 兩式相減 得 3 m an 1 2man an 是等比數(shù)列 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 突破策略一錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的 那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法來求 即和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比 然后作差求解 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 例5已知數(shù)列 an 的前n項和Sn 3n2 8n bn 是等差數(shù)列 且an bn bn 1 1 求數(shù)列 bn 的通項公式 解 1 由題意知當(dāng)n 2時 an Sn Sn 1 6n 5 當(dāng)n 1時 a1 S1 11 符合上式 所以an 6n 5 設(shè)數(shù)列 bn 的公差為d 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 又Tn c1 c2 cn 得Tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1 2Tn 3 2 23 3 24 n 1 2n 2 兩式作差 得 Tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 所以Tn 3n 2n 2 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 對點訓(xùn)練5已知 an 為等差數(shù)列 前n項和為Sn n N bn 是首項為2的等比數(shù)列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通項公式 2 求數(shù)列 a2nb2n 1 的前n項和 n N 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 等比數(shù)列 bn 的公比為q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因為q 0 解得q 2 所以bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 聯(lián)立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以數(shù)列 an 的通項公式為an 3n 2 數(shù)列 bn 的通項公式為bn 2n 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 2 設(shè)數(shù)列 a2nb2n 1 的前n項和為Tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 有a2nb2n 1 3n 1 4n 故Tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4Tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 上述兩式相減 得 3Tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 突破策略二裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差 在求和時中間的一些項可以相互抵消 從而求得其和 利用裂項相消法求和時 要注意抵消后所剩余的項是前后對稱的 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 例6已知等差數(shù)列 an 的前n項和Sn滿足S3 0 S5 5 1 求 an 的通項公式 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 對點訓(xùn)練6在等差數(shù)列 an 中 a2 5 a5 11 數(shù)列 bn 的前n項和Sn n2 an 1 求數(shù)列 an bn 的通項公式 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的首項為a1 公差為d 故an 3 n 1 2 2n 1 當(dāng)n 1時 b1 S1 4 當(dāng)n 2時 bn Sn Sn 1 n2 2n 1 n 1 2 2 n 1 1 2n 1 又b1 4不符合該式 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 策略一 策略二 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 要證明關(guān)于一個數(shù)列的前n項和的不等式 一般有兩種思路 一是先求和再對和式放縮 二是先對數(shù)列的通項放縮再求數(shù)列的和 必要時對其和再放縮 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例7已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且滿足Sn an n2 1 n N 1 求 an 的通項公式 1 解 Sn an n2 1 n N a1 a2 a2 22 1 解得a1 3 當(dāng)n 2時 an Sn Sn 1 an n2 1 an 1 n 1 2 1 整理得an 1 2n 1 可得an 2n 1 當(dāng)n 1時也成立 an 2n 1 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 2 證明 由 1 可得Sn 2n 1 n2 1 n2 2n 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 對點訓(xùn)練7 2018天津部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查 已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列 數(shù)列 bn 為等差數(shù)列 且b1 a1 1 b2 a1 a2 a3 2b3 6 1 求數(shù)列 an bn 的通項公式 1 解 設(shè)數(shù)列 an 的公比為q 數(shù)列 bn 的公差為d 所以an 2n 1 bn 2n 1 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 求解數(shù)列中的存在性問題 先假設(shè)所探求對象存在 再以此假設(shè)為前提條件進行運算或邏輯推理 若由此推出矛盾 則假設(shè)不成立 即不存在 若推不出矛盾 則得到存在的結(jié)果 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例8已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn a1 1 an 0 anan 1 Sn 1 其中 為常數(shù) 1 證明 an 2 an 2 是否存在 使得 an 為等差數(shù)列 并說明理由 答案 1 證明因為anan 1 Sn 1 所以an 1an 2 Sn 1 1 兩式相減 得an 1 an 2 an an 1 因為an 1 0 所以an 2 an 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 2 解 由題設(shè) a1 1 a1a2 S1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 令2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首項為1 公差為4的等差數(shù)列 a2n 1 4n 3 a2n 是首項為3 公差為4的等差數(shù)列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 即an 1 an 2 因此存在 4 使得數(shù)列 an 為等差數(shù)列 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 對點訓(xùn)練8若 an 是各項均不為零的等差數(shù)列 公差為d Sn為其前的前n項和 1 求an和Tn 2 是否存在正整數(shù)m n 1 m n 使得T1 Tm Tn成等比數(shù)列 若存在 求出所有m n的值 若不存在 請說明理由 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 1 解決等差 等比數(shù)列的綜合問題時 重點在于讀懂題意 靈活利用等差 等比數(shù)列的定義 通項公式及前n項和公式解決問題 求解這類問題要重視方程思想的應(yīng)用 用好等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可以降低運算量 減少差錯 2 求數(shù)列的通項公式就是求出an與n的關(guān)系式 無論條件中的關(guān)系式含有哪些量 一般都需要通過消元 轉(zhuǎn)化和化歸的思想使之變?yōu)榈炔?等比數(shù)列 3 高考對數(shù)列求和的考查主要是 等差 等比數(shù)列的公式求和 能通過錯位相減法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和 裂項相消法求和 分組或合并后轉(zhuǎn)化為等差 等比數(shù)列求和 4 證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列主要依據(jù)定義 盡管題目給出的條件多種多樣 但總體目標(biāo)是把條件轉(zhuǎn)化成與an的差或比為一個定值 5 數(shù)列與不等式的綜合問題 1 數(shù)列不等式的證明要把數(shù)列的求和與放縮法結(jié)合起來 靈活使用放縮法 2 證明數(shù)列不等式也經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的最值問題 同時要注意比較法 放縮法 基本不等式的應(yīng)用