第1講 速算與巧算在進行加減運算時，為了又快又準確，除了要熟練地掌握計算法則外，還需要掌握一些巧算方法。加減法的巧算主要是“湊整”，就是將算式中的數分成若干組，使每組的運算結構都是整十、整百、整千的數，再將各組的結果求和。這種“化零為整”的思想是加減法巧算的基礎。一、先講加法的巧算，加法具有以下兩個運算律：加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變。即：a+b=b+a其中，a,b各表示任意數字。例如，5+6=6+5一般地，多個數相加，任意改變相加的順序，其和不變。例如，a+b+c+d=d+b+c+a=其中，a,b,c,d各表示任意一數。加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數，或者，先把后兩個數相加，再與第一個數相加，它們的和不變。即：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)其中，a,b,c,各表示任意一數。例如：4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7）一般地，多個數相加，可先對其中幾個數相加，再與其他數相加。把加法交換律和加法結合律綜合起來運用，就得到加法的一些巧算方法。1、湊整法。先把加在一起為整十、整百、整千的加數加起來，然后再與其他的數相加。例1：計算（1）23+54+18+47+82（2） 1350+49+68+51+32+16502、借數湊整法有些題目直觀上湊數不明顯，這時可“借數”湊整。例如，計算976+85，可在85中借出24， 即把85拆分成24+61，這樣就可以先用976加上24，“湊”成1000，然后再加61。例2：計算（1）57+64+238+46（2）4993+3996+5997+848二、減法和加減法混合運算的巧算。加、減法有如下一些重要性質：1、在連減或加、減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時可以帶著運算符號“搬家”。例如：a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b2、在加、減法混合運算中，去 括號時，如果括號前面是“+”號，那么去掉括號后，括號內的數的運算符號不變，如果括號前面是“-”號，那么去掉括號后，括號內的數的運算符號“+”變?yōu)椤?”，“-”變?yōu)椤?”。例如：a+(b-c)=a+b-ca-(b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+c3、在加、減法混合運算中，添括號時，如果添加的括號前面是“+”號，那么括號內的數原來的運算符號不變，如果添加的括號前面是“-”號，那么括號內的數的原來的運算符號“+”變?yōu)椤?”，“-”變?yōu)椤?”。例如：a+b-c=a+（b-c）a-b+c=a-（b+c）a-b-c=a-（b+c）靈活運用這些性質，可得減法或加、減混合運算的一些簡便方法。三、分組湊整法例3 計算 （1）875-364-236（2）1847-1928+628-136-64（3）1348-234-76+2234-48-24例4 計算（1）512-382（2）6854-876-97（3）397-146+288-339四、加法中的巧算1.什么叫“補數”？兩個數相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬，就把其中的一個數叫做另一個數的“補數”。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，3367=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“補數”；89叫11的“補數”，11也叫89的“補數”.也就是說兩個數互為“補數”。對于一個較大的數，如何能很快地算出它的“補數”來呢？一般來說，可以這樣“湊”數：從最高位湊起，使各位數字相加得9，到最后個位數字相加得10。如： 8765512345， 4680253198，8736212638，下面講利用“補數”巧算加法，通常稱為“湊整法”。2.互補數先加。例1 巧算下面各題：36+87+6499+136101 136197263928解：式=（3664）87 =10087=187 式=（99101）136 =200+136=336 式=（1361639）（97228） =2000+1000=30003.拆出補數來先加。例2 188873 548996 9898203解：式=（188+12）+（873-12）（熟練之后，此步可略）200+861=1061式=（548-4）（9964）=544+1000=1544式=（9898102）（203-102）=10000+101=101014.豎式運算中互補數先加。如：五、減法中的巧算1.把幾個互為“補數”的減數先加起來，再從被減數中減去。例 3 300-73-27 1000-90-80-20-10解：式= 300-（73 27） = 300-100=200 式=1000-（90802010） =1000-200=8002.先減去那些與被減數有相同尾數的減數。例4 4723-（723189） 2356-159-256解：式=4723-723-189 =4000-189=3811 式=2356-256-159 =2100-159 =19413.利用“補數”把接近整十、整百、整千的數先變整，再運算（注意把多加的數再減去，把多減的數再加上）。例 5 506-397 323-189 467997 987-178-222-390解：式=5006-400+3（把多減的 3再加上） =109式=323-200+11（把多減的11再加上） =123+11134式=4671000-3（把多加的3再減去） 1464式=987-（178222）-390 987-400-400+10=197六、加減混合式的巧算1.去括號和添括號的法則在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“”號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“-”號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面的運算符號都要改變，“+”變“-”，“-”變“+”，即：a（bcd）abcda -（bad）a-b-c-da -（b-c）a-b+c例6 100（102030） 100-（1020+3O） 100-（30-10）解：式=100102030=160式=100-10-20-30=40式=100-301080例7 計算下面各題： 100102030 100-10-20-30 100-3010解：式=100（10+20+30）=10060=160式=100-（1020+30）100-60=40式=100-（30-10）=100-20=802.帶符號“搬家”例8 計算 32546-12554解：原式=325-12546+54（325-125）+（4654）=200+100300注意：每個數前面的運算符號是這個數的符號.如+46，-125，+54.而325前面雖然沒有符號，應看作是+325。3.兩個數相同而符號相反的數可以直接“抵消”掉例9 計算9+2-93解：原式=9-92+3=54.找“基準數”法幾個比較接近于某一整數的數相加時，選這個整數為“基準數”。例10 計算 78+768382+77807985640七、乘法中的巧算1.兩數的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式：5×2=10 25×4=100 125×8=1000例1 計算123×4×25 125×2×8×25×5×4解：式=123×（4×25）=123×10012300式=（125×8）×（25×4）×（5×2）=1000×100×10=10000002.分解因數，湊整先乘。例 2計算 24×25 56×125 125×5×32×5解：式=6×（4×25）=6×100=600式=7×8×125=7×（8×125）=7×1000=7000式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）=1000×100=1000003.應用乘法分配律。例3 計算 175×34175×6667×12+67×3567×52+6解：式=175×（34+66）=175×100=17500式=67×（1235521） 67×1006700（原式中最后一項67可看成 67×1）例4 計算 123×101 123×99解：式=123×（1001）=123×10012312300123=12423式=123×（100-1）=12300-123=121774.幾種特殊因數的巧算。例5 一個數×10，數后添0； 一個數×100，數后添00； 一個數×1000，數后添000；以此類推。如：15×10=150 15×100=1500 15×100015000例6 一個數×9，數后添0，再減此數； 一個數×99，數后添00，再減此數； 一個數×999，數后添000，再減此數； 以此類推。如：12×9120-1210812×99120012118812×99912000-12=11988例7 一個偶數乘以5，可以除以2添上0。如：6×53016×580116×5=580。例8 一個數乘以11，“兩頭一拉，中間相加”。如 2222×1124442例9 一個偶數乘以15，“加半添0”.24×15（24+12）×10360因為24×15 24×（10+5）24×（1010÷2）=24×10+24×10÷2（乘法分配律）24×10+24÷2×10（帶符號搬家）（24+24÷2）×10（乘法分配律）例10 個位為5的兩位數的自乘：十位數字×（十位數字加1）×100+25如15×15=1×（1+1）×100+25=22525×25=2×（2+1）×100+25=62535×35=3×（3+1）×100+25=122545×45=4×（4+1）×100+25=202555×55=5×（5+1）×100+25=302565×656×（6+1）×100+25=422575×75=7×（7+1）×100+25562585×85=8×（8+1）×100+25=722595×959×（9+1）×100259025還有一些其他特殊因數相乘的簡便算法，有興趣的同學可參看算得快一書。八、除法及乘除混合運算中的巧算1.在除法中，利用商不變的性質巧算商不變的性質是：被除數和除數同時乘以或除以相同的數（零除外），商不變.利用這個性質巧算，使除數變?yōu)檎⒄?、整千的數，再除。?1 計算110÷53300÷25 44000÷125解：110÷5=（110×2）÷（5×2）220÷10=223300÷25（3300×4）÷（25×4）13200÷100132 44000÷125=（44000×8）÷（125×8）352000÷10003522.在乘除混合運算中，乘數和除數都可以帶符號“搬家”。例12 864×27÷54864÷54×27=16×27=4323.當n個數都除以同一個數后再加減時，可以將它們先加減之后再除以這個數。例13 13÷95÷9 21÷5-6÷52090÷24-482÷24187÷12-63÷12-52÷12解：13÷9+5÷9=（135）÷9=18÷9221÷5-6÷5（21-6）÷515÷5=32090÷24-482÷24（2090-482）÷241608÷2467187÷12-63÷12-52÷12（187-63-52）÷1272÷12=64.在乘除混合運算中“去括號”或添“括號”的方法：如果“括號”前面是乘號，去掉“括號”后，原“括號”內的符號不變；如果“括號”前面是除號，去掉“括號”后，原“括號”內的乘號變成除號，原除號就要變成乘號，添括號的方法與去括號類似。即a×（b÷c）=a×b÷c 從左往右看是去括號，a÷（b×c）a÷b÷c 從右往左看是添括號。a÷（b÷c）a÷b×c例14 1320×500÷2504000÷125÷85600÷（28÷6）372÷162×542997×729÷（81×81）解： 1320×500÷2501320×（500÷250）=1320×226404000÷125÷84000÷（125×8）4000÷100045600÷（28÷6）=5600÷28×6=200×6=1200372÷162×54=372÷（162÷54）372÷31242997×729÷（81×81）2997×729÷81÷81（2997÷81）×（729÷81）37×9333要求：1.掌握用“湊整”的方法進行簡單的計算 2.根據減法的性質，簡化運算。1. 幾個數相加，利用移位湊整的方法，將加數中能湊成整十，整百，整千等的數交換順序，先進行湊整，然后再與其他一些加數相加，得出結果。2. 在加減混合算式與連減算式中，將減數先結合起來，集中一次相減，可簡化運算。3. 幾個相近的數相加，可以選擇其中一個數，最好是整十，整百等的數為“基準數”。再把大于基準數的數寫成基準數與一個數的和，小于基準數的數寫成基準數與一個數的差，將加法改為乘法計算。4. 幾個數相加減時，如果不能直接“湊整”，就可以利用加整減零，減整加零或變更被減數。）例題1 計算 （1）3326+303 （2）574+498方法一：先看做整十，整百，整千的數進行計算。 （1）3326+303 （2）574+498 =3326+300+3 =574+500-2 =3626+3 =1074-2 =3629 =1072方法二：根據“和”的變化規(guī)律：一個加數增加多少，另一個加數就減少多少，那么和不變，來進行簡算。 （1）3326+303 （2）574+498 =（3326+3）+（303-3 ） =（574-2）+（498+2） =3329+300 =572+500 =3629 =1072特別注意：在計算時，將接近整十，整百，整千的數看成整十，整百，整千的數進行計算，然后根據和不變的規(guī)律，多加的要減掉，少加的要補上。例題2 計算 487+321+113+479 方法：487和113，321和479分別可以湊成整百數。我們可以通過交換位置的方法，487+113得600，321+479得800. 487+321+113+479 =（487+113）+（321+479） =600+800=1400特別注意：這道題要運用湊整的思路，將487和113，321和479分別湊成整百數，便于計算。注意：先算的要加括號。例題3 計算 9998+998+98+8方法：本題可采用湊整的方法，將9998，998，98分別湊成10000，1000，100.而湊成這些數可從8里面借用。 9998+998+98+8 =（9998+2）+（998+2）+（98+2）+2 = _(接下來你們來試一下) =特別注意: 對于接近整百，整千的數，應先將其湊成整數，然后再將多加的數從后面去掉。例題4計算 674+367-174方法：根據帶符號“搬家”的規(guī)則，把能湊整的數先進行計算。674+367-174=674-174+367=500+367=867特別注意：為了湊數，有時需要帶符號“搬家”，這樣會使計算簡便。#待定 例題5計算 874-（379+274）+579方法：在做這道題時，可以先將874-（379+274）改寫成連減的形式，即874-379-274。然后根據帶符號“搬家”的規(guī)則，先算能湊整的數。874-（379+274）+579= （改成連減的形式）= （帶符號“搬家”，先算能湊整的數）= 特別注意：通常情況下，根據減法的性質，可以把減去兩個數的和改寫成連減的形式，再把能湊整的數先進行計算。 速算與巧算 小結知識點 重點 難點1. 加法的簡便運算.(1) A+B=B+A;(2) (A+B)+C=A+(B+C);2. 減法的簡便運算.(1)A-B-C=A-(B+C);(2)A-B+C=A-(B-C).加減法同級運算，括號外面是減號的，添上或去掉括號，括號里的符號：加號要變成減號、減號要變成加號。當所有括號都去掉后，可以將數與前面的符號一起移動，第一個數前面為加號。3. 乘法的簡便運算。（1） A×B=B×A;（2） A×B×C=A×B×C;（3） (A±B)×C=A×C±B×C;4. 除法的簡便運算.(1) A÷B÷C=A÷(B×C);(2) A÷B×C=A÷(B÷C);(3) A÷B=(A×C)÷(B×C)乘除法同級運算，括號外面是除號的，添上或去掉括號，括號里的符號：乘號要變成除號、除號要變成乘號。當所有括號都去掉后,可以將數與前面的符號一起移動，第一個數前面為乘號。例題精講例1 25+53+75+78+47=?例2 91+90+88+92+93+84+85+95+97=?例3 9999+4+97+998+95+7=?例4 1200-856-144=?例5 7869-(234+869)=?例6 1943-(132-57)=?例7 459+78-259+22=?例8 936+(296-636)-596=?例9 3333330000-5769=?例10 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=?例11 (125×78)×8=?例12 (125+78)×8=?例13 250×64×125×9=?例14 950÷25=?例15 8442÷(21×67)=?例16 7600÷(38÷25)=?例17 291÷50+9÷50=?例18 999×222+333×334=?例19 765×963963-765765×963=?例20 2239+239×999=?例21 760÷(38÷125)×80=?例22 (2001+2000×2002)÷(2001×2002-1)=?例23 (1234+2341+3421+4123)÷5=?例題精講（答案）例1 25+53+75+78+47=?解 原式=(25+75)+(53+47)+78=100+100+78=278例2 91+90+88+92+93+84+85+95+97=?解 原式=90×9+(1+0-2+2+3-6-5+5+7)=810+5=815例3 9999+4+97+998+95+7=?解 原式=(9999+1)+(97+3)+(998+2)+(95+5)=10000+100+1000+100=11200例4 1200-856-144=?解 原式=1200-(856+144)=1200-1000=200例5 7869-(234+869)=?解 原式=7869-234-869=7869-869-234=7000-234=6766例6 1943-(132-57)=?解 原式=1943-132+57=1943+57-132=2000-132=1868例7 459+78-259+22=?解 原式=(459-2590)+(78+22)=200+100=300例8 936+(296-636)-596=?解 原式=936+296-636-596=936-636-596+296=(936-636)-(596-296)=300-300=0例9 3333330000-5769=?解 原式=3333300000+(30000-5769)=3333300000+24231=3333324231例10 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=?解 原式=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)+(13-12)+(15-14)=8例11 (125×78)×8=?解 原式=125×78×8=125×8×78=1000×78=78000例12 (125+78)×8=?解 原式=125×8+78×8=1000+624=1624例13 250×64×125×9=?解 原式=(250×4)×(125×8)×(9×2)=1000×1000×18=18000000例14 950÷25=?解 原式=(950×4)÷(25×4)=3800÷100=38例15 8442÷(21×67)=?解 原式=8442÷21÷67=402÷67=6例16 7600÷(38÷25)=?解 原式=7600÷38×25=200×25=5000例17 291÷50+9÷50=?解 原式=(291+9)÷50=300÷50=6例18 999×222+333×334=?解 原式=333×3×222+333×334=333×666+333×334=333×(666+334)=333×1000=333000例19 765×963963-765765×963=?解 原式=765×963×1001-765×1001×963=0例20 2239+239×999=?解 原式=2000+239+239×999=2000+239×(1+999)=2000+239000=241000例21 760÷(38÷125)×80=?解 原式=760÷38×125×80=(760÷38)×(125×80)=20×10000=200000例22 (2001+2000×2002)÷(2001×2002-1)=?解 原式=2001+2000×(2001+1)÷(2001×2002-1)=(2001+2000×2001+2000)÷(2001×2002-1)=(2001×2001+2000)÷(2001×2002-1)=(2001×2001+2001-1)÷(2001×2002-1)=(2001×2002-1)÷(2001×2002-1)=1例23 (1234+2341+3421+4123)÷5=?解 原式=1111×(1+2+3+4)÷5=1111×10÷5=2222